Theorem rnglidlmcl 14901

Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rnglidlmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnglidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglidlmcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rnglidlmcl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2		rnglidlmcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2238	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		rnglidlmcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	islidlm 14900	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
6		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
7	6	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
8	7	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
9	8	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
10		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑌))
11	10	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏))
12	11	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
13	12	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
14	9, 13	rspc2v 2943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
16		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ))
17	16	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
18	17	rspcv 2925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
20		rnglidlmcl.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21		rnggrp 14321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Grp)
24		simpll1 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Rng)
25		simprl 535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		simpll2 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
27		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ 𝐼)
28	26, 27	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
29	2, 4	rngcl 14327	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
30	24, 25, 28, 29	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
31	2, 3, 20, 23, 30	grpridd 13892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) = (𝑋 · 𝑌))
32	31	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
33	32	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
35	19, 34	syl5d 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
36	35	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
37	15, 36	syld 45	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
39	38	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
40	39	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
41	40	com23 78	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
42	41	3exp 1233	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))))
43	42	3impd 1252	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼) → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
44	5, 43	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ 𝑈 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
45	44	3imp1 1251	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402  ∃wex 1545   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  +_gcplusg 13484  ._rcmulr 13485  0_gc0g 13663  Grpcgrp 13858  Rngcrng 14315  LIdealclidl 14888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-ip 13502  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-abl 14174  df-mgp 14302  df-rng 14316  df-lssm 14774  df-sra 14856  df-rgmod 14857  df-lidl 14890

This theorem is used by:  dflidl2rng  14902  rnglidlmmgm  14917  2idlcpblrng  14944