Theorem rnglidlmcl 14518

Description: A (left) ideal containing the zero element is closed under left-multiplication by elements of the full non-unital ring. If the ring is not a unital ring, and the ideal does not contain the zero element of the ring, then the closure cannot be proven. (Contributed by AV, 18-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlmcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
rnglidlmcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rnglidlmcl.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rnglidlmcl.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmcl	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Proof of Theorem rnglidlmcl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlmcl.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
2		rnglidlmcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		eqid 2230	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		rnglidlmcl.t	. . . 4 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	islidlm 14517	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑈 ↔ (𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
6		oveq1 6030	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑎))
7	6	oveq1d 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏))
8	7	eleq1d 2299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
9	8	ralbidv 2531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
10		oveq2 6031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (𝑋 · 𝑎) = (𝑋 · 𝑌))
11	10	oveq1d 6038	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏))
12	11	eleq1d 2299	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
13	12	ralbidv 2531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = 𝑌 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
14	9, 13	rspc2v 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
15	14	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼))
16		oveq2 6031	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 = 0 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ))
17	16	eleq1d 2299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑏 = 0 → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 ↔ ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
18	17	rspcv 2905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
19	18	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼))
20		rnglidlmcl.z	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
21		rnggrp 13975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
22	21	3ad2ant1 1044	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Grp)
24		simpll1 1062	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑅 ∈ Rng)
25		simprl 531	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
26		simpll2 1063	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝐼 ⊆ 𝐵)
27		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ 𝐼)
28	26, 27	sseldd 3227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
29	2, 4	rngcl 13981	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
30	24, 25, 28, 29	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
31	2, 3, 20, 23, 30	grpridd 13640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) = (𝑋 · 𝑌))
32	31	eleq1d 2299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 ↔ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
33	32	biimpd 144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
34	33	ex 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅) 0 ) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
35	19, 34	syl5d 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
36	35	imp 124	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑋 · 𝑌)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
37	15, 36	syld 45	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))
38	37	ex 115	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
39	38	com23 78	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) ∧ 0 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)))
40	39	ex 115	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → ( 0 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
41	40	com23 78	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
42	41	3exp 1228	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ⊆ 𝐵 → (∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))))
43	42	3impd 1247	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝐼 ⊆ 𝐵 ∧ ∃𝑗 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝐼 ∀𝑏 ∈ 𝐼 ((𝑥 · 𝑎)(+g‘𝑅)𝑏) ∈ 𝐼) → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
44	5, 43	biimtrid 152	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝐼 ∈ 𝑈 → ( 0 ∈ 𝐼 → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼))))
45	44	3imp1 1246	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝐼 ∈ 𝑈 ∧ 0 ∈ 𝐼) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐼)) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1004   = wceq 1397  ∃wex 1540   ∈ wcel 2201  ∀wral 2509   ⊆ wss 3199  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Basecbs 13105  +_gcplusg 13183  ._rcmulr 13184  0_gc0g 13362  Grpcgrp 13606  Rngcrng 13969  LIdealclidl 14505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rmo 2517  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-riota 5976  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-plusg 13196  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-0g 13364  df-mgm 13462  df-sgrp 13508  df-mnd 13523  df-grp 13609  df-abl 13897  df-mgp 13958  df-rng 13970  df-lssm 14391  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-lidl 14507

This theorem is referenced by:  dflidl2rng  14519  rnglidlmmgm  14534  2idlcpblrng  14561