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Theorem cauappcvgprlem1 7197
Description: Lemma for cauappcvgpr 7200. Part of showing the putative limit to be a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
cauappcvgprlem.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  Q. )
cauappcvgprlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlem1  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( F `  Q
) } ,  {
u  |  ( F `
 Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    F, p, q, l, u    Q, p, q, l, u    R, p, q, l, u
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlem1
Dummy variables  f  g  h  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgprlem.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Q. )
2 halfnqq 6948 . . . . 5  |-  ( R  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  R )
31, 2syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x
)  =  R )
4 simprl 498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  x  e.  Q. )
5 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
65adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
7 cauappcvgprlem.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  Q. )
87adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  Q  e.  Q. )
9 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  Q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  Q ) )
10 oveq1 5641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  Q  ->  (
p  +Q  q )  =  ( Q  +Q  q ) )
1110oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  q
) ) )
129, 11breq12d 3850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  Q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) ) )
139, 10oveq12d 5652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  ( Q  +Q  q
) ) )
1413breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) ) )
1512, 14anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  Q  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 Q )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  ( Q  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) ) ) )
16 fveq2 5289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  x  ->  ( F `  q )  =  ( F `  x ) )
17 oveq2 5642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  x  ->  ( Q  +Q  q )  =  ( Q  +Q  x
) )
1816, 17oveq12d 5652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
1918breq2d 3849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  Q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  q
) )  <->  ( F `  Q )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) )
2017oveq2d 5650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
2116, 20breq12d 3850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 Q )  +Q  ( Q  +Q  q
) )  <->  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) )
2219, 21anbi12d 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  Q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 Q )  <Q 
( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) ) )
2315, 22rspc2v 2733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( A. p  e. 
Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( ( F `  Q )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) ) )
248, 4, 23syl2anc 403 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( A. p  e. 
Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( ( F `  Q )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) ) )
256, 24mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) )
2625simpld 110 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  Q
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
27 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
2827adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  F : Q. --> Q. )
2928, 4ffvelrnd 5419 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Q. )
30 addassnqg 6920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  Q  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  Q
)  +Q  x )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
3129, 8, 4, 30syl3anc 1174 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  =  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) ) )
3226, 31breqtrrd 3863 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  Q
)  <Q  ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  x ) )
33 ltanqg 6938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
3433adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  =  R ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e. 
Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f ) 
<Q  ( h  +Q  g
) ) )
3527, 7ffvelrnd 5419 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  e.  Q. )
3635adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  Q. )
37 addclnq 6913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  Q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q. )
3829, 8, 37syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q. )
39 addclnq 6913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  e.  Q. )
4038, 4, 39syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  e.  Q. )
41 addcomnqg 6919 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4241adantl 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  =  R ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. ) )  -> 
( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4334, 36, 40, 4, 42caovord2d 5796 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  <Q  (
( ( F `  x )  +Q  Q
)  +Q  x )  <-> 
( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x ) ) )
4432, 43mpbid 145 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x ) )
45 addassnqg 6920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  +Q  x )  =  ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  ( x  +Q  x
) ) )
4638, 4, 4, 45syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  ( x  +Q  x ) ) )
47 simprr 499 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( x  +Q  x
)  =  R )
4847oveq2d 5650 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  (
x  +Q  x ) )  =  ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  R ) )
491adantr 270 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  R  e.  Q. )
50 addassnqg 6920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  Q  e.  Q.  /\  R  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  Q
)  +Q  R )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
5129, 8, 49, 50syl3anc 1174 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  R
)  =  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) )
5246, 48, 513eqtrd 2124 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) )
5344, 52breqtrd 3861 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
54 oveq2 5642 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  Q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  x ) )
5516oveq1d 5649 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
5654, 55breq12d 3850 . . . . . 6  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <->  ( ( F `  Q )  +Q  x )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) ) )
5756rspcev 2722 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
584, 53, 57syl2anc 403 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
593, 58rexlimddv 2493 . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
60 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
61 cauappcvgpr.lim . . . . . . . 8  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
62 addclnq 6913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  Q.  /\  R  e.  Q. )  ->  ( Q  +Q  R
)  e.  Q. )
637, 1, 62syl2anc 403 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q  +Q  R
)  e.  Q. )
6427, 5, 60, 61, 63cauappcvgprlemladd 7196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( Q  +Q  R
) } ,  {
u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. )  =  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) 
<Q  u } >. )
6564fveq2d 5293 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) 
<Q  u } >. )
)
66 nqex 6901 . . . . . . . 8  |-  Q.  e.  _V
6766rabex 3975 . . . . . . 7  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) }  e.  _V
6866rabex 3975 . . . . . . 7  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <Q  u }  e.  _V
6967, 68op1st 5899 . . . . . 6  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) }
7065, 69syl6eq 2136 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  =  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } )
7170eleq2d 2157 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  ( F `  Q )  e.  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } ) )
72 oveq1 5641 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( F `  Q )  ->  (
l  +Q  q )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  q ) )
7372breq1d 3847 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( F `  Q )  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <->  ( ( F `  Q )  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
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7473rexbidv 2381 . . . . . 6  |-  ( l  =  ( F `  Q )  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 Q )  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) ) )
7574elrab3 2770 . . . . 5  |-  ( ( F `  Q )  e.  Q.  ->  (
( F `  Q
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) }  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) ) )
7635, 75syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) }  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 Q )  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) ) )
7771, 76bitrd 186 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
 Q )  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
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7859, 77mpbird 165 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( Q  +Q  R
) } ,  {
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7927, 5, 60, 61cauappcvgprlemcl 7191 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  P. )
80 nqprlu 7085 . . . . 5  |-  ( ( Q  +Q  R )  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R
)  <Q  u } >.  e. 
P. )
8163, 80syl 14 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
) } ,  {
u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >.  e.  P. )
82 addclpr 7075 . . . 4  |-  ( ( L  e.  P.  /\  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
) } ,  {
u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
) } ,  {
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8379, 81, 82syl2anc 403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( Q  +Q  R
) } ,  {
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84 nqprl 7089 . . 3  |-  ( ( ( F `  Q
)  e.  Q.  /\  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R
)  <Q  u } >. )  e.  P. )  -> 
( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  <. { l  |  l  <Q  ( F `  Q ) } ,  { u  |  ( F `  Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
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8535, 83, 84syl2anc 403 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  <. { l  |  l  <Q  ( F `  Q ) } ,  { u  |  ( F `  Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
) } ,  {
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8678, 85mpbid 145 1  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( F `  Q
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u  |  ( F `
 Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    /\ w3a 924    = wceq 1289    e. wcel 1438   {cab 2074   A.wral 2359   E.wrex 2360   {crab 2363   <.cop 3444   class class class wbr 3837   -->wf 4998   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   1stc1st 5891   Q.cnq 6818    +Q cplq 6820    <Q cltq 6823   P.cnp 6829    +P. cpp 6831    <P cltp 6833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-eprel 4107  df-id 4111  df-po 4114  df-iso 4115  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-2o 6164  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-pli 6843  df-mi 6844  df-lti 6845  df-plpq 6882  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-plqqs 6887  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890  df-ltnqqs 6891  df-enq0 6962  df-nq0 6963  df-0nq0 6964  df-plq0 6965  df-mq0 6966  df-inp 7004  df-iplp 7006  df-iltp 7008
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemlim  7199
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