Theorem cauappcvgprlem1 7649

Description: Lemma for cauappcvgpr 7652. Part of showing the putative limit to be a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
cauappcvgprlem.q	|- ( ph -> Q e. Q. )
cauappcvgprlem.r	|- ( ph -> R e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlem1	|- ( ph -> <. { l | l <Q ( F ` Q ) } , { u | ( F ` Q ) <Q u } >. <P ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   F, p, q, l, u   Q, p, q, l, u   R, p, q, l, u

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, q, l)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlem1

Dummy variables f g h x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauappcvgprlem.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Q. )
2		halfnqq 7400	. . . . 5 |- ( R e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = R )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = R )
4		simprl 529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> x e. Q. )
5		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
7		cauappcvgprlem.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. Q. )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> Q e. Q. )
9		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = Q -> ( F ` p ) = ( F ` Q ) )
10		oveq1 5876	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = Q -> ( p +Q q ) = ( Q +Q q ) )
11	10	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = Q -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) )
12	9, 11	breq12d 4013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = Q -> ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` Q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) ) )
13	9, 10	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = Q -> ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) )
14	13	breq2d 4012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = Q -> ( ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` q ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) ) )
15	12, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = Q -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) ) ) )
16		fveq2 5511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = x -> ( F ` q ) = ( F ` x ) )
17		oveq2 5877	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = x -> ( Q +Q q ) = ( Q +Q x ) )
18	16, 17	oveq12d 5887	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) )
19	18	breq2d 4012	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = x -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) <-> ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) ) )
20	17	oveq2d 5885	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = x -> ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) = ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) )
21	16, 20	breq12d 4013	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) <-> ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) )
22	19, 21	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) ) <-> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) /\ ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) ) )
23	15, 22	rspc2v 2854	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) /\ ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) ) )
24	8, 4, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) /\ ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) ) )
25	6, 24	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) /\ ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) )
26	25	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) )
27		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> F : Q. --> Q. )
29	28, 4	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
30		addassnqg 7372	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ Q e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) )
31	29, 8, 4, 30	syl3anc 1238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) )
32	26, 31	breqtrrd 4028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( F ` Q ) <Q ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) )
33		ltanqg 7390	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
34	33	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
35	27, 7	ffvelcdmd 5648	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` Q ) e. Q. )
36	35	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( F ` Q ) e. Q. )
37		addclnq 7365	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ Q e. Q. ) -> ( ( F ` x ) +Q Q ) e. Q. )
38	29, 8, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` x ) +Q Q ) e. Q. )
39		addclnq 7365	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) e. Q. )
40	38, 4, 39	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) e. Q. )
41		addcomnqg 7371	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
43	34, 36, 40, 4, 42	caovord2d 6038	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) <-> ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) ) )
44	32, 43	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) )
45		addassnqg 7372	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) e. Q. /\ x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) = ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q ( x +Q x ) ) )
46	38, 4, 4, 45	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) = ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q ( x +Q x ) ) )
47		simprr 531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( x +Q x ) = R )
48	47	oveq2d 5885	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q ( x +Q x ) ) = ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q R ) )
49	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> R e. Q. )
50		addassnqg 7372	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ Q e. Q. /\ R e. Q. ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q R ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
51	29, 8, 49, 50	syl3anc 1238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q R ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
52	46, 48, 51	3eqtrd 2214	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
53	44, 52	breqtrd 4026	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
54		oveq2 5877	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( F ` Q ) +Q q ) = ( ( F ` Q ) +Q x ) )
55	16	oveq1d 5884	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
56	54, 55	breq12d 4013	. . . . . 6 |- ( q = x -> ( ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) <-> ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
57	56	rspcev 2841	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) ) -> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) )
58	4, 53, 57	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) )
59	3, 58	rexlimddv 2599	. . 3 |- ( ph -> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) )
60		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
61		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . 8 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
62		addclnq 7365	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. Q. /\ R e. Q. ) -> ( Q +Q R ) e. Q. )
63	7, 1, 62	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q +Q R ) e. Q. )
64	27, 5, 60, 61, 63	cauappcvgprlemladd 7648	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q ( Q +Q R ) ) <Q u } >. )
65	64	fveq2d 5515	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q ( Q +Q R ) ) <Q u } >. ) )
66		nqex 7353	. . . . . . . 8 |- Q. e. _V
67	66	rabex 4144	. . . . . . 7 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } e. _V
68	66	rabex 4144	. . . . . . 7 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q ( Q +Q R ) ) <Q u } e. _V
69	67, 68	op1st 6141	. . . . . 6 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q ( Q +Q R ) ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) }
70	65, 69	eqtrdi 2226	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } )
71	70	eleq2d 2247	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) <-> ( F ` Q ) e. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } ) )
72		oveq1 5876	. . . . . . . 8 |- ( l = ( F ` Q ) -> ( l +Q q ) = ( ( F ` Q ) +Q q ) )
73	72	breq1d 4010	. . . . . . 7 |- ( l = ( F ` Q ) -> ( ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) <-> ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
74	73	rexbidv 2478	. . . . . 6 |- ( l = ( F ` Q ) -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) <-> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
75	74	elrab3 2894	. . . . 5 |- ( ( F ` Q ) e. Q. -> ( ( F ` Q ) e. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } <-> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
76	35, 75	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) e. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } <-> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
77	71, 76	bitrd 188	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) <-> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
78	59, 77	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) )
79	27, 5, 60, 61	cauappcvgprlemcl 7643	. . . 4 |- ( ph -> L e. P. )
80		nqprlu 7537	. . . . 5 |- ( ( Q +Q R ) e. Q. -> <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. e. P. )
81	63, 80	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. e. P. )
82		addclpr 7527	. . . 4 |- ( ( L e. P. /\ <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. e. P. ) -> ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) e. P. )
83	79, 81, 82	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) e. P. )
84		nqprl 7541	. . 3 |- ( ( ( F ` Q ) e. Q. /\ ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) e. P. ) -> ( ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) <-> <. { l | l <Q ( F ` Q ) } , { u | ( F ` Q ) <Q u } >. <P ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) )
85	35, 83, 84	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) <-> <. { l | l <Q ( F ` Q ) } , { u | ( F ` Q ) <Q u } >. <P ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) )
86	78, 85	mpbid 147	1 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( F ` Q ) } , { u | ( F ` Q ) <Q u } >. <P ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 978   = wceq 1353   e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   <.cop 3594   class class class wbr 4000   -->wf 5208   ` cfv 5212  (class class class)co 5869   1stc1st 6133   Q.cnq 7270   +Q cplq 7272   <Q cltq 7275   P.cnp 7281   +P. cpp 7283   <P cltp 7285

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-eprel 4286  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-1o 6411  df-2o 6412  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-pli 7295  df-mi 7296  df-lti 7297  df-plpq 7334  df-mpq 7335  df-enq 7337  df-nqqs 7338  df-plqqs 7339  df-mqqs 7340  df-1nqqs 7341  df-rq 7342  df-ltnqqs 7343  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-0nq0 7416  df-plq0 7417  df-mq0 7418  df-inp 7456  df-iplp 7458  df-iltp 7460

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemlim  7651