Theorem cauappcvgprlem1 7974

Description: Lemma for cauappcvgpr 7977. Part of showing the putative limit to be a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cauappcvgpr.f	|- ( ph -> F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app	|- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd	|- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
cauappcvgpr.lim	|- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
cauappcvgprlem.q	|- ( ph -> Q e. Q. )
cauappcvgprlem.r	|- ( ph -> R e. Q. )

Assertion

Ref	Expression
cauappcvgprlem1	|- ( ph -> <. { l | l <Q ( F ` Q ) } , { u | ( F ` Q ) <Q u } >. <P ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) )

Distinct variable groups:   A, p   L, p, q   ph, p, q   F, p, q, l, u   Q, p, q, l, u   R, p, q, l, u

Allowed substitution hints:   ph( u, l)   A( u, q, l)   L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlem1

Dummy variables f g h x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cauappcvgprlem.r	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Q. )
2		halfnqq 7725	. . . . 5 |- ( R e. Q. -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = R )
3	1, 2	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. Q. ( x +Q x ) = R )
4		simprl 531	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> x e. Q. )
5		cauappcvgpr.app	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
6	5	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) )
7		cauappcvgprlem.q	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> Q e. Q. )
8	7	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> Q e. Q. )
9		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = Q -> ( F ` p ) = ( F ` Q ) )
10		oveq1 6057	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( p = Q -> ( p +Q q ) = ( Q +Q q ) )
11	10	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = Q -> ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) )
12	9, 11	breq12d 4122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = Q -> ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` Q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) ) )
13	9, 10	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p = Q -> ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) = ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) )
14	13	breq2d 4121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p = Q -> ( ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) <-> ( F ` q ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) ) )
15	12, 14	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p = Q -> ( ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) <-> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) ) ) )
16		fveq2 5670	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = x -> ( F ` q ) = ( F ` x ) )
17		oveq2 6058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q = x -> ( Q +Q q ) = ( Q +Q x ) )
18	16, 17	oveq12d 6068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) )
19	18	breq2d 4121	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = x -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) <-> ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) ) )
20	17	oveq2d 6066	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( q = x -> ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) = ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) )
21	16, 20	breq12d 4122	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) <-> ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) )
22	19, 21	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( q = x -> ( ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q q ) ) ) <-> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) /\ ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) ) )
23	15, 22	rspc2v 2934	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Q e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) /\ ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) ) )
24	8, 4, 23	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( A. p e. Q. A. q e. Q. ( ( F ` p ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( p +Q q ) ) /\ ( F ` q ) <Q ( ( F ` p ) +Q ( p +Q q ) ) ) -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) /\ ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) ) )
25	6, 24	mpd 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) /\ ( F ` x ) <Q ( ( F ` Q ) +Q ( Q +Q x ) ) ) )
26	25	simpld 112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( F ` Q ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) )
27		cauappcvgpr.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> F : Q. --> Q. )
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> F : Q. --> Q. )
29	28, 4	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( F ` x ) e. Q. )
30		addassnqg 7697	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ Q e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) )
31	29, 8, 4, 30	syl3anc 1274	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q x ) ) )
32	26, 31	breqtrrd 4137	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( F ` Q ) <Q ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) )
33		ltanqg 7715	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
34	33	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. /\ h e. Q. ) ) -> ( f <Q g <-> ( h +Q f ) <Q ( h +Q g ) ) )
35	27, 7	ffvelcdmd 5813	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( F ` Q ) e. Q. )
36	35	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( F ` Q ) e. Q. )
37		addclnq 7690	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ Q e. Q. ) -> ( ( F ` x ) +Q Q ) e. Q. )
38	29, 8, 37	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` x ) +Q Q ) e. Q. )
39		addclnq 7690	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) e. Q. )
40	38, 4, 39	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) e. Q. )
41		addcomnqg 7696	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. Q. /\ g e. Q. ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
42	41	adantl 277	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) /\ ( f e. Q. /\ g e. Q. ) ) -> ( f +Q g ) = ( g +Q f ) )
43	34, 36, 40, 4, 42	caovord2d 6224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` Q ) <Q ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) <-> ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) ) )
44	32, 43	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) )
45		addassnqg 7697	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) e. Q. /\ x e. Q. /\ x e. Q. ) -> ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) = ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q ( x +Q x ) ) )
46	38, 4, 4, 45	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) = ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q ( x +Q x ) ) )
47		simprr 533	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( x +Q x ) = R )
48	47	oveq2d 6066	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q ( x +Q x ) ) = ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q R ) )
49	1	adantr 276	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> R e. Q. )
50		addassnqg 7697	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` x ) e. Q. /\ Q e. Q. /\ R e. Q. ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q R ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
51	29, 8, 49, 50	syl3anc 1274	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q R ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
52	46, 48, 51	3eqtrd 2269	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( ( ( F ` x ) +Q Q ) +Q x ) +Q x ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
53	44, 52	breqtrd 4135	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
54		oveq2 6058	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( F ` Q ) +Q q ) = ( ( F ` Q ) +Q x ) )
55	16	oveq1d 6065	. . . . . . 7 |- ( q = x -> ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) = ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) )
56	54, 55	breq12d 4122	. . . . . 6 |- ( q = x -> ( ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) <-> ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
57	56	rspcev 2921	. . . . 5 |- ( ( x e. Q. /\ ( ( F ` Q ) +Q x ) <Q ( ( F ` x ) +Q ( Q +Q R ) ) ) -> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) )
58	4, 53, 57	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. Q. /\ ( x +Q x ) = R ) ) -> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) )
59	3, 58	rexlimddv 2665	. . 3 |- ( ph -> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) )
60		cauappcvgpr.bnd	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A. p e. Q. A <Q ( F ` p ) )
61		cauappcvgpr.lim	. . . . . . . 8 |- L = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( F ` q ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( F ` q ) +Q q ) <Q u } >.
62		addclnq 7690	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. Q. /\ R e. Q. ) -> ( Q +Q R ) e. Q. )
63	7, 1, 62	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( Q +Q R ) e. Q. )
64	27, 5, 60, 61, 63	cauappcvgprlemladd 7973	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) = <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q ( Q +Q R ) ) <Q u } >. )
65	64	fveq2d 5674	. . . . . 6 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) = ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q ( Q +Q R ) ) <Q u } >. ) )
66		nqex 7678	. . . . . . . 8 |- Q. e. _V
67	66	rabex 4256	. . . . . . 7 |- { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } e. _V
68	66	rabex 4256	. . . . . . 7 |- { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q ( Q +Q R ) ) <Q u } e. _V
69	67, 68	op1st 6340	. . . . . 6 |- ( 1st ` <. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } , { u e. Q. | E. q e. Q. ( ( ( F ` q ) +Q q ) +Q ( Q +Q R ) ) <Q u } >. ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) }
70	65, 69	eqtrdi 2281	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) = { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } )
71	70	eleq2d 2302	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) <-> ( F ` Q ) e. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } ) )
72		oveq1 6057	. . . . . . . 8 |- ( l = ( F ` Q ) -> ( l +Q q ) = ( ( F ` Q ) +Q q ) )
73	72	breq1d 4119	. . . . . . 7 |- ( l = ( F ` Q ) -> ( ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) <-> ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
74	73	rexbidv 2543	. . . . . 6 |- ( l = ( F ` Q ) -> ( E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) <-> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
75	74	elrab3 2974	. . . . 5 |- ( ( F ` Q ) e. Q. -> ( ( F ` Q ) e. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } <-> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
76	35, 75	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) e. { l e. Q. | E. q e. Q. ( l +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) } <-> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
77	71, 76	bitrd 188	. . 3 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) <-> E. q e. Q. ( ( F ` Q ) +Q q ) <Q ( ( F ` q ) +Q ( Q +Q R ) ) ) )
78	59, 77	mpbird 167	. 2 |- ( ph -> ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) )
79	27, 5, 60, 61	cauappcvgprlemcl 7968	. . . 4 |- ( ph -> L e. P. )
80		nqprlu 7862	. . . . 5 |- ( ( Q +Q R ) e. Q. -> <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. e. P. )
81	63, 80	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. e. P. )
82		addclpr 7852	. . . 4 |- ( ( L e. P. /\ <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. e. P. ) -> ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) e. P. )
83	79, 81, 82	syl2anc 411	. . 3 |- ( ph -> ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) e. P. )
84		nqprl 7866	. . 3 |- ( ( ( F ` Q ) e. Q. /\ ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) e. P. ) -> ( ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) <-> <. { l | l <Q ( F ` Q ) } , { u | ( F ` Q ) <Q u } >. <P ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) )
85	35, 83, 84	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( ( F ` Q ) e. ( 1st ` ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) <-> <. { l | l <Q ( F ` Q ) } , { u | ( F ` Q ) <Q u } >. <P ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) ) )
86	78, 85	mpbid 147	1 |- ( ph -> <. { l | l <Q ( F ` Q ) } , { u | ( F ` Q ) <Q u } >. <P ( L +P. <. { l | l <Q ( Q +Q R ) } , { u | ( Q +Q R ) <Q u } >. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   {cab 2218   A.wral 2520   E.wrex 2521   {crab 2524   <.cop 3692   class class class wbr 4109   -->wf 5348   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   1stc1st 6332   Q.cnq 7595   +Q cplq 7597   <Q cltq 7600   P.cnp 7606   +P. cpp 7608   <P cltp 7610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-iplp 7783  df-iltp 7785

This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemlim  7976