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Theorem cauappcvgprlem1 7660
Description: Lemma for cauappcvgpr 7663. Part of showing the putative limit to be a limit. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Jun-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cauappcvgpr.f  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
cauappcvgpr.app  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
cauappcvgpr.bnd  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
cauappcvgpr.lim  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
cauappcvgprlem.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  Q. )
cauappcvgprlem.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Q. )
Assertion
Ref Expression
cauappcvgprlem1  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( F `  Q
) } ,  {
u  |  ( F `
 Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )
Distinct variable groups:    A, p    L, p, q    ph, p, q    F, p, q, l, u    Q, p, q, l, u    R, p, q, l, u
Allowed substitution hints:    ph( u, l)    A( u, q, l)    L( u, l)

Proof of Theorem cauappcvgprlem1
Dummy variables  f  g  h  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cauappcvgprlem.r . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Q. )
2 halfnqq 7411 . . . . 5  |-  ( R  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  R )
31, 2syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x
)  =  R )
4 simprl 529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  x  e.  Q. )
5 cauappcvgpr.app . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
65adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  A. p  e.  Q.  A. q  e.  Q.  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  /\  ( F `  q )  <Q  ( ( F `  p )  +Q  (
p  +Q  q ) ) ) )
7 cauappcvgprlem.q . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  Q  e.  Q. )
87adantr 276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  Q  e.  Q. )
9 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  Q  ->  ( F `  p )  =  ( F `  Q ) )
10 oveq1 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  Q  ->  (
p  +Q  q )  =  ( Q  +Q  q ) )
1110oveq2d 5893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  q
) ) )
129, 11breq12d 4018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  p
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  Q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) ) )
139, 10oveq12d 5895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  ( Q  +Q  q
) ) )
1413breq2d 4017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  =  Q  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 p )  +Q  ( p  +Q  q
) )  <->  ( F `  q )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) ) )
1512, 14anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  =  Q  ->  (
( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 Q )  <Q 
( ( F `  q )  +Q  ( Q  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) ) ) )
16 fveq2 5517 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  x  ->  ( F `  q )  =  ( F `  x ) )
17 oveq2 5885 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  x  ->  ( Q  +Q  q )  =  ( Q  +Q  x
) )
1816, 17oveq12d 5895 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
1918breq2d 4017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  Q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  q
) )  <->  ( F `  Q )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) )
2017oveq2d 5893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
2116, 20breq12d 4018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  <Q  ( ( F `
 Q )  +Q  ( Q  +Q  q
) )  <->  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) )
2219, 21anbi12d 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  Q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  q ) ) )  <->  ( ( F `
 Q )  <Q 
( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) ) )
2315, 22rspc2v 2856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( A. p  e. 
Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( ( F `  Q )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) ) )
248, 4, 23syl2anc 411 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( A. p  e. 
Q.  A. q  e.  Q.  ( ( F `  p )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( p  +Q  q ) )  /\  ( F `  q )  <Q  (
( F `  p
)  +Q  ( p  +Q  q ) ) )  ->  ( ( F `  Q )  <Q  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) ) )
256, 24mpd 13 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  ( Q  +Q  x ) )  /\  ( F `  x )  <Q  (
( F `  Q
)  +Q  ( Q  +Q  x ) ) ) )
2625simpld 112 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  Q
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
27 cauappcvgpr.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : Q. --> Q. )
2827adantr 276 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  F : Q. --> Q. )
2928, 4ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  x
)  e.  Q. )
30 addassnqg 7383 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  Q  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  Q
)  +Q  x )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  x
) ) )
3129, 8, 4, 30syl3anc 1238 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  =  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  x ) ) )
3226, 31breqtrrd 4033 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  Q
)  <Q  ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  x ) )
33 ltanqg 7401 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  (
f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f )  <Q  (
h  +Q  g ) ) )
3433adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  =  R ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q.  /\  h  e. 
Q. ) )  -> 
( f  <Q  g  <->  ( h  +Q  f ) 
<Q  ( h  +Q  g
) ) )
3527, 7ffvelcdmd 5654 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  e.  Q. )
3635adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( F `  Q
)  e.  Q. )
37 addclnq 7376 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  Q  e.  Q. )  ->  ( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q. )
3829, 8, 37syl2anc 411 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q. )
39 addclnq 7376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  ( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  e.  Q. )
4038, 4, 39syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  e.  Q. )
41 addcomnqg 7382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. )  ->  ( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4241adantl 277 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x
)  =  R ) )  /\  ( f  e.  Q.  /\  g  e.  Q. ) )  -> 
( f  +Q  g
)  =  ( g  +Q  f ) )
4334, 36, 40, 4, 42caovord2d 6046 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  <Q  (
( ( F `  x )  +Q  Q
)  +Q  x )  <-> 
( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x ) ) )
4432, 43mpbid 147 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x ) )
45 addassnqg 7383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F `  x )  +Q  Q
)  e.  Q.  /\  x  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  (
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  x
)  +Q  x )  =  ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  ( x  +Q  x
) ) )
4638, 4, 4, 45syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  ( x  +Q  x ) ) )
47 simprr 531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( x  +Q  x
)  =  R )
4847oveq2d 5893 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  (
x  +Q  x ) )  =  ( ( ( F `  x
)  +Q  Q )  +Q  R ) )
491adantr 276 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  R  e.  Q. )
50 addassnqg 7383 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  Q.  /\  Q  e.  Q.  /\  R  e.  Q. )  ->  (
( ( F `  x )  +Q  Q
)  +Q  R )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
5129, 8, 49, 50syl3anc 1238 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  +Q  Q )  +Q  R
)  =  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) )
5246, 48, 513eqtrd 2214 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( ( ( F `  x )  +Q  Q )  +Q  x )  +Q  x
)  =  ( ( F `  x )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) )
5344, 52breqtrd 4031 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  -> 
( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
54 oveq2 5885 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  Q
)  +Q  q )  =  ( ( F `
 Q )  +Q  x ) )
5516oveq1d 5892 . . . . . . 7  |-  ( q  =  x  ->  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) )  =  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
5654, 55breq12d 4018 . . . . . 6  |-  ( q  =  x  ->  (
( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <->  ( ( F `  Q )  +Q  x )  <Q  (
( F `  x
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) ) )
5756rspcev 2843 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  ( ( F `  Q )  +Q  x
)  <Q  ( ( F `
 x )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
584, 53, 57syl2anc 411 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  Q.  /\  ( x  +Q  x )  =  R ) )  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
593, 58rexlimddv 2599 . . 3  |-  ( ph  ->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) )
60 cauappcvgpr.bnd . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Q.  A  <Q  ( F `  p ) )
61 cauappcvgpr.lim . . . . . . . 8  |-  L  = 
<. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( F `  q ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( F `  q )  +Q  q
)  <Q  u } >.
62 addclnq 7376 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  Q.  /\  R  e.  Q. )  ->  ( Q  +Q  R
)  e.  Q. )
637, 1, 62syl2anc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Q  +Q  R
)  e.  Q. )
6427, 5, 60, 61, 63cauappcvgprlemladd 7659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( Q  +Q  R
) } ,  {
u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. )  =  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) 
<Q  u } >. )
6564fveq2d 5521 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  =  ( 1st `  <. { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `
 q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) 
<Q  u } >. )
)
66 nqex 7364 . . . . . . . 8  |-  Q.  e.  _V
6766rabex 4149 . . . . . . 7  |-  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) }  e.  _V
6866rabex 4149 . . . . . . 7  |-  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <Q  u }  e.  _V
6967, 68op1st 6149 . . . . . 6  |-  ( 1st `  <. { l  e. 
Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) } ,  { u  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( ( ( F `  q )  +Q  q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <Q  u } >. )  =  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) }
7065, 69eqtrdi 2226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  =  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } )
7170eleq2d 2247 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  ( F `  Q )  e.  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) } ) )
72 oveq1 5884 . . . . . . . 8  |-  ( l  =  ( F `  Q )  ->  (
l  +Q  q )  =  ( ( F `
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7372breq1d 4015 . . . . . . 7  |-  ( l  =  ( F `  Q )  ->  (
( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <->  ( ( F `  Q )  +Q  q )  <Q  (
( F `  q
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7473rexbidv 2478 . . . . . 6  |-  ( l  =  ( F `  Q )  ->  ( E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) )  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
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( F `  q
)  +Q  ( Q  +Q  R ) ) ) )
7574elrab3 2896 . . . . 5  |-  ( ( F `  Q )  e.  Q.  ->  (
( F `  Q
)  e.  { l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  (
l  +Q  q ) 
<Q  ( ( F `  q )  +Q  ( Q  +Q  R ) ) }  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `  Q )  +Q  q
)  <Q  ( ( F `
 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) ) )
7635, 75syl 14 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  {
l  e.  Q.  |  E. q  e.  Q.  ( l  +Q  q
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 q )  +Q  ( Q  +Q  R
) ) }  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
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( F `  q
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7771, 76bitrd 188 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  E. q  e.  Q.  ( ( F `
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( F `  q
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7859, 77mpbird 167 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  Q
)  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( Q  +Q  R
) } ,  {
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7927, 5, 60, 61cauappcvgprlemcl 7654 . . . 4  |-  ( ph  ->  L  e.  P. )
80 nqprlu 7548 . . . . 5  |-  ( ( Q  +Q  R )  e.  Q.  ->  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R
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P. )
8163, 80syl 14 . . . 4  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
) } ,  {
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u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >.  e.  P. )  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
) } ,  {
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8379, 81, 82syl2anc 411 . . 3  |-  ( ph  ->  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q 
( Q  +Q  R
) } ,  {
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84 nqprl 7552 . . 3  |-  ( ( ( F `  Q
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( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  <. { l  |  l  <Q  ( F `  Q ) } ,  { u  |  ( F `  Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
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8535, 83, 84syl2anc 411 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F `  Q )  e.  ( 1st `  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )  <->  <. { l  |  l  <Q  ( F `  Q ) } ,  { u  |  ( F `  Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l 
<Q  ( Q  +Q  R
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8678, 85mpbid 147 1  |-  ( ph  -> 
<. { l  |  l 
<Q  ( F `  Q
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u  |  ( F `
 Q )  <Q  u } >.  <P  ( L  +P.  <. { l  |  l  <Q  ( Q  +Q  R ) } ,  { u  |  ( Q  +Q  R )  <Q  u } >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    /\ w3a 978    = wceq 1353    e. wcel 2148   {cab 2163   A.wral 2455   E.wrex 2456   {crab 2459   <.cop 3597   class class class wbr 4005   -->wf 5214   ` cfv 5218  (class class class)co 5877   1stc1st 6141   Q.cnq 7281    +Q cplq 7283    <Q cltq 7286   P.cnp 7292    +P. cpp 7294    <P cltp 7296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-omul 6424  df-er 6537  df-ec 6539  df-qs 6543  df-ni 7305  df-pli 7306  df-mi 7307  df-lti 7308  df-plpq 7345  df-mpq 7346  df-enq 7348  df-nqqs 7349  df-plqqs 7350  df-mqqs 7351  df-1nqqs 7352  df-rq 7353  df-ltnqqs 7354  df-enq0 7425  df-nq0 7426  df-0nq0 7427  df-plq0 7428  df-mq0 7429  df-inp 7467  df-iplp 7469  df-iltp 7471
This theorem is referenced by:  cauappcvgprlemlim  7662
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