Theorem logltb 15668

Description: The natural logarithm function on positive reals is strictly monotonic. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
logltb	|- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A < B <-> ( log ` A ) < ( log ` B ) ) )

Proof of Theorem logltb

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relogiso 15667	. . . . 5 |- ( log |` RR+ ) Isom < , < ( RR+ , RR )
2		df-isom 5342	. . . . 5 |- ( ( log |` RR+ ) Isom < , < ( RR+ , RR ) <-> ( ( log |` RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR /\ A. x e. RR+ A. y e. RR+ ( x < y <-> ( ( log |` RR+ ) ` x ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) ) ) )
3	1, 2	mpbi 145	. . . 4 |- ( ( log |` RR+ ) : RR+ -1-1-onto-> RR /\ A. x e. RR+ A. y e. RR+ ( x < y <-> ( ( log |` RR+ ) ` x ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) ) )
4	3	simpri 113	. . 3 |- A. x e. RR+ A. y e. RR+ ( x < y <-> ( ( log |` RR+ ) ` x ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) )
5		breq1 4096	. . . . 5 |- ( x = A -> ( x < y <-> A < y ) )
6		fveq2 5648	. . . . . 6 |- ( x = A -> ( ( log |` RR+ ) ` x ) = ( ( log |` RR+ ) ` A ) )
7	6	breq1d 4103	. . . . 5 |- ( x = A -> ( ( ( log |` RR+ ) ` x ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) <-> ( ( log |` RR+ ) ` A ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) ) )
8	5, 7	bibi12d 235	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( x < y <-> ( ( log |` RR+ ) ` x ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) ) <-> ( A < y <-> ( ( log |` RR+ ) ` A ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) ) ) )
9		breq2 4097	. . . . 5 |- ( y = B -> ( A < y <-> A < B ) )
10		fveq2 5648	. . . . . 6 |- ( y = B -> ( ( log |` RR+ ) ` y ) = ( ( log |` RR+ ) ` B ) )
11	10	breq2d 4105	. . . . 5 |- ( y = B -> ( ( ( log |` RR+ ) ` A ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) <-> ( ( log |` RR+ ) ` A ) < ( ( log |` RR+ ) ` B ) ) )
12	9, 11	bibi12d 235	. . . 4 |- ( y = B -> ( ( A < y <-> ( ( log |` RR+ ) ` A ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) ) <-> ( A < B <-> ( ( log |` RR+ ) ` A ) < ( ( log |` RR+ ) ` B ) ) ) )
13	8, 12	rspc2v 2924	. . 3 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A. x e. RR+ A. y e. RR+ ( x < y <-> ( ( log |` RR+ ) ` x ) < ( ( log |` RR+ ) ` y ) ) -> ( A < B <-> ( ( log |` RR+ ) ` A ) < ( ( log |` RR+ ) ` B ) ) ) )
14	4, 13	mpi 15	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A < B <-> ( ( log |` RR+ ) ` A ) < ( ( log |` RR+ ) ` B ) ) )
15		fvres 5672	. . 3 |- ( A e. RR+ -> ( ( log |` RR+ ) ` A ) = ( log ` A ) )
16		fvres 5672	. . 3 |- ( B e. RR+ -> ( ( log |` RR+ ) ` B ) = ( log ` B ) )
17	15, 16	breqan12d 4109	. 2 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( ( ( log |` RR+ ) ` A ) < ( ( log |` RR+ ) ` B ) <-> ( log ` A ) < ( log ` B ) ) )
18	14, 17	bitrd 188	1 |- ( ( A e. RR+ /\ B e. RR+ ) -> ( A < B <-> ( log ` A ) < ( log ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2202   A.wral 2511   class class class wbr 4093   |` cres 4733   -1-1-onto->wf1o 5332   ` cfv 5333   Isom wiso 5334   RRcr 8074   < clt 8256   RR+crp 9932   logclog 15650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195  ax-pre-suploc 8196  ax-addf 8197  ax-mulf 8198

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 839  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-disj 4070  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-isom 5342  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-of 6244  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-irdg 6579  df-frec 6600  df-1o 6625  df-oadd 6629  df-er 6745  df-map 6862  df-pm 6863  df-en 6953  df-dom 6954  df-fin 6955  df-sup 7226  df-inf 7227  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-xr 8260  df-ltxr 8261  df-le 8262  df-sub 8394  df-neg 8395  df-reap 8797  df-ap 8804  df-div 8895  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-n0 9445  df-z 9524  df-uz 9800  df-q 9898  df-rp 9933  df-xneg 10051  df-xadd 10052  df-ioo 10171  df-ico 10173  df-icc 10174  df-fz 10289  df-fzo 10423  df-seqfrec 10756  df-exp 10847  df-fac 11034  df-bc 11056  df-ihash 11084  df-shft 11438  df-cj 11465  df-re 11466  df-im 11467  df-rsqrt 11621  df-abs 11622  df-clim 11902  df-sumdc 11977  df-ef 12272  df-e 12273  df-rest 13387  df-topgen 13406  df-psmet 14622  df-xmet 14623  df-met 14624  df-bl 14625  df-mopn 14626  df-top 14792  df-topon 14805  df-bases 14837  df-ntr 14890  df-cn 14982  df-cnp 14983  df-tx 15047  df-cncf 15365  df-limced 15450  df-dvap 15451  df-relog 15652

This theorem is referenced by:  logleb  15669  logrpap0b  15670  rplogcl  15673  loggt0b  15685  loglt1b  15687  logblt  15756