ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  logltb Unicode version

Theorem logltb 13959
Description: The natural logarithm function on positive reals is strictly monotonic. (Contributed by Steve Rodriguez, 25-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
logltb  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  <  B  <->  ( log `  A )  <  ( log `  B ) ) )

Proof of Theorem logltb
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relogiso 13958 . . . . 5  |-  ( log  |`  RR+ )  Isom  <  ,  <  ( RR+ ,  RR )
2 df-isom 5221 . . . . 5  |-  ( ( log  |`  RR+ )  Isom  <  ,  <  ( RR+ ,  RR ) 
<->  ( ( log  |`  RR+ ) : RR+
-1-1-onto-> RR  /\  A. x  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( x  <  y  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
)  <  ( ( log  |`  RR+ ) `  y
) ) ) )
31, 2mpbi 145 . . . 4  |-  ( ( log  |`  RR+ ) :
RR+
-1-1-onto-> RR  /\  A. x  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( x  <  y  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
)  <  ( ( log  |`  RR+ ) `  y
) ) )
43simpri 113 . . 3  |-  A. x  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( x  <  y  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  <  (
( log  |`  RR+ ) `  y ) )
5 breq1 4003 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  <  y  <->  A  <  y ) )
6 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
( log  |`  RR+ ) `  x )  =  ( ( log  |`  RR+ ) `  A ) )
76breq1d 4010 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( log  |`  RR+ ) `  x )  <  (
( log  |`  RR+ ) `  y )  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A
)  <  ( ( log  |`  RR+ ) `  y
) ) )
85, 7bibi12d 235 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  <  y  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x )  <  (
( log  |`  RR+ ) `  y ) )  <->  ( A  <  y  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A
)  <  ( ( log  |`  RR+ ) `  y
) ) ) )
9 breq2 4004 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( A  <  y  <->  A  <  B ) )
10 fveq2 5511 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
( log  |`  RR+ ) `  y )  =  ( ( log  |`  RR+ ) `  B ) )
1110breq2d 4012 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( ( log  |`  RR+ ) `  A )  <  (
( log  |`  RR+ ) `  y )  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A
)  <  ( ( log  |`  RR+ ) `  B
) ) )
129, 11bibi12d 235 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  <  y  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A )  <  (
( log  |`  RR+ ) `  y ) )  <->  ( A  <  B  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A
)  <  ( ( log  |`  RR+ ) `  B
) ) ) )
138, 12rspc2v 2854 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A. x  e.  RR+  A. y  e.  RR+  ( x  < 
y  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  x
)  <  ( ( log  |`  RR+ ) `  y
) )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A
)  <  ( ( log  |`  RR+ ) `  B
) ) ) )
144, 13mpi 15 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  <  B  <->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A
)  <  ( ( log  |`  RR+ ) `  B
) ) )
15 fvres 5535 . . 3  |-  ( A  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  A )  =  ( log `  A ) )
16 fvres 5535 . . 3  |-  ( B  e.  RR+  ->  ( ( log  |`  RR+ ) `  B )  =  ( log `  B ) )
1715, 16breqan12d 4016 . 2  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  (
( ( log  |`  RR+ ) `  A )  <  (
( log  |`  RR+ ) `  B )  <->  ( log `  A )  <  ( log `  B ) ) )
1814, 17bitrd 188 1  |-  ( ( A  e.  RR+  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( A  <  B  <->  ( log `  A )  <  ( log `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104    <-> wb 105    = wceq 1353    e. wcel 2148   A.wral 2455   class class class wbr 4000    |` cres 4625   -1-1-onto->wf1o 5211   ` cfv 5212    Isom wiso 5213   RRcr 7798    < clt 7979   RR+crp 9637   logclog 13941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-1cn 7892  ax-1re 7893  ax-icn 7894  ax-addcl 7895  ax-addrcl 7896  ax-mulcl 7897  ax-mulrcl 7898  ax-addcom 7899  ax-mulcom 7900  ax-addass 7901  ax-mulass 7902  ax-distr 7903  ax-i2m1 7904  ax-0lt1 7905  ax-1rid 7906  ax-0id 7907  ax-rnegex 7908  ax-precex 7909  ax-cnre 7910  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913  ax-pre-apti 7914  ax-pre-ltadd 7915  ax-pre-mulgt0 7916  ax-pre-mulext 7917  ax-arch 7918  ax-caucvg 7919  ax-pre-suploc 7920  ax-addf 7921  ax-mulf 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-disj 3978  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-of 6077  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-frec 6386  df-1o 6411  df-oadd 6415  df-er 6529  df-map 6644  df-pm 6645  df-en 6735  df-dom 6736  df-fin 6737  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985  df-sub 8117  df-neg 8118  df-reap 8519  df-ap 8526  df-div 8616  df-inn 8906  df-2 8964  df-3 8965  df-4 8966  df-n0 9163  df-z 9240  df-uz 9515  df-q 9606  df-rp 9638  df-xneg 9756  df-xadd 9757  df-ioo 9876  df-ico 9878  df-icc 9879  df-fz 9993  df-fzo 10126  df-seqfrec 10429  df-exp 10503  df-fac 10687  df-bc 10709  df-ihash 10737  df-shft 10805  df-cj 10832  df-re 10833  df-im 10834  df-rsqrt 10988  df-abs 10989  df-clim 11268  df-sumdc 11343  df-ef 11637  df-e 11638  df-rest 12635  df-topgen 12654  df-psmet 13151  df-xmet 13152  df-met 13153  df-bl 13154  df-mopn 13155  df-top 13160  df-topon 13173  df-bases 13205  df-ntr 13260  df-cn 13352  df-cnp 13353  df-tx 13417  df-cncf 13722  df-limced 13789  df-dvap 13790  df-relog 13943
This theorem is referenced by:  logleb  13960  logrpap0b  13961  rplogcl  13964  loggt0b  13976  loglt1b  13978  logblt  14044
  Copyright terms: Public domain W3C validator