Theorem seq3homo 10964

Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3homo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3homo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3homo.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3homo.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
seq3homo.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
seq3homo.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
seq3homo.qcl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3homo	|- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, H, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G   x, .+ , y   x, Q, y   x, S, y   y, G

Proof of Theorem seq3homo

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3homo.3	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		2fveq3 5700	. . . . 5 |- ( w = M -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) )
3		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
4	2, 3	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) )
6		2fveq3 5700	. . . . 5 |- ( w = n -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
7		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = n -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) )
8	6, 7	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( w = n -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = n -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
10		2fveq3 5700	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
11		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
14		2fveq3 5700	. . . . 5 |- ( w = N -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) )
15		fveq2 5695	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )
16	14, 15	eqeq12d 2253	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
17	16	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
18		2fveq3 5700	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
19		fveq2 5695	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
20	18, 19	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
21		seq3homo.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
22	21	ralrimiva 2623	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
23		eluzel2 9926	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
24	1, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
25		uzid 9936	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
27	20, 22, 26	rspcdva 2934	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) )
28		seq3homo.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
29		seq3homo.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
30	24, 28, 29	seq3-1 10899	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
31	30	fveq2d 5699	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
32		seq3homo.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
33		seq3homo.qcl	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
34	24, 32, 33	seq3-1 10899	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
35	27, 31, 34	3eqtr4d 2281	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
36	35	a1i 9	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
37		oveq1 6092	. . . . . 6 |- ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
39	28	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
40	29	adantlr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
41	38, 39, 40	seq3p1 10902	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
42	41	fveq2d 5699	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
43		seq3homo.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
44	43	ralrimivva 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
46		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
47	46, 24, 28, 29	seqf 10901	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
48	47	ffvelcdmda 5843	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
49		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
50	49	eleq1d 2307	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
51	28	ralrimiva 2623	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
53		peano2uz 9983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
54	38, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
55	50, 52, 54	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
56		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) )
57	56	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) )
58		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
59	58	oveq1d 6100	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) )
60	57, 59	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) ) )
61		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
62	61	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
63		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
64	63	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
65	62, 64	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
66	60, 65	rspc2v 2943	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
67	48, 55, 66	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
68	45, 67	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
69		2fveq3 5700	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
70		fveq2 5695	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
71	69, 70	eqeq12d 2253	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
72	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
73	71, 72, 54	rspcdva 2934	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
74	73	oveq2d 6101	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
75	42, 68, 74	3eqtrd 2275	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
76	32	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
77	33	adantlr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
78	38, 76, 77	seq3p1 10902	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
79	75, 78	eqeq12d 2253	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
80	37, 79	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
81	80	expcom 116	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
82	81	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
83	5, 9, 13, 17, 36, 82	uzind4 9988	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
84	1, 83	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   A.wral 2528   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   1c1 8180   + caddc 8182   ZZcz 9644   ZZ>=cuz 9921   seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885

This theorem is used by:  seqfeq3  10966  seq3distr  10969  efcj  12440  logfac  15995