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Theorem seq3homo 9944
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3homo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seq3homo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seq3homo.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seq3homo.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
seq3homo.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
seq3homo.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
seq3homo.qcl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seq3homo  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, y, F   
x, H, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, G   
x,  .+ , y    x, Q, y    x, S, y   
y, G

Proof of Theorem seq3homo
Dummy variables  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3homo.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 2fveq3 5310 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) ) )
3 fveq2 5305 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M
) )
42, 3eqeq12d 2102 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) )
54imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  w )
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) ) )
6 2fveq3 5310 . . . . 5  |-  ( w  =  n  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
7 fveq2 5305 . . . . 5  |-  ( w  =  n  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n
) )
86, 7eqeq12d 2102 . . . 4  |-  ( w  =  n  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) )
98imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  n  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  w )
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) )
10 2fveq3 5310 . . . . 5  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
11 fveq2 5305 . . . . 5  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1210, 11eqeq12d 2102 . . . 4  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
1312imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  w )
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
14 2fveq3 5310 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
15 fveq2 5305 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N
) )
1614, 15eqeq12d 2102 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  N )
) )
1716imbi2d 228 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  w )
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) )
18 2fveq3 5310 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
19 fveq2 5305 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
2018, 19eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  M
) )  =  ( G `  M ) ) )
21 seq3homo.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
2221ralrimiva 2446 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x ) )
23 eluzel2 9024 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
241, 23syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
25 uzid 9033 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2624, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2720, 22, 26rspcdva 2727 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  ( F `  M )
)  =  ( G `
 M ) )
28 seq3homo.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
29 seq3homo.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
3024, 28, 29seq3-1 9877 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
3130fveq2d 5309 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  ( H `  ( F `
 M ) ) )
32 seq3homo.g . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
33 seq3homo.qcl . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
3424, 32, 33seq3-1 9877 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
3527, 31, 343eqtr4d 2130 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) )
3635a1i 9 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) )
37 oveq1 5659 . . . . . 6  |-  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
38 simpr 108 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3928adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
4029adantlr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
4138, 39, 40seq3p1 9884 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4241fveq2d 5309 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
43 seq3homo.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
4443ralrimivva 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) ) )
4544adantr 270 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( H `  x
) Q ( H `
 y ) ) )
46 eqid 2088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
4746, 24, 28, 29seqf 9880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ) : (
ZZ>= `  M ) --> S )
4847ffvelrnda 5434 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
49 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
5049eleq1d 2156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
5128ralrimiva 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  x )  e.  S )
5251adantr 270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( F `  x
)  e.  S )
53 peano2uz 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5438, 53syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5550, 52, 54rspcdva 2727 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
)
56 oveq1 5659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
5756fveq2d 5309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
) )
58 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
5958oveq1d 5667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) )
6057, 59eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) ) )
61 oveq2 5660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6261fveq2d 5309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
63 fveq2 5305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6463oveq2d 5668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
6562, 64eqeq12d 2102 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
6660, 65rspc2v 2734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  e.  S  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
6748, 55, 66syl2anc 403 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
6845, 67mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
69 2fveq3 5310 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
70 fveq2 5305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
7169, 70eqeq12d 2102 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7222adantr 270 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x ) )
7371, 72, 54rspcdva 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
7473oveq2d 5668 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7542, 68, 743eqtrd 2124 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7632adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7733adantlr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
7838, 76, 77seq3p1 9884 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7975, 78eqeq12d 2102 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) )  <->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
8037, 79syl5ibr 154 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) )
8180expcom 114 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
8281a2d 26 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
835, 9, 13, 17, 36, 82uzind4 9076 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) )
841, 83mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   A.wral 2359   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   1c1 7351    + caddc 7353   ZZcz 8750   ZZ>=cuz 9019    seqcseq 9852
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7436  ax-resscn 7437  ax-1cn 7438  ax-1re 7439  ax-icn 7440  ax-addcl 7441  ax-addrcl 7442  ax-mulcl 7443  ax-addcom 7445  ax-addass 7447  ax-distr 7449  ax-i2m1 7450  ax-0lt1 7451  ax-0id 7453  ax-rnegex 7454  ax-cnre 7456  ax-pre-ltirr 7457  ax-pre-ltwlin 7458  ax-pre-lttrn 7459  ax-pre-ltadd 7461
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7524  df-mnf 7525  df-xr 7526  df-ltxr 7527  df-le 7528  df-sub 7655  df-neg 7656  df-inn 8423  df-n0 8674  df-z 8751  df-uz 9020  df-iseq 9853  df-seq3 9854
This theorem is referenced by:  seq3distr  9946  efcj  10963
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