Theorem seq3homo 10709

Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3homo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3homo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3homo.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3homo.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
seq3homo.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
seq3homo.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
seq3homo.qcl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3homo	|- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, H, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G   x, .+ , y   x, Q, y   x, S, y   y, G

Proof of Theorem seq3homo

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3homo.3	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		2fveq3 5604	. . . . 5 |- ( w = M -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) )
3		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
4	2, 3	eqeq12d 2222	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
5	4	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) )
6		2fveq3 5604	. . . . 5 |- ( w = n -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
7		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( w = n -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) )
8	6, 7	eqeq12d 2222	. . . 4 |- ( w = n -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = n -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
10		2fveq3 5604	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
11		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2222	. . . 4 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
13	12	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
14		2fveq3 5604	. . . . 5 |- ( w = N -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) )
15		fveq2 5599	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )
16	14, 15	eqeq12d 2222	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
17	16	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
18		2fveq3 5604	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
19		fveq2 5599	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
20	18, 19	eqeq12d 2222	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
21		seq3homo.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
22	21	ralrimiva 2581	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
23		eluzel2 9688	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
24	1, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
25		uzid 9697	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
27	20, 22, 26	rspcdva 2889	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) )
28		seq3homo.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
29		seq3homo.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
30	24, 28, 29	seq3-1 10644	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
31	30	fveq2d 5603	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
32		seq3homo.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
33		seq3homo.qcl	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
34	24, 32, 33	seq3-1 10644	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
35	27, 31, 34	3eqtr4d 2250	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
36	35	a1i 9	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
37		oveq1 5974	. . . . . 6 |- ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
38		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
39	28	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
40	29	adantlr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
41	38, 39, 40	seq3p1 10647	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
42	41	fveq2d 5603	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
43		seq3homo.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
44	43	ralrimivva 2590	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
45	44	adantr 276	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
46		eqid 2207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
47	46, 24, 28, 29	seqf 10646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
48	47	ffvelcdmda 5738	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
49		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
50	49	eleq1d 2276	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
51	28	ralrimiva 2581	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
53		peano2uz 9739	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
54	38, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
55	50, 52, 54	rspcdva 2889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
56		oveq1 5974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) )
57	56	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) )
58		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
59	58	oveq1d 5982	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) )
60	57, 59	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) ) )
61		oveq2 5975	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
62	61	fveq2d 5603	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
63		fveq2 5599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
64	63	oveq2d 5983	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
65	62, 64	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
66	60, 65	rspc2v 2897	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
67	48, 55, 66	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
68	45, 67	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
69		2fveq3 5604	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
70		fveq2 5599	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
71	69, 70	eqeq12d 2222	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
72	22	adantr 276	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
73	71, 72, 54	rspcdva 2889	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
74	73	oveq2d 5983	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
75	42, 68, 74	3eqtrd 2244	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
76	32	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
77	33	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
78	38, 76, 77	seq3p1 10647	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
79	75, 78	eqeq12d 2222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
80	37, 79	imbitrrid 156	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
81	80	expcom 116	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
82	81	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
83	5, 9, 13, 17, 36, 82	uzind4 9744	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
84	1, 83	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2178   A.wral 2486   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   1c1 7961   + caddc 7963   ZZcz 9407   ZZ>=cuz 9683   seqcseq 10629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-iinf 4654  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-tr 4159  df-id 4358  df-iord 4431  df-on 4433  df-ilim 4434  df-suc 4436  df-iom 4657  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-recs 6414  df-frec 6500  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-uz 9684  df-seqfrec 10630

This theorem is referenced by:  seqfeq3  10711  seq3distr  10714  efcj  12099