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Theorem seq3homo 10276
Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3homo.1  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
seq3homo.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
seq3homo.3  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
seq3homo.4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
seq3homo.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
seq3homo.g  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
seq3homo.qcl  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
Assertion
Ref Expression
seq3homo  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Distinct variable groups:    x, y, F   
x, H, y    x, M, y    x, N, y    ph, x, y    x, G   
x,  .+ , y    x, Q, y    x, S, y   
y, G

Proof of Theorem seq3homo
Dummy variables  n  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seq3homo.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2 2fveq3 5419 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) ) )
3 fveq2 5414 . . . . 5  |-  ( w  =  M  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M
) )
42, 3eqeq12d 2152 . . . 4  |-  ( w  =  M  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  M )
) )
54imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  M  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  w )
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) ) )
6 2fveq3 5419 . . . . 5  |-  ( w  =  n  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) )
7 fveq2 5414 . . . . 5  |-  ( w  =  n  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n
) )
86, 7eqeq12d 2152 . . . 4  |-  ( w  =  n  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  n )
) )
98imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  n  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  w )
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) ) ) )
10 2fveq3 5419 . . . . 5  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) ) )
11 fveq2 5414 . . . . 5  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) )
1210, 11eqeq12d 2152 . . . 4  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  ( n  +  1 ) ) ) )
1312imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  w )
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
14 2fveq3 5419 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) ) )
15 fveq2 5414 . . . . 5  |-  ( w  =  N  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N
) )
1614, 15eqeq12d 2152 . . . 4  |-  ( w  =  N  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  w
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w )  <->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 N ) )  =  (  seq M
( Q ,  G
) `  N )
) )
1716imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  N  ->  (
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  w )
)  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  w
) )  <->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) ) )
18 2fveq3 5419 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  M )
) )
19 fveq2 5414 . . . . . . 7  |-  ( x  =  M  ->  ( G `  x )  =  ( G `  M ) )
2018, 19eqeq12d 2152 . . . . . 6  |-  ( x  =  M  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  M
) )  =  ( G `  M ) ) )
21 seq3homo.5 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  x
) )  =  ( G `  x ) )
2221ralrimiva 2503 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( H `  ( F `
 x ) )  =  ( G `  x ) )
23 eluzel2 9324 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
241, 23syl 14 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
25 uzid 9333 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M )
)
2624, 25syl 14 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  M ) )
2720, 22, 26rspcdva 2789 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  ( F `  M )
)  =  ( G `
 M ) )
28 seq3homo.2 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
29 seq3homo.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
3024, 28, 29seq3-1 10226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 M )  =  ( F `  M
) )
3130fveq2d 5418 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  ( H `  ( F `
 M ) ) )
32 seq3homo.g . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
33 seq3homo.qcl . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
3424, 32, 33seq3-1 10226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `
 M )  =  ( G `  M
) )
3527, 31, 343eqtr4d 2180 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) )
3635a1i 9 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  M
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  M ) ) )
37 oveq1 5774 . . . . . 6  |-  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
38 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)
3928adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  x )  e.  S
)
4029adantlr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  S )
4138, 39, 40seq3p1 10228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4241fveq2d 5418 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
43 seq3homo.4 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) ) )
4443ralrimivva 2512 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) ) )
4544adantr 274 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y
) )  =  ( ( H `  x
) Q ( H `
 y ) ) )
46 eqid 2137 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ>= `  M )  =  (
ZZ>= `  M )
4746, 24, 28, 29seqf 10227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  seq M (  .+  ,  F ) : (
ZZ>= `  M ) --> S )
4847ffvelrnda 5548 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  e.  S )
49 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
5049eleq1d 2206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  e.  S  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
) )
5128ralrimiva 2503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  (
ZZ>= `  M ) ( F `  x )  e.  S )
5251adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( F `  x
)  e.  S )
53 peano2uz 9371 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5438, 53syl 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M )
)
5550, 52, 54rspcdva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  S
)
56 oveq1 5774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( x  .+  y
)  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)
5756fveq2d 5418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  (
x  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
) )
58 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( H `  x
)  =  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) )
5958oveq1d 5782 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) )
6057, 59eqeq12d 2152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  ->  ( ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) ) ) )
61 oveq2 5775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )  =  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6261fveq2d 5418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( H `
 ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
63 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  ( H `  y )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6463oveq2d 5783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
6562, 64eqeq12d 2152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  ( n  +  1
) )  ->  (
( H `  (
(  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  y )
)  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  y ) )  <->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
6660, 65rspc2v 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 n )  e.  S  /\  ( F `
 ( n  + 
1 ) )  e.  S )  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x 
.+  y ) )  =  ( ( H `
 x ) Q ( H `  y
) )  ->  ( H `  ( (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
)  .+  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( H `
 ( F `  ( n  +  1
) ) ) ) ) )
6748, 55, 66syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( H `  ( x  .+  y ) )  =  ( ( H `  x ) Q ( H `  y ) )  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) ) )
6845, 67mpd 13 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )  .+  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) ) )
69 2fveq3 5419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( H `  ( F `  x ) )  =  ( H `  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
70 fveq2 5414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( n  +  1
) ) )
7169, 70eqeq12d 2152 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x )  <->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7222adantr 274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  A. x  e.  ( ZZ>= `  M )
( H `  ( F `  x )
)  =  ( G `
 x ) )
7371, 72, 54rspcdva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  ( F `  (
n  +  1 ) ) )  =  ( G `  ( n  +  1 ) ) )
7473oveq2d 5783 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( H `  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) ) )  =  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7542, 68, 743eqtrd 2174 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( H `  (  seq M ( 
.+  ,  F ) `
 ( n  + 
1 ) ) )  =  ( ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  n )
) Q ( G `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
7632adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  x  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( G `  x )  e.  S
)
7733adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  /\  ( x  e.  S  /\  y  e.  S ) )  -> 
( x Q y )  e.  S )
7838, 76, 77seq3p1 10228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) )
7975, 78eqeq12d 2152 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) )  <->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) )  =  ( (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) Q ( G `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
8037, 79syl5ibr 155 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  ( ZZ>= `  M )
)  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) )
8180expcom 115 . . . 4  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n )  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  (
n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  ( n  +  1
) ) ) ) )
8281a2d 26 . . 3  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  n
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  n ) )  -> 
( ph  ->  ( H `
 (  seq M
(  .+  ,  F
) `  ( n  +  1 ) ) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  (
n  +  1 ) ) ) ) )
835, 9, 13, 17, 36, 82uzind4 9376 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) ) )
841, 83mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( H `  (  seq M (  .+  ,  F ) `  N
) )  =  (  seq M ( Q ,  G ) `  N ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103    = wceq 1331    e. wcel 1480   A.wral 2414   ` cfv 5118  (class class class)co 5767   1c1 7614    + caddc 7616   ZZcz 9047   ZZ>=cuz 9319    seqcseq 10211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-addcom 7713  ax-addass 7715  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-ltadd 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-inn 8714  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-seqfrec 10212
This theorem is referenced by:  seqfeq3  10278  seq3distr  10279  efcj  11368
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