Theorem seq3homo 10409

Description: Apply a homomorphism to a sequence. (Contributed by Jim Kingdon, 10-Oct-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3homo.1	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
seq3homo.2	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
seq3homo.3	|- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
seq3homo.4	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
seq3homo.5	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
seq3homo.g	|- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
seq3homo.qcl	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )

Assertion

Ref	Expression
seq3homo	|- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Distinct variable groups:   x, y, F   x, H, y   x, M, y   x, N, y   ph, x, y   x, G   x, .+ , y   x, Q, y   x, S, y   y, G

Proof of Theorem seq3homo

Dummy variables n w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3homo.3	. 2 |- ( ph -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
2		2fveq3 5473	. . . . 5 |- ( w = M -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) )
3		fveq2 5468	. . . . 5 |- ( w = M -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
4	2, 3	eqeq12d 2172	. . . 4 |- ( w = M -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
5	4	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = M -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) ) )
6		2fveq3 5473	. . . . 5 |- ( w = n -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
7		fveq2 5468	. . . . 5 |- ( w = n -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) )
8	6, 7	eqeq12d 2172	. . . 4 |- ( w = n -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) )
9	8	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = n -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) ) )
10		2fveq3 5473	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) )
11		fveq2 5468	. . . . 5 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) )
12	10, 11	eqeq12d 2172	. . . 4 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
13	12	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = ( n + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
14		2fveq3 5473	. . . . 5 |- ( w = N -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) )
15		fveq2 5468	. . . . 5 |- ( w = N -> ( seq M ( Q , G ) ` w ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )
16	14, 15	eqeq12d 2172	. . . 4 |- ( w = N -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) <-> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
17	16	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = N -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` w ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) ) )
18		2fveq3 5473	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
19		fveq2 5468	. . . . . . 7 |- ( x = M -> ( G ` x ) = ( G ` M ) )
20	18, 19	eqeq12d 2172	. . . . . 6 |- ( x = M -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) ) )
21		seq3homo.5	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
22	21	ralrimiva 2530	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
23		eluzel2 9444	. . . . . . . 8 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> M e. ZZ )
24	1, 23	syl 14	. . . . . . 7 |- ( ph -> M e. ZZ )
25		uzid 9453	. . . . . . 7 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
26	24, 25	syl 14	. . . . . 6 |- ( ph -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
27	20, 22, 26	rspcdva 2821	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( F ` M ) ) = ( G ` M ) )
28		seq3homo.2	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
29		seq3homo.1	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
30	24, 28, 29	seq3-1 10359	. . . . . 6 |- ( ph -> ( seq M ( .+ , F ) ` M ) = ( F ` M ) )
31	30	fveq2d 5472	. . . . 5 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( H ` ( F ` M ) ) )
32		seq3homo.g	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
33		seq3homo.qcl	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
34	24, 32, 33	seq3-1 10359	. . . . 5 |- ( ph -> ( seq M ( Q , G ) ` M ) = ( G ` M ) )
35	27, 31, 34	3eqtr4d 2200	. . . 4 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) )
36	35	a1i 9	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` M ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` M ) ) )
37		oveq1 5831	. . . . . 6 |- ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
38		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> n e. ( ZZ>= ` M ) )
39	28	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` x ) e. S )
40	29	adantlr 469	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x .+ y ) e. S )
41	38, 39, 40	seq3p1 10361	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
42	41	fveq2d 5472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
43		seq3homo.4	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
44	43	ralrimivva 2539	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
45	44	adantr 274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) )
46		eqid 2157	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ZZ>= ` M ) = ( ZZ>= ` M )
47	46, 24, 28, 29	seqf 10360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> seq M ( .+ , F ) : ( ZZ>= ` M ) --> S )
48	47	ffvelrnda 5602	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S )
49		fveq2 5468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( F ` x ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
50	49	eleq1d 2226	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( F ` x ) e. S <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) )
51	28	ralrimiva 2530	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
52	51	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( F ` x ) e. S )
53		peano2uz 9494	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
54	38, 53	syl 14	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( n + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
55	50, 52, 54	rspcdva 2821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. S )
56		oveq1 5831	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( x .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) )
57	56	fveq2d 5472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` ( x .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) )
58		fveq2 5468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( H ` x ) = ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) )
59	58	oveq1d 5839	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) )
60	57, 59	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( seq M ( .+ , F ) ` n ) -> ( ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) ) )
61		oveq2 5832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) = ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
62	61	fveq2d 5472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
63		fveq2 5468	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( H ` y ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
64	63	oveq2d 5840	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
65	62, 64	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( F ` ( n + 1 ) ) -> ( ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ y ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` y ) ) <-> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
66	60, 65	rspc2v 2829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) e. S /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. S ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
67	48, 55, 66	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( A. x e. S A. y e. S ( H ` ( x .+ y ) ) = ( ( H ` x ) Q ( H ` y ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) ) )
68	45, 67	mpd 13	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( ( seq M ( .+ , F ) ` n ) .+ ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) )
69		2fveq3 5473	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( H ` ( F ` x ) ) = ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
70		fveq2 5468	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
71	69, 70	eqeq12d 2172	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( n + 1 ) -> ( ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) <-> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
72	22	adantr 274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> A. x e. ( ZZ>= ` M ) ( H ` ( F ` x ) ) = ( G ` x ) )
73	71, 72, 54	rspcdva 2821	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) = ( G ` ( n + 1 ) ) )
74	73	oveq2d 5840	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( H ` ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
75	42, 68, 74	3eqtrd 2194	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
76	32	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ x e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( G ` x ) e. S )
77	33	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( x e. S /\ y e. S ) ) -> ( x Q y ) e. S )
78	38, 76, 77	seq3p1 10361	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) )
79	75, 78	eqeq12d 2172	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( seq M ( Q , G ) ` n ) Q ( G ` ( n + 1 ) ) ) ) )
80	37, 79	syl5ibr 155	. . . . 5 |- ( ( ph /\ n e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) )
81	80	expcom 115	. . . 4 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
82	81	a2d 26	. . 3 |- ( n e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` n ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` n ) ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` ( n + 1 ) ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` ( n + 1 ) ) ) ) )
83	5, 9, 13, 17, 36, 82	uzind4 9499	. 2 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) ) )
84	1, 83	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` ( seq M ( .+ , F ) ` N ) ) = ( seq M ( Q , G ) ` N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   = wceq 1335   e. wcel 2128   A.wral 2435   ` cfv 5170  (class class class)co 5824   1c1 7733   + caddc 7735   ZZcz 9167   ZZ>=cuz 9439   seqcseq 10344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4496  ax-iinf 4547  ax-cnex 7823  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-1re 7826  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-addrcl 7829  ax-mulcl 7830  ax-addcom 7832  ax-addass 7834  ax-distr 7836  ax-i2m1 7837  ax-0lt1 7838  ax-0id 7840  ax-rnegex 7841  ax-cnre 7843  ax-pre-ltirr 7844  ax-pre-ltwlin 7845  ax-pre-lttrn 7846  ax-pre-ltadd 7848

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4550  df-xp 4592  df-rel 4593  df-cnv 4594  df-co 4595  df-dm 4596  df-rn 4597  df-res 4598  df-ima 4599  df-iota 5135  df-fun 5172  df-fn 5173  df-f 5174  df-f1 5175  df-fo 5176  df-f1o 5177  df-fv 5178  df-riota 5780  df-ov 5827  df-oprab 5828  df-mpo 5829  df-1st 6088  df-2nd 6089  df-recs 6252  df-frec 6338  df-pnf 7914  df-mnf 7915  df-xr 7916  df-ltxr 7917  df-le 7918  df-sub 8048  df-neg 8049  df-inn 8834  df-n0 9091  df-z 9168  df-uz 9440  df-seqfrec 10345

This theorem is referenced by:  seqfeq3  10411  seq3distr  10412  efcj  11570