Theorem seq3m1 10725

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3m1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seq3m1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
seq3m1.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3m1.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3m1	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3m1.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seq3m1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
3		eluzp1m1 9770	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		seq3m1.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		seq3m1.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7	4, 5, 6	seq3p1 10717	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))))
8		eluzelcn 9757	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 8115	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		npcan 8378	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
11	8, 9, 10	sylancl 413	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
12	2, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
13	12	fveq2d 5639	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
14	12	fveq2d 5639	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐹‘𝑁))
15	14	oveq2d 6029	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
16	7, 13, 15	3eqtr3d 2270	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  1c1 8023   + caddc 8025   − cmin 8340  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  seqm1g  10726  seq3f1olemqsumkj  10763  seq3id  10777  seq3z  10780  bcn2  11016  seq3coll  11096  serf0  11903  lgsval2lem  15729