ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3m1 GIF version

Theorem seq3m1 9943
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3m1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seq3m1.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
seq3m1.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seq3m1.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3m1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3m1
StepHypRef Expression
1 seq3m1.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 seq3m1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
3 eluzp1m1 9096 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
41, 2, 3syl2anc 404 . . 3 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
5 seq3m1.f . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 seq3m1.pl . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
74, 5, 6seq3p1 9938 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))))
8 eluzelcn 9084 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
9 ax-1cn 7492 . . . . 5 1 ∈ ℂ
10 npcan 7745 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
118, 9, 10sylancl 405 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
122, 11syl 14 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1312fveq2d 5322 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
1412fveq2d 5322 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐹𝑁))
1514oveq2d 5682 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
167, 13, 153eqtr3d 2129 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1290  wcel 1439  cfv 5028  (class class class)co 5666  cc 7402  1c1 7405   + caddc 7407  cmin 7707  cz 8804  cuz 9073  seqcseq 9906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416  ax-cnex 7490  ax-resscn 7491  ax-1cn 7492  ax-1re 7493  ax-icn 7494  ax-addcl 7495  ax-addrcl 7496  ax-mulcl 7497  ax-addcom 7499  ax-addass 7501  ax-distr 7503  ax-i2m1 7504  ax-0lt1 7505  ax-0id 7507  ax-rnegex 7508  ax-cnre 7510  ax-pre-ltirr 7511  ax-pre-ltwlin 7512  ax-pre-lttrn 7513  ax-pre-ltadd 7515
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-nel 2352  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-ilim 4205  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-riota 5622  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-frec 6170  df-pnf 7578  df-mnf 7579  df-xr 7580  df-ltxr 7581  df-le 7582  df-sub 7709  df-neg 7710  df-inn 8477  df-n0 8728  df-z 8805  df-uz 9074  df-iseq 9907  df-seq3 9908
This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  9981  serf0  10795
  Copyright terms: Public domain W3C validator