Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  seq3m1 GIF version

Theorem seq3m1 10248
 Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
seq3m1.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
seq3m1.n (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
seq3m1.f ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
seq3m1.pl ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
seq3m1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3m1
StepHypRef Expression
1 seq3m1.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
2 seq3m1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
3 eluzp1m1 9356 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
41, 2, 3syl2anc 408 . . 3 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀))
5 seq3m1.f . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6 seq3m1.pl . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
74, 5, 6seq3p1 10242 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))))
8 eluzelcn 9344 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
9 ax-1cn 7720 . . . . 5 1 ∈ ℂ
10 npcan 7978 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
118, 9, 10sylancl 409 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
122, 11syl 14 . . 3 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
1312fveq2d 5425 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
1412fveq2d 5425 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐹𝑁))
1514oveq2d 5790 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
167, 13, 153eqtr3d 2180 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹𝑁)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  ℂcc 7625  1c1 7628   + caddc 7630   − cmin 7940  ℤcz 9061  ℤ≥cuz 9333  seqcseq 10225 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-seqfrec 10226 This theorem is referenced by:  seq3f1olemqsumkj  10278  seq3id  10288  seq3z  10291  bcn2  10517  seq3coll  10592  serf0  11128
 Copyright terms: Public domain W3C validator