Theorem seq3m1 10910

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Jim Kingdon, 3-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
seq3m1.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
seq3m1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
seq3m1.f	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
seq3m1.pl	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
seq3m1	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑀,𝑦   𝑥,𝑁,𝑦   𝑥,𝑆,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem seq3m1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seq3m1.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
2		seq3m1.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
3		eluzp1m1 9946	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		seq3m1.f	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝑆)
6		seq3m1.pl	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
7	4, 5, 6	seq3p1 10902	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))))
8		eluzelcn 9933	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → 𝑁 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 8272	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		npcan 8535	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
11	8, 9, 10	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
12	2, 11	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
13	12	fveq2d 5699	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘((𝑁 − 1) + 1)) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))
14	12	fveq2d 5699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1)) = (𝐹‘𝑁))
15	14	oveq2d 6101	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘((𝑁 − 1) + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))
16	7, 13, 15	3eqtr3d 2279	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 − 1)) + (𝐹‘𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   + caddc 8182   − cmin 8497  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-seqfrec 10885

This theorem is used by:  seqm1g  10911  seq3f1olemqsumkj  10948  seq3id  10962  seq3z  10965  bcn2  11202  seq3coll  11294  serf0  12118  lgsval2lem  16129