Theorem ser0 10970

Description: The value of the partial sums in a zero-valued infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ser0.1	|- Z = ( ZZ>= ` M )

Assertion

Ref	Expression
ser0	|- ( N e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` N ) = 0 )

Proof of Theorem ser0

Dummy variables v k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		00id 8467	. . 3 |- ( 0 + 0 ) = 0
2	1	a1i 9	. 2 |- ( N e. Z -> ( 0 + 0 ) = 0 )
3		ser0.1	. . . 4 |- Z = ( ZZ>= ` M )
4	3	eleq2i 2305	. . 3 |- ( N e. Z <-> N e. ( ZZ>= ` M ) )
5	4	biimpi 120	. 2 |- ( N e. Z -> N e. ( ZZ>= ` M ) )
6		0cn 8318	. . 3 |- 0 e. CC
7		elfzuz 10424	. . . . 5 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
8	7, 3	eleqtrrdi 2332	. . . 4 |- ( k e. ( M ... N ) -> k e. Z )
9	8	adantl 277	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> k e. Z )
10		fvconst2g 5929	. . 3 |- ( ( 0 e. CC /\ k e. Z ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
11	6, 9, 10	sylancr 418	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( M ... N ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
12		0cnd 8319	. 2 |- ( N e. Z -> 0 e. CC )
13	3	eleq2i 2305	. . . . . 6 |- ( k e. Z <-> k e. ( ZZ>= ` M ) )
14	13	biimpri 133	. . . . 5 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> k e. Z )
15	14	adantl 277	. . . 4 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. Z )
16	6, 15, 10	sylancr 418	. . 3 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) = 0 )
17	16, 6	eqeltrdi 2329	. 2 |- ( ( N e. Z /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( Z X. { 0 } ) ` k ) e. CC )
18		addcl 8304	. . 3 |- ( ( k e. CC /\ v e. CC ) -> ( k + v ) e. CC )
19	18	adantl 277	. 2 |- ( ( N e. Z /\ ( k e. CC /\ v e. CC ) ) -> ( k + v ) e. CC )
20	2, 5, 11, 12, 17, 19	seq3id3 10961	1 |- ( N e. Z -> ( seq M ( + , ( Z X. { 0 } ) ) ` N ) = 0 )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   X. cxp 4772   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   CCcc 8177   0cc0 8179   + caddc 8182   ZZ>=cuz 9921   ...cfz 10411   seqcseq 10884

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-fzo 10550  df-seqfrec 10885

This theorem is used by:  ser0f  10971  isumz  12156