ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ser0 Unicode version

Theorem ser0 9945
Description: The value of the partial sums in a zero-valued infinite series. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ser0.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
ser0  |-  ( N  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 N )  =  0 )

Proof of Theorem ser0
Dummy variables  v  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 9022 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
2 ser0.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
31, 2eleq2s 2182 . . . 4  |-  ( N  e.  Z  ->  M  e.  ZZ )
4 0cn 7478 . . . . . 6  |-  0  e.  CC
52eleq2i 2154 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  Z  <->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
65biimpri 131 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  k  e.  Z )
76adantl 271 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
k  e.  Z )
8 fvconst2g 5511 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  CC  /\  k  e.  Z )  ->  ( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
94, 7, 8sylancr 405 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
109, 4syl6eqel 2178 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  M ) )  -> 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )  e.  CC )
113, 10iseqseq3 9898 . . 3  |-  ( N  e.  Z  ->  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC )  =  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) )
1211fveq1d 5307 . 2  |-  ( N  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC ) `  N
)  =  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 N ) )
13 00id 7621 . . . 4  |-  ( 0  +  0 )  =  0
1413a1i 9 . . 3  |-  ( N  e.  Z  ->  (
0  +  0 )  =  0 )
152eleq2i 2154 . . . 4  |-  ( N  e.  Z  <->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1615biimpi 118 . . 3  |-  ( N  e.  Z  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M )
)
17 elfzuz 9434 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
1817, 2syl6eleqr 2181 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( M ... N )  ->  k  e.  Z )
1918adantl 271 . . . 4  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
k  e.  Z )
204, 19, 8sylancr 405 . . 3  |-  ( ( N  e.  Z  /\  k  e.  ( M ... N ) )  -> 
( ( Z  X.  { 0 } ) `
 k )  =  0 )
21 0cnd 7479 . . 3  |-  ( N  e.  Z  ->  0  e.  CC )
22 addcl 7465 . . . 4  |-  ( ( k  e.  CC  /\  v  e.  CC )  ->  ( k  +  v )  e.  CC )
2322adantl 271 . . 3  |-  ( ( N  e.  Z  /\  ( k  e.  CC  /\  v  e.  CC ) )  ->  ( k  +  v )  e.  CC )
2414, 16, 20, 21, 10, 23iseqid3s 9934 . 2  |-  ( N  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ,  CC ) `  N
)  =  0 )
2512, 24eqtr3d 2122 1  |-  ( N  e.  Z  ->  (  seq M (  +  , 
( Z  X.  {
0 } ) ) `
 N )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    = wceq 1289    e. wcel 1438   {csn 3446    X. cxp 4436   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   CCcc 7346   0cc0 7348    + caddc 7351   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   ...cfz 9422    seqcseq4 9847    seqcseq 9848
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-ilim 4196  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-frec 6156  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-fz 9423  df-fzo 9550  df-iseq 9849  df-seq3 9850
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator