Theorem slotsdnscsi 13055

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9115	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9047	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9312	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9315	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9638	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9541	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8168	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 13047	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 12983	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2393	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9117	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9316	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9637	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9541	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8168	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 12989	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2393	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9121	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9318	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9635	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9541	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8168	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 13001	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2393	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1178	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 981   ≠ wne 2376  ‘cfv 5271  1c1 7926  2c2 9087  5c5 9090  6c6 9091  8c8 9093  ;cdc 9504  ndxcnx 12829  Scalarcsca 12912   ·_𝑠 cvsca 12913  ·_𝑖cip 12914  distcds 12918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-ip 12927  df-ds 12931

This theorem is referenced by:  sradsg  14210