Theorem slotsdnscsi 13560

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9366	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9298	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9563	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9566	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9894	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9797	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8415	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 13552	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 13488	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9368	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9567	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9893	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9797	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8415	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 13494	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9372	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9569	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9891	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9797	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8415	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 13506	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1206	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1009   ≠ wne 2420  ‘cfv 5375  1c1 8174  2c2 9338  5c5 9341  6c6 9342  8c8 9344  ;cdc 9760  ndxcnx 13332  Scalarcsca 13417   ·_𝑠 cvsca 13418  ·_𝑖cip 13419  distcds 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-ds 13436

This theorem is referenced by:  sradsg  14768