Theorem slotsdnscsi 12896

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9069	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9001	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9266	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9269	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9591	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9494	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8122	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 12888	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 12828	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2384	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9071	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9270	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9590	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9494	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8122	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 12834	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2384	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9075	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9272	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9588	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9494	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8122	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 12846	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2384	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1177	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 980   ≠ wne 2367  ‘cfv 5258  1c1 7880  2c2 9041  5c5 9044  6c6 9045  8c8 9047  ;cdc 9457  ndxcnx 12675  Scalarcsca 12758   ·_𝑠 cvsca 12759  ·_𝑖cip 12760  distcds 12764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-ds 12777

This theorem is referenced by:  sradsg  14004