Theorem slotsdnscsi 13256

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9189	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9121	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9386	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9389	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9712	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9615	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8242	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 13248	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 13184	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2417	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9191	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9390	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9711	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9615	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8242	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 13190	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2417	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9195	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9392	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9709	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9615	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8242	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 13202	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2417	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1199	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1002   ≠ wne 2400  ‘cfv 5318  1c1 8000  2c2 9161  5c5 9164  6c6 9165  8c8 9167  ;cdc 9578  ndxcnx 13029  Scalarcsca 13113   ·_𝑠 cvsca 13114  ·_𝑖cip 13115  distcds 13119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-9 9176  df-n0 9370  df-z 9447  df-dec 9579  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-ip 13128  df-ds 13132

This theorem is referenced by:  sradsg  14412