Theorem slotsdnscsi 12839

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9063	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 8995	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9260	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9263	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9585	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9488	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8117	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 12831	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 12771	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2381	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9065	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9264	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9584	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9488	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8117	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 12777	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2381	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9069	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9266	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9582	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9488	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8117	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 12789	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2381	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1177	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 980   ≠ wne 2364  ‘cfv 5255  1c1 7875  2c2 9035  5c5 9038  6c6 9039  8c8 9041  ;cdc 9451  ndxcnx 12618  Scalarcsca 12701   ·_𝑠 cvsca 12702  ·_𝑖cip 12703  distcds 12707

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-ds 12720

This theorem is referenced by:  sradsg  13947