Theorem slotsdnscsi 13367

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9265	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9197	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9462	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9465	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9788	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9691	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8318	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 13359	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 13295	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2420	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9267	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9466	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9787	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9691	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8318	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 13301	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2420	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9271	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9468	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9785	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9691	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8318	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 13313	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2420	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1202	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1005   ≠ wne 2403  ‘cfv 5333  1c1 8076  2c2 9237  5c5 9240  6c6 9241  8c8 9243  ;cdc 9654  ndxcnx 13140  Scalarcsca 13224   ·_𝑠 cvsca 13225  ·_𝑖cip 13226  distcds 13230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-5 9248  df-6 9249  df-7 9250  df-8 9251  df-9 9252  df-n0 9446  df-z 9523  df-dec 9655  df-ndx 13146  df-slot 13147  df-sca 13237  df-vsca 13238  df-ip 13239  df-ds 13243

This theorem is referenced by:  sradsg  14524