Theorem slotsdnscsi 13579

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9384	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9316	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9582	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9585	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9913	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9816	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8421	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 13571	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 13507	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9386	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9586	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9912	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9816	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8421	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 13513	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9390	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9588	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9910	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9816	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8421	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 13525	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2437	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1206	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ w3a 1009   ≠ wne 2420  ‘cfv 5377  1c1 8180  2c2 9356  5c5 9359  6c6 9360  8c8 9362  ;cdc 9779  ndxcnx 13351  Scalarcsca 13436   ·_𝑠 cvsca 13437  ·_𝑖cip 13438  distcds 13442

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-ds 13455

This theorem is used by:  sradsg  14787