Theorem slotsdnscsi 13410

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9304	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9236	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9501	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9504	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9829	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9732	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8357	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 13402	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 13338	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2429	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9306	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9505	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9828	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9732	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8357	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 13344	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2429	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9310	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9507	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9826	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9732	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8357	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 13356	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2429	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1202	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1005   ≠ wne 2412  ‘cfv 5343  1c1 8116  2c2 9276  5c5 9279  6c6 9280  8c8 9282  ;cdc 9695  ndxcnx 13183  Scalarcsca 13267   ·_𝑠 cvsca 13268  ·_𝑖cip 13269  distcds 13273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4221  ax-pow 4279  ax-pr 4314  ax-un 4545  ax-setind 4650  ax-cnex 8206  ax-resscn 8207  ax-1cn 8208  ax-1re 8209  ax-icn 8210  ax-addcl 8211  ax-addrcl 8212  ax-mulcl 8213  ax-mulrcl 8214  ax-addcom 8215  ax-mulcom 8216  ax-addass 8217  ax-mulass 8218  ax-distr 8219  ax-i2m1 8220  ax-0lt1 8221  ax-1rid 8222  ax-0id 8223  ax-rnegex 8224  ax-precex 8225  ax-cnre 8226  ax-pre-ltirr 8227  ax-pre-ltwlin 8228  ax-pre-lttrn 8229  ax-pre-ltadd 8231  ax-pre-mulgt0 8232

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3667  df-sn 3688  df-pr 3689  df-op 3691  df-uni 3908  df-int 3943  df-br 4103  df-opab 4165  df-mpt 4166  df-id 4405  df-xp 4746  df-rel 4747  df-cnv 4748  df-co 4749  df-dm 4750  df-rn 4751  df-res 4752  df-iota 5303  df-fun 5345  df-fv 5351  df-riota 5994  df-ov 6044  df-oprab 6045  df-mpo 6046  df-pnf 8298  df-mnf 8299  df-xr 8300  df-ltxr 8301  df-le 8302  df-sub 8434  df-neg 8435  df-inn 9226  df-2 9284  df-3 9285  df-4 9286  df-5 9287  df-6 9288  df-7 9289  df-8 9290  df-9 9291  df-n0 9485  df-z 9564  df-dec 9696  df-ndx 13189  df-slot 13190  df-sca 13280  df-vsca 13281  df-ip 13282  df-ds 13286

This theorem is referenced by:  sradsg  14568