ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  slotsdnscsi GIF version

Theorem slotsdnscsi 12668
Description: The slots Scalar, ·𝑠 and ·𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)
Assertion
Ref Expression
slotsdnscsi ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi
StepHypRef Expression
1 5re 8996 . . . 4 5 ∈ ℝ
2 1nn 8928 . . . . 5 1 ∈ ℕ
3 2nn0 9191 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
4 5nn0 9194 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
5 5lt10 9516 . . . . 5 5 < 10
62, 3, 4, 5declti 9419 . . . 4 5 < 12
71, 6gtneii 8051 . . 3 12 ≠ 5
8 dsndx 12660 . . . 4 (dist‘ndx) = 12
9 scandx 12603 . . . 4 (Scalar‘ndx) = 5
108, 9neeq12i 2364 . . 3 ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ 12 ≠ 5)
117, 10mpbir 146 . 2 (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12 6re 8998 . . . 4 6 ∈ ℝ
13 6nn0 9195 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
14 6lt10 9515 . . . . 5 6 < 10
152, 3, 13, 14declti 9419 . . . 4 6 < 12
1612, 15gtneii 8051 . . 3 12 ≠ 6
17 vscandx 12609 . . . 4 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
188, 17neeq12i 2364 . . 3 ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 12 ≠ 6)
1916, 18mpbir 146 . 2 (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20 8re 9002 . . . 4 8 ∈ ℝ
21 8nn0 9197 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
22 8lt10 9513 . . . . 5 8 < 10
232, 3, 21, 22declti 9419 . . . 4 8 < 12
2420, 23gtneii 8051 . . 3 12 ≠ 8
25 ipndx 12621 . . . 4 (·𝑖‘ndx) = 8
268, 25neeq12i 2364 . . 3 ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 12 ≠ 8)
2724, 26mpbir 146 . 2 (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
2811, 19, 273pm3.2i 1175 1 ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  w3a 978  wne 2347  cfv 5216  1c1 7811  2c2 8968  5c5 8971  6c6 8972  8c8 8974  cdc 9382  ndxcnx 12453  Scalarcsca 12533   ·𝑠 cvsca 12534  ·𝑖cip 12535  distcds 12539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-dec 9383  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-sca 12546  df-vsca 12547  df-ip 12548  df-ds 12552
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator