Theorem slotsdnscsi 12668

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 8996	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 8928	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9191	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9194	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9516	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9419	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8051	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 12660	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 12603	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 8998	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9195	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9515	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9419	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8051	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 12609	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9002	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9197	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9513	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9419	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8051	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 12621	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1175	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 978   ≠ wne 2347  ‘cfv 5216  1c1 7811  2c2 8968  5c5 8971  6c6 8972  8c8 8974  ;cdc 9382  ndxcnx 12453  Scalarcsca 12533   ·_𝑠 cvsca 12534  ·_𝑖cip 12535  distcds 12539

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-xr 7994  df-ltxr 7995  df-le 7996  df-sub 8128  df-neg 8129  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-4 8978  df-5 8979  df-6 8980  df-7 8981  df-8 8982  df-9 8983  df-n0 9175  df-z 9252  df-dec 9383  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-sca 12546  df-vsca 12547  df-ip 12548  df-ds 12552

This theorem is referenced by: (None)