Theorem slotsdnscsi 12925

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9086	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9018	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9283	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9286	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9608	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9511	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8139	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 12917	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 12853	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2384	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9088	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9287	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9607	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9511	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8139	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 12859	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2384	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9092	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9289	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9605	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9511	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8139	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 12871	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2384	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1177	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 980   ≠ wne 2367  ‘cfv 5259  1c1 7897  2c2 9058  5c5 9061  6c6 9062  8c8 9064  ;cdc 9474  ndxcnx 12700  Scalarcsca 12783   ·_𝑠 cvsca 12784  ·_𝑖cip 12785  distcds 12789

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-ds 12802

This theorem is referenced by:  sradsg  14080