Theorem slotsdnscsi 13327

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9225	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9157	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9422	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9425	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9748	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9651	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8278	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 13319	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 13255	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2419	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9227	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9426	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9747	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9651	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8278	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 13261	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2419	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9231	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9428	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9745	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9651	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8278	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 13273	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2419	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1201	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1004   ≠ wne 2402  ‘cfv 5326  1c1 8036  2c2 9197  5c5 9200  6c6 9201  8c8 9203  ;cdc 9614  ndxcnx 13100  Scalarcsca 13184   ·_𝑠 cvsca 13185  ·_𝑖cip 13186  distcds 13190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-mulrcl 8134  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-0lt1 8141  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-precex 8145  ax-cnre 8146  ax-pre-ltirr 8147  ax-pre-ltwlin 8148  ax-pre-lttrn 8149  ax-pre-ltadd 8151  ax-pre-mulgt0 8152

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-pnf 8219  df-mnf 8220  df-xr 8221  df-ltxr 8222  df-le 8223  df-sub 8355  df-neg 8356  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-z 9483  df-dec 9615  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-sca 13197  df-vsca 13198  df-ip 13199  df-ds 13203

This theorem is referenced by:  sradsg  14484