Theorem slotsdnscsi 12674

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 8998	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 8930	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9193	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9196	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9518	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9421	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8053	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 12666	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 12609	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9000	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9197	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9517	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9421	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8053	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 12615	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9004	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9199	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9515	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9421	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8053	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 12627	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2364	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1175	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 978   ≠ wne 2347  ‘cfv 5217  1c1 7812  2c2 8970  5c5 8973  6c6 8974  8c8 8976  ;cdc 9384  ndxcnx 12459  Scalarcsca 12539   ·_𝑠 cvsca 12540  ·_𝑖cip 12541  distcds 12545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1cn 7904  ax-1re 7905  ax-icn 7906  ax-addcl 7907  ax-addrcl 7908  ax-mulcl 7909  ax-mulrcl 7910  ax-addcom 7911  ax-mulcom 7912  ax-addass 7913  ax-mulass 7914  ax-distr 7915  ax-i2m1 7916  ax-0lt1 7917  ax-1rid 7918  ax-0id 7919  ax-rnegex 7920  ax-precex 7921  ax-cnre 7922  ax-pre-ltirr 7923  ax-pre-ltwlin 7924  ax-pre-lttrn 7925  ax-pre-ltadd 7927  ax-pre-mulgt0 7928

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-pnf 7994  df-mnf 7995  df-xr 7996  df-ltxr 7997  df-le 7998  df-sub 8130  df-neg 8131  df-inn 8920  df-2 8978  df-3 8979  df-4 8980  df-5 8981  df-6 8982  df-7 8983  df-8 8984  df-9 8985  df-n0 9177  df-z 9254  df-dec 9385  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-sca 12552  df-vsca 12553  df-ip 12554  df-ds 12558

This theorem is referenced by: (None)