Theorem slotsdnscsi 12606

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 8969	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 8901	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9164	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9167	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9489	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9392	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8027	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 12598	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 12557	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2362	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 8971	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9168	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9488	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9392	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8027	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 12563	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2362	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 8975	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9170	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9486	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9392	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8027	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 12571	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2362	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1175	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 978   ≠ wne 2345  ‘cfv 5208  1c1 7787  2c2 8941  5c5 8944  6c6 8945  8c8 8947  ;cdc 9355  ndxcnx 12425  Scalarcsca 12495   ·_𝑠 cvsca 12496  ·_𝑖cip 12497  distcds 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fv 5216  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-n0 9148  df-z 9225  df-dec 9356  df-ndx 12431  df-slot 12432  df-sca 12508  df-vsca 12509  df-ip 12510  df-ds 12514

This theorem is referenced by: (None)