Theorem slotsdnscsi 13457

Description: The slots Scalar, ·_𝑠 and ·_𝑖 are different from the slot dist. (Contributed by AV, 29-Oct-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdnscsi	⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Proof of Theorem slotsdnscsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5re 9321	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℝ
2		1nn 9253	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
3		2nn0 9518	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
4		5nn0 9521	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ0
5		5lt10 9849	. . . . 5 ⊢ 5 < ;10
6	2, 3, 4, 5	declti 9752	. . . 4 ⊢ 5 < ;12
7	1, 6	gtneii 8374	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 5
8		dsndx 13449	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
9		scandx 13385	. . . 4 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
10	8, 9	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ↔ ;12 ≠ 5)
11	7, 10	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
12		6re 9323	. . . 4 ⊢ 6 ∈ ℝ
13		6nn0 9522	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
14		6lt10 9848	. . . . 5 ⊢ 6 < ;10
15	2, 3, 13, 14	declti 9752	. . . 4 ⊢ 6 < ;12
16	12, 15	gtneii 8374	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 6
17		vscandx 13391	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
18	8, 17	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ ;12 ≠ 6)
19	16, 18	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
20		8re 9327	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
21		8nn0 9524	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
22		8lt10 9846	. . . . 5 ⊢ 8 < ;10
23	2, 3, 21, 22	declti 9752	. . . 4 ⊢ 8 < ;12
24	20, 23	gtneii 8374	. . 3 ⊢ ;12 ≠ 8
25		ipndx 13403	. . . 4 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
26	8, 25	neeq12i 2431	. . 3 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ ;12 ≠ 8)
27	24, 26	mpbir 146	. 2 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
28	11, 19, 27	3pm3.2i 1202	1 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (dist‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))

Syntax hints:   ∧ w3a 1005   ≠ wne 2414  ‘cfv 5354  1c1 8133  2c2 9293  5c5 9296  6c6 9297  8c8 9299  ;cdc 9715  ndxcnx 13230  Scalarcsca 13314   ·_𝑠 cvsca 13315  ·_𝑖cip 13316  distcds 13320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-ip 13329  df-ds 13333

This theorem is referenced by:  sradsg  14645