Theorem sqrt0 11172

Description: Square root of zero. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jul-2013.)

Assertion

Ref	Expression
sqrt0	⊢ (√‘0) = 0

Proof of Theorem sqrt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 8029	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		sqrtrval 11168	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (√‘0) = (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥))
4		id 19	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℝ → 0 ∈ ℝ)
5		sqrt0rlem 11171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥)) ↔ 𝑥 = 0)
6	5	biimpi 120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥)) → 𝑥 = 0)
7	6	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 = 0))
8		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥)) → ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥))
9	5, 8	sylbir 135	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥))
10	7, 9	impbid1 142	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 0))
11	10	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ 𝑥 = 0))
12	4, 11	riota5 5904	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℝ → (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥)) = 0)
13	1, 12	ax-mp 5	. 2 ⊢ (℩𝑥 ∈ ℝ ((𝑥↑2) = 0 ∧ 0 ≤ 𝑥)) = 0
14	3, 13	eqtri 2217	1 ⊢ (√‘0) = 0

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  ℩crio 5877  (class class class)co 5923  ℝcr 7881  0cc0 7882   ≤ cle 8065  2c2 9044  ↑cexp 10633  √csqrt 11164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-mulrcl 7981  ax-addcom 7982  ax-mulcom 7983  ax-addass 7984  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-1rid 7989  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-precex 7992  ax-cnre 7993  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-ltwlin 7995  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-apti 7997  ax-pre-ltadd 7998  ax-pre-mulgt0 7999  ax-pre-mulext 8000

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6200  df-2nd 6201  df-recs 6365  df-frec 6451  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-xr 8068  df-ltxr 8069  df-le 8070  df-sub 8202  df-neg 8203  df-reap 8605  df-ap 8612  df-div 8703  df-inn 8994  df-2 9052  df-n0 9253  df-z 9330  df-uz 9605  df-seqfrec 10543  df-exp 10634  df-rsqrt 11166

This theorem is referenced by:  sqrt00  11208  abs0  11226  abs00ap  11230