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Theorem ennnfoneleminc 11769
Description: Lemma for ennnfone 11783. We only add elements to  H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
ennnfoneleminc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
ennnfoneleminc.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN0 )
ennnfoneleminc.le  |-  ( ph  ->  P  <_  Q )
Assertion
Ref Expression
ennnfoneleminc  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  C_  ( H `  Q ) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
n, F, j, k   
x, F, y    x, H, y    x, N, y   
x, P, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( j, k, n)    A( j, k, n)    P( j, k, n)    Q( x, y, j, k, n)    G( x, y, j, k, n)    H( j, k, n)    J( x, y, j, k, n)    N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfoneleminc
Dummy variables  c  a  b  r  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfoneleminc.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
21nn0zd 9075 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
3 ennnfoneleminc.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN0 )
43nn0zd 9075 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
5 ennnfoneleminc.le . . 3  |-  ( ph  ->  P  <_  Q )
62, 4, 53jca 1144 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  P  <_  Q ) )
7 fveq2 5375 . . . . 5  |-  ( w  =  P  ->  ( H `  w )  =  ( H `  P ) )
87sseq2d 3093 . . . 4  |-  ( w  =  P  ->  (
( H `  P
)  C_  ( H `  w )  <->  ( H `  P )  C_  ( H `  P )
) )
98imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  P  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  w ) )  <->  ( ph  ->  ( H `  P ) 
C_  ( H `  P ) ) ) )
10 fveq2 5375 . . . . 5  |-  ( w  =  r  ->  ( H `  w )  =  ( H `  r ) )
1110sseq2d 3093 . . . 4  |-  ( w  =  r  ->  (
( H `  P
)  C_  ( H `  w )  <->  ( H `  P )  C_  ( H `  r )
) )
1211imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  r  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  w ) )  <->  ( ph  ->  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) ) ) )
13 fveq2 5375 . . . . 5  |-  ( w  =  ( r  +  1 )  ->  ( H `  w )  =  ( H `  ( r  +  1 ) ) )
1413sseq2d 3093 . . . 4  |-  ( w  =  ( r  +  1 )  ->  (
( H `  P
)  C_  ( H `  w )  <->  ( H `  P )  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  ( r  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  w ) )  <->  ( ph  ->  ( H `  P ) 
C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) ) )
16 fveq2 5375 . . . . 5  |-  ( w  =  Q  ->  ( H `  w )  =  ( H `  Q ) )
1716sseq2d 3093 . . . 4  |-  ( w  =  Q  ->  (
( H `  P
)  C_  ( H `  w )  <->  ( H `  P )  C_  ( H `  Q )
) )
1817imbi2d 229 . . 3  |-  ( w  =  Q  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  w ) )  <->  ( ph  ->  ( H `  P ) 
C_  ( H `  Q ) ) ) )
19 ssidd 3084 . . . 4  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( H `  P )  C_  ( H `  P
) )
2019a1d 22 . . 3  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( H `  P )  C_  ( H `  P )
) )
21 simpr 109 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
( H `  P
)  C_  ( H `  r ) )
22 ennnfonelemh.dceq . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
2322ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
24 ennnfonelemh.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
2524ad2antrr 477 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  F : om -onto-> A )
26 ennnfonelemh.ne . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
2726ad2antrr 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
28 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  c  ->  ( F `  j )  =  ( F `  c ) )
2928neeq2d 2301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  c  ->  (
( F `  k
)  =/=  ( F `
 j )  <->  ( F `  k )  =/=  ( F `  c )
) )
3029cbvralv 2628 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j )  <->  A. c  e.  suc  n ( F `
 k )  =/=  ( F `  c
) )
3130rexbii 2416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j )  <->  E. k  e.  om  A. c  e. 
suc  n ( F `
 k )  =/=  ( F `  c
) )
32 fveq2 5375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  b  ->  ( F `  k )  =  ( F `  b ) )
3332neeq1d 2300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  k
)  =/=  ( F `
 c )  <->  ( F `  b )  =/=  ( F `  c )
) )
3433ralbidv 2411 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  b  ->  ( A. c  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  c )  <->  A. c  e.  suc  n
( F `  b
)  =/=  ( F `
 c ) ) )
3534cbvrexv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. k  e.  om  A. c  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  c )  <->  E. b  e.  om  A. c  e. 
suc  n ( F `
 b )  =/=  ( F `  c
) )
3631, 35bitri 183 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j )  <->  E. b  e.  om  A. c  e. 
suc  n ( F `
 b )  =/=  ( F `  c
) )
3736ralbii 2415 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e. 
suc  n ( F `
 k )  =/=  ( F `  j
)  <->  A. n  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e.  suc  n ( F `  b )  =/=  ( F `  c ) )
38 suceq 4284 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  a  ->  suc  n  =  suc  a )
3938raleqdv 2606 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  a  ->  ( A. c  e.  suc  n ( F `  b )  =/=  ( F `  c )  <->  A. c  e.  suc  a
( F `  b
)  =/=  ( F `
 c ) ) )
4039rexbidv 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  a  ->  ( E. b  e.  om  A. c  e.  suc  n
( F `  b
)  =/=  ( F `
 c )  <->  E. b  e.  om  A. c  e. 
suc  a ( F `
 b )  =/=  ( F `  c
) ) )
4140cbvralv 2628 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e. 
suc  n ( F `
 b )  =/=  ( F `  c
)  <->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e.  suc  a ( F `  b )  =/=  ( F `  c ) )
4237, 41bitri 183 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e. 
suc  n ( F `
 k )  =/=  ( F `  j
)  <->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e.  suc  a ( F `  b )  =/=  ( F `  c ) )
4327, 42sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e.  suc  a ( F `  b )  =/=  ( F `  c ) )
44 ennnfonelemh.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
45 ennnfonelemh.n . . . . . . . 8  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
46 ennnfonelemh.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
47 ennnfonelemh.h . . . . . . . 8  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
48 simplr2 1007 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
r  e.  ZZ )
49 0red 7691 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
0  e.  RR )
501nn0red 8935 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
5150ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  P  e.  RR )
5248zred 9077 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
r  e.  RR )
531nn0ge0d 8937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
5453ad2antrr 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
0  <_  P )
55 simplr3 1008 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  P  <_  r )
5649, 51, 52, 54, 55letrd 7809 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
0  <_  r )
57 elnn0z 8971 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  NN0  <->  ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r ) )
5848, 56, 57sylanbrc 411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
r  e.  NN0 )
5923, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58ennnfonelemss 11768 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
( H `  r
)  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) )
6021, 59sstrd 3073 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
( H `  P
)  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) )
6160ex 114 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  -> 
( ( H `  P )  C_  ( H `  r )  ->  ( H `  P
)  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) )
6261expcom 115 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_  r )  ->  ( ph  ->  ( ( H `
 P )  C_  ( H `  r )  ->  ( H `  P )  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) ) )
6362a2d 26 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_  r )  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  r ) )  ->  ( ph  ->  ( H `  P
)  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) ) )
649, 12, 15, 18, 20, 63uzind 9066 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  P  <_  Q )  ->  ( ph  ->  ( H `  P )  C_  ( H `  Q )
) )
656, 64mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  C_  ( H `  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 103  DECID wdc 802    /\ w3a 945    = wceq 1314    e. wcel 1463    =/= wne 2282   A.wral 2390   E.wrex 2391    u. cun 3035    C_ wss 3037   (/)c0 3329   ifcif 3440   {csn 3493   <.cop 3496   class class class wbr 3895    |-> cmpt 3949   suc csuc 4247   omcom 4464   `'ccnv 4498   dom cdm 4499   "cima 4502   -onto->wfo 5079   ` cfv 5081  (class class class)co 5728    e. cmpo 5730  freccfrec 6241    ^pm cpm 6497   RRcr 7546   0cc0 7547   1c1 7548    + caddc 7550    <_ cle 7725    - cmin 7856   NN0cn0 8881   ZZcz 8958    seqcseq 10111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-pm 6499  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-inn 8631  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-seqfrec 10112
This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  11772  ennnfonelemrnh  11774
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