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Theorem ennnfoneleminc 12465
Description: Lemma for ennnfone 12479. We only add elements to  H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ennnfonelemh.dceq  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
ennnfonelemh.f  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
ennnfonelemh.ne  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
ennnfonelemh.g  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
ennnfonelemh.j  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
ennnfoneleminc.p  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
ennnfoneleminc.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN0 )
ennnfoneleminc.le  |-  ( ph  ->  P  <_  Q )
Assertion
Ref Expression
ennnfoneleminc  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  C_  ( H `  Q ) )
Distinct variable groups:    x, A, y   
n, F, j, k   
x, F, y    x, H, y    x, N, y   
x, P, y    ph, x, y
Allowed substitution hints:    ph( j, k, n)    A( j, k, n)    P( j, k, n)    Q( x, y, j, k, n)    G( x, y, j, k, n)    H( j, k, n)    J( x, y, j, k, n)    N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfoneleminc
Dummy variables  c  a  b  r  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ennnfoneleminc.p . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
21nn0zd 9404 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
3 ennnfoneleminc.q . . . 4  |-  ( ph  ->  Q  e.  NN0 )
43nn0zd 9404 . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  ZZ )
5 ennnfoneleminc.le . . 3  |-  ( ph  ->  P  <_  Q )
62, 4, 53jca 1179 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  P  <_  Q ) )
7 fveq2 5534 . . . . 5  |-  ( w  =  P  ->  ( H `  w )  =  ( H `  P ) )
87sseq2d 3200 . . . 4  |-  ( w  =  P  ->  (
( H `  P
)  C_  ( H `  w )  <->  ( H `  P )  C_  ( H `  P )
) )
98imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  P  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  w ) )  <->  ( ph  ->  ( H `  P ) 
C_  ( H `  P ) ) ) )
10 fveq2 5534 . . . . 5  |-  ( w  =  r  ->  ( H `  w )  =  ( H `  r ) )
1110sseq2d 3200 . . . 4  |-  ( w  =  r  ->  (
( H `  P
)  C_  ( H `  w )  <->  ( H `  P )  C_  ( H `  r )
) )
1211imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  r  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  w ) )  <->  ( ph  ->  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) ) ) )
13 fveq2 5534 . . . . 5  |-  ( w  =  ( r  +  1 )  ->  ( H `  w )  =  ( H `  ( r  +  1 ) ) )
1413sseq2d 3200 . . . 4  |-  ( w  =  ( r  +  1 )  ->  (
( H `  P
)  C_  ( H `  w )  <->  ( H `  P )  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) )
1514imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  ( r  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  w ) )  <->  ( ph  ->  ( H `  P ) 
C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) ) )
16 fveq2 5534 . . . . 5  |-  ( w  =  Q  ->  ( H `  w )  =  ( H `  Q ) )
1716sseq2d 3200 . . . 4  |-  ( w  =  Q  ->  (
( H `  P
)  C_  ( H `  w )  <->  ( H `  P )  C_  ( H `  Q )
) )
1817imbi2d 230 . . 3  |-  ( w  =  Q  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  w ) )  <->  ( ph  ->  ( H `  P ) 
C_  ( H `  Q ) ) ) )
19 ssidd 3191 . . . 4  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( H `  P )  C_  ( H `  P
) )
2019a1d 22 . . 3  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( ph  ->  ( H `  P )  C_  ( H `  P )
) )
21 simpr 110 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
( H `  P
)  C_  ( H `  r ) )
22 ennnfonelemh.dceq . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
2322ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  A. x  e.  A  A. y  e.  A DECID  x  =  y )
24 ennnfonelemh.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : om -onto-> A
)
2524ad2antrr 488 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  F : om -onto-> A )
26 ennnfonelemh.ne . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
2726ad2antrr 488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j ) )
28 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( j  =  c  ->  ( F `  j )  =  ( F `  c ) )
2928neeq2d 2379 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( j  =  c  ->  (
( F `  k
)  =/=  ( F `
 j )  <->  ( F `  k )  =/=  ( F `  c )
) )
3029cbvralv 2718 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j )  <->  A. c  e.  suc  n ( F `
 k )  =/=  ( F `  c
) )
3130rexbii 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j )  <->  E. k  e.  om  A. c  e. 
suc  n ( F `
 k )  =/=  ( F `  c
) )
32 fveq2 5534 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  b  ->  ( F `  k )  =  ( F `  b ) )
3332neeq1d 2378 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  b  ->  (
( F `  k
)  =/=  ( F `
 c )  <->  ( F `  b )  =/=  ( F `  c )
) )
3433ralbidv 2490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  b  ->  ( A. c  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  c )  <->  A. c  e.  suc  n
( F `  b
)  =/=  ( F `
 c ) ) )
3534cbvrexv 2719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( E. k  e.  om  A. c  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  c )  <->  E. b  e.  om  A. c  e. 
suc  n ( F `
 b )  =/=  ( F `  c
) )
3631, 35bitri 184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. k  e.  om  A. j  e.  suc  n ( F `  k )  =/=  ( F `  j )  <->  E. b  e.  om  A. c  e. 
suc  n ( F `
 b )  =/=  ( F `  c
) )
3736ralbii 2496 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e. 
suc  n ( F `
 k )  =/=  ( F `  j
)  <->  A. n  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e.  suc  n ( F `  b )  =/=  ( F `  c ) )
38 suceq 4420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  a  ->  suc  n  =  suc  a )
3938raleqdv 2692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  a  ->  ( A. c  e.  suc  n ( F `  b )  =/=  ( F `  c )  <->  A. c  e.  suc  a
( F `  b
)  =/=  ( F `
 c ) ) )
4039rexbidv 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  a  ->  ( E. b  e.  om  A. c  e.  suc  n
( F `  b
)  =/=  ( F `
 c )  <->  E. b  e.  om  A. c  e. 
suc  a ( F `
 b )  =/=  ( F `  c
) ) )
4140cbvralv 2718 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e. 
suc  n ( F `
 b )  =/=  ( F `  c
)  <->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e.  suc  a ( F `  b )  =/=  ( F `  c ) )
4237, 41bitri 184 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  om  E. k  e.  om  A. j  e. 
suc  n ( F `
 k )  =/=  ( F `  j
)  <->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e.  suc  a ( F `  b )  =/=  ( F `  c ) )
4327, 42sylib 122 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  A. a  e.  om  E. b  e.  om  A. c  e.  suc  a ( F `  b )  =/=  ( F `  c ) )
44 ennnfonelemh.g . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  ( A  ^pm  om ) ,  y  e.  om  |->  if ( ( F `  y )  e.  ( F " y ) ,  x ,  ( x  u.  { <. dom  x ,  ( F `
 y ) >. } ) ) )
45 ennnfonelemh.n . . . . . . . 8  |-  N  = frec ( ( x  e.  ZZ  |->  ( x  + 
1 ) ) ,  0 )
46 ennnfonelemh.j . . . . . . . 8  |-  J  =  ( x  e.  NN0  |->  if ( x  =  0 ,  (/) ,  ( `' N `  ( x  -  1 ) ) ) )
47 ennnfonelemh.h . . . . . . . 8  |-  H  =  seq 0 ( G ,  J )
48 simplr2 1042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
r  e.  ZZ )
49 0red 7989 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
0  e.  RR )
501nn0red 9261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
5150ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  P  e.  RR )
5248zred 9406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
r  e.  RR )
531nn0ge0d 9263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
5453ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
0  <_  P )
55 simplr3 1043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  ->  P  <_  r )
5649, 51, 52, 54, 55letrd 8112 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
0  <_  r )
57 elnn0z 9297 . . . . . . . . 9  |-  ( r  e.  NN0  <->  ( r  e.  ZZ  /\  0  <_ 
r ) )
5848, 56, 57sylanbrc 417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
r  e.  NN0 )
5923, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58ennnfonelemss 12464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
( H `  r
)  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) )
6021, 59sstrd 3180 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  /\  ( H `  P ) 
C_  ( H `  r ) )  -> 
( H `  P
)  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) )
6160ex 115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_ 
r ) )  -> 
( ( H `  P )  C_  ( H `  r )  ->  ( H `  P
)  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) )
6261expcom 116 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_  r )  ->  ( ph  ->  ( ( H `
 P )  C_  ( H `  r )  ->  ( H `  P )  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) ) )
6362a2d 26 . . 3  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  r  e.  ZZ  /\  P  <_  r )  ->  (
( ph  ->  ( H `
 P )  C_  ( H `  r ) )  ->  ( ph  ->  ( H `  P
)  C_  ( H `  ( r  +  1 ) ) ) ) )
649, 12, 15, 18, 20, 63uzind 9395 . 2  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Q  e.  ZZ  /\  P  <_  Q )  ->  ( ph  ->  ( H `  P )  C_  ( H `  Q )
) )
656, 64mpcom 36 1  |-  ( ph  ->  ( H `  P
)  C_  ( H `  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 104  DECID wdc 835    /\ w3a 980    = wceq 1364    e. wcel 2160    =/= wne 2360   A.wral 2468   E.wrex 2469    u. cun 3142    C_ wss 3144   (/)c0 3437   ifcif 3549   {csn 3607   <.cop 3610   class class class wbr 4018    |-> cmpt 4079   suc csuc 4383   omcom 4607   `'ccnv 4643   dom cdm 4644   "cima 4647   -onto->wfo 5233   ` cfv 5235  (class class class)co 5897    e. cmpo 5899  freccfrec 6416    ^pm cpm 6676   RRcr 7841   0cc0 7842   1c1 7843    + caddc 7845    <_ cle 8024    - cmin 8159   NN0cn0 9207   ZZcz 9284    seqcseq 10478
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-ltadd 7958
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-ilim 4387  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-frec 6417  df-pm 6678  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-inn 8951  df-n0 9208  df-z 9285  df-uz 9560  df-seqfrec 10479
This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12468  ennnfonelemrnh  12470
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