Theorem ennnfoneleminc 12281

Description: Lemma for ennnfone 12295. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfoneleminc.p	|- ( ph -> P e. NN0 )
ennnfoneleminc.q	|- ( ph -> Q e. NN0 )
ennnfoneleminc.le	|- ( ph -> P <_ Q )

Assertion

Ref	Expression
ennnfoneleminc	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   n, F, j, k   x, F, y   x, H, y   x, N, y   x, P, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( j, k, n)   A( j, k, n)   P( j, k, n)   Q( x, y, j, k, n)   G( x, y, j, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, j, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfoneleminc

Dummy variables c a b r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfoneleminc.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN0 )
2	1	nn0zd 9302	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
3		ennnfoneleminc.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. NN0 )
4	3	nn0zd 9302	. . 3 |- ( ph -> Q e. ZZ )
5		ennnfoneleminc.le	. . 3 |- ( ph -> P <_ Q )
6	2, 4, 5	3jca 1166	. 2 |- ( ph -> ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) )
7		fveq2 5480	. . . . 5 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
8	7	sseq2d 3167	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
9	8	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = P -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) ) )
10		fveq2 5480	. . . . 5 |- ( w = r -> ( H ` w ) = ( H ` r ) )
11	10	sseq2d 3167	. . . 4 |- ( w = r -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = r -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) ) )
13		fveq2 5480	. . . . 5 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( r + 1 ) ) )
14	13	sseq2d 3167	. . . 4 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5480	. . . . 5 |- ( w = Q -> ( H ` w ) = ( H ` Q ) )
17	16	sseq2d 3167	. . . 4 |- ( w = Q -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
18	17	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = Q -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) ) )
19		ssidd 3158	. . . 4 |- ( P e. ZZ -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) )
20	19	a1d 22	. . 3 |- ( P e. ZZ -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
21		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) )
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
23	22	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
24		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
25	24	ad2antrr 480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> F : om -onto-> A )
26		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
27	26	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
28		fveq2 5480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = c -> ( F ` j ) = ( F ` c ) )
29	28	neeq2d 2353	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` c ) ) )
30	29	cbvralv 2689	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
31	30	rexbii 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
32		fveq2 5480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = b -> ( F ` k ) = ( F ` b ) )
33	32	neeq1d 2352	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
34	33	ralbidv 2464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = b -> ( A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
35	34	cbvrexv 2690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
36	31, 35	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
37	36	ralbii 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
38		suceq 4374	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = a -> suc n = suc a )
39	38	raleqdv 2665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = a -> ( A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
40	39	rexbidv 2465	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = a -> ( E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
41	40	cbvralv 2689	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
42	37, 41	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
43	27, 42	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
44		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
45		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
46		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
47		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 |- H = seq 0 ( G , J )
48		simplr2 1029	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. ZZ )
49		0red 7891	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 e. RR )
50	1	nn0red 9159	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. RR )
51	50	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P e. RR )
52	48	zred 9304	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. RR )
53	1	nn0ge0d 9161	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ P )
54	53	ad2antrr 480	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ P )
55		simplr3 1030	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P <_ r )
56	49, 51, 52, 54, 55	letrd 8013	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ r )
57		elnn0z 9195	. . . . . . . . 9 |- ( r e. NN0 <-> ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) )
58	48, 56, 57	sylanbrc 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. NN0 )
59	23, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58	ennnfonelemss 12280	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` r ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
60	21, 59	sstrd 3147	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
61	60	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
62	61	expcom 115	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ph -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
63	62	a2d 26	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
64	9, 12, 15, 18, 20, 63	uzind 9293	. 2 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
65	6, 64	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 824   /\ w3a 967   = wceq 1342   e. wcel 2135   =/= wne 2334   A.wral 2442   E.wrex 2443   u. cun 3109   C_ wss 3111   (/)c0 3404   ifcif 3515   {csn 3570   <.cop 3573   class class class wbr 3976   |-> cmpt 4037   suc csuc 4337   omcom 4561   `'ccnv 4597   dom cdm 4598   "cima 4601   -onto->wfo 5180   ` cfv 5182  (class class class)co 5836   e. cmpo 5838  freccfrec 6349   ^pm cpm 6606   RRcr 7743   0cc0 7744   1c1 7745   + caddc 7747   <_ cle 7925   - cmin 8060   NN0cn0 9105   ZZcz 9182   seqcseq 10370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4091  ax-sep 4094  ax-nul 4102  ax-pow 4147  ax-pr 4181  ax-un 4405  ax-setind 4508  ax-iinf 4559  ax-cnex 7835  ax-resscn 7836  ax-1cn 7837  ax-1re 7838  ax-icn 7839  ax-addcl 7840  ax-addrcl 7841  ax-mulcl 7842  ax-addcom 7844  ax-addass 7846  ax-distr 7848  ax-i2m1 7849  ax-0lt1 7850  ax-0id 7852  ax-rnegex 7853  ax-cnre 7855  ax-pre-ltirr 7856  ax-pre-ltwlin 7857  ax-pre-lttrn 7858  ax-pre-ltadd 7860

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rab 2451  df-v 2723  df-sbc 2947  df-csb 3041  df-dif 3113  df-un 3115  df-in 3117  df-ss 3124  df-nul 3405  df-if 3516  df-pw 3555  df-sn 3576  df-pr 3577  df-op 3579  df-uni 3784  df-int 3819  df-iun 3862  df-br 3977  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4075  df-id 4265  df-iord 4338  df-on 4340  df-ilim 4341  df-suc 4343  df-iom 4562  df-xp 4604  df-rel 4605  df-cnv 4606  df-co 4607  df-dm 4608  df-rn 4609  df-res 4610  df-ima 4611  df-iota 5147  df-fun 5184  df-fn 5185  df-f 5186  df-f1 5187  df-fo 5188  df-f1o 5189  df-fv 5190  df-riota 5792  df-ov 5839  df-oprab 5840  df-mpo 5841  df-1st 6100  df-2nd 6101  df-recs 6264  df-frec 6350  df-pm 6608  df-pnf 7926  df-mnf 7927  df-xr 7928  df-ltxr 7929  df-le 7930  df-sub 8062  df-neg 8063  df-inn 8849  df-n0 9106  df-z 9183  df-uz 9458  df-seqfrec 10371

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12284  ennnfonelemrnh  12286