Theorem ennnfoneleminc 13280

Description: Lemma for ennnfone 13294. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfoneleminc.p	|- ( ph -> P e. NN0 )
ennnfoneleminc.q	|- ( ph -> Q e. NN0 )
ennnfoneleminc.le	|- ( ph -> P <_ Q )

Assertion

Ref	Expression
ennnfoneleminc	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   n, F, j, k   x, F, y   x, H, y   x, N, y   x, P, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( j, k, n)   A( j, k, n)   P( j, k, n)   Q( x, y, j, k, n)   G( x, y, j, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, j, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfoneleminc

Dummy variables c a b r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfoneleminc.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN0 )
2	1	nn0zd 9745	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
3		ennnfoneleminc.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. NN0 )
4	3	nn0zd 9745	. . 3 |- ( ph -> Q e. ZZ )
5		ennnfoneleminc.le	. . 3 |- ( ph -> P <_ Q )
6	2, 4, 5	3jca 1208	. 2 |- ( ph -> ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) )
7		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
8	7	sseq2d 3278	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = P -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) ) )
10		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( w = r -> ( H ` w ) = ( H ` r ) )
11	10	sseq2d 3278	. . . 4 |- ( w = r -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = r -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) ) )
13		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( r + 1 ) ) )
14	13	sseq2d 3278	. . . 4 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5690	. . . . 5 |- ( w = Q -> ( H ` w ) = ( H ` Q ) )
17	16	sseq2d 3278	. . . 4 |- ( w = Q -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = Q -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) ) )
19		ssidd 3269	. . . 4 |- ( P e. ZZ -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) )
20	19	a1d 22	. . 3 |- ( P e. ZZ -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) )
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
23	22	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
24		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
25	24	ad2antrr 492	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> F : om -onto-> A )
26		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
27	26	ad2antrr 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
28		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = c -> ( F ` j ) = ( F ` c ) )
29	28	neeq2d 2439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` c ) ) )
30	29	cbvralv 2786	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
31	30	rexbii 2557	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
32		fveq2 5690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = b -> ( F ` k ) = ( F ` b ) )
33	32	neeq1d 2438	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
34	33	ralbidv 2550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = b -> ( A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
35	34	cbvrexv 2787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
36	31, 35	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
37	36	ralbii 2556	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
38		suceq 4542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = a -> suc n = suc a )
39	38	raleqdv 2755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = a -> ( A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
40	39	rexbidv 2551	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = a -> ( E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
41	40	cbvralv 2786	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
42	37, 41	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
43	27, 42	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
44		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
45		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
46		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
47		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 |- H = seq 0 ( G , J )
48		simplr2 1071	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. ZZ )
49		0red 8317	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 e. RR )
50	1	nn0red 9600	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. RR )
51	50	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P e. RR )
52	48	zred 9747	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. RR )
53	1	nn0ge0d 9602	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ P )
54	53	ad2antrr 492	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ P )
55		simplr3 1072	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P <_ r )
56	49, 51, 52, 54, 55	letrd 8440	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ r )
57		elnn0z 9636	. . . . . . . . 9 |- ( r e. NN0 <-> ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) )
58	48, 56, 57	sylanbrc 421	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. NN0 )
59	23, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58	ennnfonelemss 13279	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` r ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
60	21, 59	sstrd 3258	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
62	61	expcom 116	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ph -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
63	62	a2d 26	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
64	9, 12, 15, 18, 20, 63	uzind 9736	. 2 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
65	6, 64	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 846   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   u. cun 3218   C_ wss 3220   (/)c0 3520   ifcif 3635   {csn 3705   <.cop 3708   class class class wbr 4125   |-> cmpt 4187   suc csuc 4505   omcom 4732   `'ccnv 4768   dom cdm 4769   "cima 4772   -onto->wfo 5370   ` cfv 5372  (class class class)co 6075   e. cmpo 6077  freccfrec 6651   ^pm cpm 6913   RRcr 8168   0cc0 8169   1c1 8170   + caddc 8172   <_ cle 8351   - cmin 8487   NN0cn0 9542   ZZcz 9623   seqcseq 10862

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pm 6915  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-seqfrec 10863

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  13283  ennnfonelemrnh  13285