Theorem ennnfoneleminc 13022

Description: Lemma for ennnfone 13036. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfoneleminc.p	|- ( ph -> P e. NN0 )
ennnfoneleminc.q	|- ( ph -> Q e. NN0 )
ennnfoneleminc.le	|- ( ph -> P <_ Q )

Assertion

Ref	Expression
ennnfoneleminc	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   n, F, j, k   x, F, y   x, H, y   x, N, y   x, P, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( j, k, n)   A( j, k, n)   P( j, k, n)   Q( x, y, j, k, n)   G( x, y, j, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, j, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfoneleminc

Dummy variables c a b r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfoneleminc.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN0 )
2	1	nn0zd 9590	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
3		ennnfoneleminc.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. NN0 )
4	3	nn0zd 9590	. . 3 |- ( ph -> Q e. ZZ )
5		ennnfoneleminc.le	. . 3 |- ( ph -> P <_ Q )
6	2, 4, 5	3jca 1201	. 2 |- ( ph -> ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) )
7		fveq2 5635	. . . . 5 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
8	7	sseq2d 3255	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = P -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) ) )
10		fveq2 5635	. . . . 5 |- ( w = r -> ( H ` w ) = ( H ` r ) )
11	10	sseq2d 3255	. . . 4 |- ( w = r -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = r -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) ) )
13		fveq2 5635	. . . . 5 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( r + 1 ) ) )
14	13	sseq2d 3255	. . . 4 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5635	. . . . 5 |- ( w = Q -> ( H ` w ) = ( H ` Q ) )
17	16	sseq2d 3255	. . . 4 |- ( w = Q -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = Q -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) ) )
19		ssidd 3246	. . . 4 |- ( P e. ZZ -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) )
20	19	a1d 22	. . 3 |- ( P e. ZZ -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) )
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
24		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> F : om -onto-> A )
26		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
28		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = c -> ( F ` j ) = ( F ` c ) )
29	28	neeq2d 2419	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` c ) ) )
30	29	cbvralv 2765	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
31	30	rexbii 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
32		fveq2 5635	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = b -> ( F ` k ) = ( F ` b ) )
33	32	neeq1d 2418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
34	33	ralbidv 2530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = b -> ( A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
35	34	cbvrexv 2766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
36	31, 35	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
37	36	ralbii 2536	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
38		suceq 4497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = a -> suc n = suc a )
39	38	raleqdv 2734	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = a -> ( A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
40	39	rexbidv 2531	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = a -> ( E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
41	40	cbvralv 2765	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
42	37, 41	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
43	27, 42	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
44		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
45		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
46		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
47		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 |- H = seq 0 ( G , J )
48		simplr2 1064	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. ZZ )
49		0red 8170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 e. RR )
50	1	nn0red 9446	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. RR )
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P e. RR )
52	48	zred 9592	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. RR )
53	1	nn0ge0d 9448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ P )
54	53	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ P )
55		simplr3 1065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P <_ r )
56	49, 51, 52, 54, 55	letrd 8293	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ r )
57		elnn0z 9482	. . . . . . . . 9 |- ( r e. NN0 <-> ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) )
58	48, 56, 57	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. NN0 )
59	23, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58	ennnfonelemss 13021	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` r ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
60	21, 59	sstrd 3235	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
62	61	expcom 116	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ph -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
63	62	a2d 26	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
64	9, 12, 15, 18, 20, 63	uzind 9581	. 2 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
65	6, 64	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 839   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   u. cun 3196   C_ wss 3198   (/)c0 3492   ifcif 3603   {csn 3667   <.cop 3670   class class class wbr 4086   |-> cmpt 4148   suc csuc 4460   omcom 4686   `'ccnv 4722   dom cdm 4723   "cima 4726   -onto->wfo 5322   ` cfv 5324  (class class class)co 6013   e. cmpo 6015  freccfrec 6551   ^pm cpm 6813   RRcr 8021   0cc0 8022   1c1 8023   + caddc 8025   <_ cle 8205   - cmin 8340   NN0cn0 9392   ZZcz 9469   seqcseq 10699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-pm 6815  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-seqfrec 10700

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  13025  ennnfonelemrnh  13027