Theorem ennnfoneleminc 12366

Description: Lemma for ennnfone 12380. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfoneleminc.p	|- ( ph -> P e. NN0 )
ennnfoneleminc.q	|- ( ph -> Q e. NN0 )
ennnfoneleminc.le	|- ( ph -> P <_ Q )

Assertion

Ref	Expression
ennnfoneleminc	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   n, F, j, k   x, F, y   x, H, y   x, N, y   x, P, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( j, k, n)   A( j, k, n)   P( j, k, n)   Q( x, y, j, k, n)   G( x, y, j, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, j, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfoneleminc

Dummy variables c a b r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfoneleminc.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN0 )
2	1	nn0zd 9332	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
3		ennnfoneleminc.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. NN0 )
4	3	nn0zd 9332	. . 3 |- ( ph -> Q e. ZZ )
5		ennnfoneleminc.le	. . 3 |- ( ph -> P <_ Q )
6	2, 4, 5	3jca 1172	. 2 |- ( ph -> ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) )
7		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
8	7	sseq2d 3177	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
9	8	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = P -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) ) )
10		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( w = r -> ( H ` w ) = ( H ` r ) )
11	10	sseq2d 3177	. . . 4 |- ( w = r -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) )
12	11	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = r -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) ) )
13		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( r + 1 ) ) )
14	13	sseq2d 3177	. . . 4 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5496	. . . . 5 |- ( w = Q -> ( H ` w ) = ( H ` Q ) )
17	16	sseq2d 3177	. . . 4 |- ( w = Q -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
18	17	imbi2d 229	. . 3 |- ( w = Q -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) ) )
19		ssidd 3168	. . . 4 |- ( P e. ZZ -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) )
20	19	a1d 22	. . 3 |- ( P e. ZZ -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
21		simpr 109	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) )
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
23	22	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
24		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
25	24	ad2antrr 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> F : om -onto-> A )
26		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
27	26	ad2antrr 485	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
28		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = c -> ( F ` j ) = ( F ` c ) )
29	28	neeq2d 2359	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` c ) ) )
30	29	cbvralv 2696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
31	30	rexbii 2477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
32		fveq2 5496	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = b -> ( F ` k ) = ( F ` b ) )
33	32	neeq1d 2358	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
34	33	ralbidv 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = b -> ( A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
35	34	cbvrexv 2697	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
36	31, 35	bitri 183	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
37	36	ralbii 2476	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
38		suceq 4387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = a -> suc n = suc a )
39	38	raleqdv 2671	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = a -> ( A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
40	39	rexbidv 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = a -> ( E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
41	40	cbvralv 2696	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
42	37, 41	bitri 183	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
43	27, 42	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
44		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
45		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
46		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
47		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 |- H = seq 0 ( G , J )
48		simplr2 1035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. ZZ )
49		0red 7921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 e. RR )
50	1	nn0red 9189	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. RR )
51	50	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P e. RR )
52	48	zred 9334	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. RR )
53	1	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ P )
54	53	ad2antrr 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ P )
55		simplr3 1036	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P <_ r )
56	49, 51, 52, 54, 55	letrd 8043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ r )
57		elnn0z 9225	. . . . . . . . 9 |- ( r e. NN0 <-> ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) )
58	48, 56, 57	sylanbrc 415	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. NN0 )
59	23, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58	ennnfonelemss 12365	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` r ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
60	21, 59	sstrd 3157	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
61	60	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
62	61	expcom 115	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ph -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
63	62	a2d 26	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
64	9, 12, 15, 18, 20, 63	uzind 9323	. 2 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
65	6, 64	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103  DECID wdc 829   /\ w3a 973   = wceq 1348   e. wcel 2141   =/= wne 2340   A.wral 2448   E.wrex 2449   u. cun 3119   C_ wss 3121   (/)c0 3414   ifcif 3526   {csn 3583   <.cop 3586   class class class wbr 3989   |-> cmpt 4050   suc csuc 4350   omcom 4574   `'ccnv 4610   dom cdm 4611   "cima 4614   -onto->wfo 5196   ` cfv 5198  (class class class)co 5853   e. cmpo 5855  freccfrec 6369   ^pm cpm 6627   RRcr 7773   0cc0 7774   1c1 7775   + caddc 7777   <_ cle 7955   - cmin 8090   NN0cn0 9135   ZZcz 9212   seqcseq 10401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-ltadd 7890

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-frec 6370  df-pm 6629  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-seqfrec 10402

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12369  ennnfonelemrnh  12371