Theorem ennnfoneleminc 12568

Description: Lemma for ennnfone 12582. We only add elements to H as the index increases. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Jul-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ennnfonelemh.dceq	|- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
ennnfonelemh.f	|- ( ph -> F : om -onto-> A )
ennnfonelemh.ne	|- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
ennnfonelemh.g	|- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
ennnfonelemh.n	|- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
ennnfonelemh.j	|- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
ennnfonelemh.h	|- H = seq 0 ( G , J )
ennnfoneleminc.p	|- ( ph -> P e. NN0 )
ennnfoneleminc.q	|- ( ph -> Q e. NN0 )
ennnfoneleminc.le	|- ( ph -> P <_ Q )

Assertion

Ref	Expression
ennnfoneleminc	|- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Distinct variable groups:   x, A, y   n, F, j, k   x, F, y   x, H, y   x, N, y   x, P, y   ph, x, y

Allowed substitution hints:   ph( j, k, n)   A( j, k, n)   P( j, k, n)   Q( x, y, j, k, n)   G( x, y, j, k, n)   H( j, k, n)   J( x, y, j, k, n)   N( j, k, n)

Proof of Theorem ennnfoneleminc

Dummy variables c a b r w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ennnfoneleminc.p	. . . 4 |- ( ph -> P e. NN0 )
2	1	nn0zd 9437	. . 3 |- ( ph -> P e. ZZ )
3		ennnfoneleminc.q	. . . 4 |- ( ph -> Q e. NN0 )
4	3	nn0zd 9437	. . 3 |- ( ph -> Q e. ZZ )
5		ennnfoneleminc.le	. . 3 |- ( ph -> P <_ Q )
6	2, 4, 5	3jca 1179	. 2 |- ( ph -> ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) )
7		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = P -> ( H ` w ) = ( H ` P ) )
8	7	sseq2d 3209	. . . 4 |- ( w = P -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
9	8	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = P -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) ) )
10		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = r -> ( H ` w ) = ( H ` r ) )
11	10	sseq2d 3209	. . . 4 |- ( w = r -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) )
12	11	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = r -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) ) )
13		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( H ` w ) = ( H ` ( r + 1 ) ) )
14	13	sseq2d 3209	. . . 4 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
15	14	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = ( r + 1 ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
16		fveq2 5554	. . . . 5 |- ( w = Q -> ( H ` w ) = ( H ` Q ) )
17	16	sseq2d 3209	. . . 4 |- ( w = Q -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` w ) <-> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
18	17	imbi2d 230	. . 3 |- ( w = Q -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` w ) ) <-> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) ) )
19		ssidd 3200	. . . 4 |- ( P e. ZZ -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) )
20	19	a1d 22	. . 3 |- ( P e. ZZ -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` P ) ) )
21		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) )
22		ennnfonelemh.dceq	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
23	22	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. x e. A A. y e. A DECID x = y )
24		ennnfonelemh.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F : om -onto-> A )
25	24	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> F : om -onto-> A )
26		ennnfonelemh.ne	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
27	26	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) )
28		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( j = c -> ( F ` j ) = ( F ` c ) )
29	28	neeq2d 2383	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( j = c -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> ( F ` k ) =/= ( F ` c ) ) )
30	29	cbvralv 2726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
31	30	rexbii 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) )
32		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = b -> ( F ` k ) = ( F ` b ) )
33	32	neeq1d 2382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = b -> ( ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
34	33	ralbidv 2494	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = b -> ( A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
35	34	cbvrexv 2727	. . . . . . . . . . . 12 |- ( E. k e. om A. c e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
36	31, 35	bitri 184	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
37	36	ralbii 2500	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
38		suceq 4433	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = a -> suc n = suc a )
39	38	raleqdv 2696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = a -> ( A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
40	39	rexbidv 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = a -> ( E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) ) )
41	40	cbvralv 2726	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. om E. b e. om A. c e. suc n ( F ` b ) =/= ( F ` c ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
42	37, 41	bitri 184	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. om E. k e. om A. j e. suc n ( F ` k ) =/= ( F ` j ) <-> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
43	27, 42	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> A. a e. om E. b e. om A. c e. suc a ( F ` b ) =/= ( F ` c ) )
44		ennnfonelemh.g	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. ( A ^pm om ) , y e. om |-> if ( ( F ` y ) e. ( F " y ) , x , ( x u. { <. dom x , ( F ` y ) >. } ) ) )
45		ennnfonelemh.n	. . . . . . . 8 |- N = frec ( ( x e. ZZ |-> ( x + 1 ) ) , 0 )
46		ennnfonelemh.j	. . . . . . . 8 |- J = ( x e. NN0 |-> if ( x = 0 , (/) , ( `' N ` ( x - 1 ) ) ) )
47		ennnfonelemh.h	. . . . . . . 8 |- H = seq 0 ( G , J )
48		simplr2 1042	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. ZZ )
49		0red 8020	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 e. RR )
50	1	nn0red 9294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. RR )
51	50	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P e. RR )
52	48	zred 9439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. RR )
53	1	nn0ge0d 9296	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ P )
54	53	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ P )
55		simplr3 1043	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> P <_ r )
56	49, 51, 52, 54, 55	letrd 8143	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> 0 <_ r )
57		elnn0z 9330	. . . . . . . . 9 |- ( r e. NN0 <-> ( r e. ZZ /\ 0 <_ r ) )
58	48, 56, 57	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> r e. NN0 )
59	23, 25, 43, 44, 45, 46, 47, 58	ennnfonelemss 12567	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` r ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
60	21, 59	sstrd 3189	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) /\ ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) )
61	60	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) ) -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) )
62	61	expcom 116	. . . 4 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ph -> ( ( H ` P ) C_ ( H ` r ) -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
63	62	a2d 26	. . 3 |- ( ( P e. ZZ /\ r e. ZZ /\ P <_ r ) -> ( ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` r ) ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` ( r + 1 ) ) ) ) )
64	9, 12, 15, 18, 20, 63	uzind 9428	. 2 |- ( ( P e. ZZ /\ Q e. ZZ /\ P <_ Q ) -> ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) ) )
65	6, 64	mpcom 36	1 |- ( ph -> ( H ` P ) C_ ( H ` Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104  DECID wdc 835   /\ w3a 980   = wceq 1364   e. wcel 2164   =/= wne 2364   A.wral 2472   E.wrex 2473   u. cun 3151   C_ wss 3153   (/)c0 3446   ifcif 3557   {csn 3618   <.cop 3621   class class class wbr 4029   |-> cmpt 4090   suc csuc 4396   omcom 4622   `'ccnv 4658   dom cdm 4659   "cima 4662   -onto->wfo 5252   ` cfv 5254  (class class class)co 5918   e. cmpo 5920  freccfrec 6443   ^pm cpm 6703   RRcr 7871   0cc0 7872   1c1 7873   + caddc 7875   <_ cle 8055   - cmin 8190   NN0cn0 9240   ZZcz 9317   seqcseq 10518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pm 6705  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-seqfrec 10519

This theorem is referenced by:  ennnfonelemex  12571  ennnfonelemrnh  12573