Theorem axpre-suploclemres 7968

Description: Lemma for axpre-suploc 7969. The result. The proof just needs to define B as basically the same set as A (but expressed as a subset of R. rather than a subset of RR), and apply suplocsr 7876. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
axpre-suploclem.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
axpre-suploclem.m	|- ( ph -> C e. A )
axpre-suploclem.ub	|- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <RR x )
axpre-suploclem.loc	|- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
axpre-suploclem.b	|- B = { w e. R. | <. w , 0R >. e. A }

Assertion

Ref	Expression
axpre-suploclemres	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z, w   x, A, y, z   y, B, z, x   w, C   ph, y, z, x

Allowed substitution hints:   ph( w)   B( w)   C( x, y, z)

Proof of Theorem axpre-suploclemres

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpre-suploclem.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
2		axpre-suploclem.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. A )
3	1, 2	sseldd 3184	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
4		elreal2 7897	. . . . . . 7 |- ( C e. RR <-> ( ( 1st ` C ) e. R. /\ C = <. ( 1st ` C ) , 0R >. ) )
5	3, 4	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1st ` C ) e. R. /\ C = <. ( 1st ` C ) , 0R >. ) )
6	5	simpld 112	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1st ` C ) e. R. )
7	5	simprd 114	. . . . . 6 |- ( ph -> C = <. ( 1st ` C ) , 0R >. )
8	7, 2	eqeltrrd 2274	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( 1st ` C ) , 0R >. e. A )
9		opeq1 3808	. . . . . . 7 |- ( w = ( 1st ` C ) -> <. w , 0R >. = <. ( 1st ` C ) , 0R >. )
10	9	eleq1d 2265	. . . . . 6 |- ( w = ( 1st ` C ) -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. ( 1st ` C ) , 0R >. e. A ) )
11		axpre-suploclem.b	. . . . . 6 |- B = { w e. R. | <. w , 0R >. e. A }
12	10, 11	elrab2 2923	. . . . 5 |- ( ( 1st ` C ) e. B <-> ( ( 1st ` C ) e. R. /\ <. ( 1st ` C ) , 0R >. e. A ) )
13	6, 8, 12	sylanbrc 417	. . . 4 |- ( ph -> ( 1st ` C ) e. B )
14		eleq1 2259	. . . . 5 |- ( a = ( 1st ` C ) -> ( a e. B <-> ( 1st ` C ) e. B ) )
15	14	spcegv 2852	. . . 4 |- ( ( 1st ` C ) e. B -> ( ( 1st ` C ) e. B -> E. a a e. B ) )
16	13, 13, 15	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> E. a a e. B )
17		axpre-suploclem.ub	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <RR x )
18		simprl 529	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> x e. RR )
19		elreal2 7897	. . . . . . 7 |- ( x e. RR <-> ( ( 1st ` x ) e. R. /\ x = <. ( 1st ` x ) , 0R >. ) )
20	18, 19	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> ( ( 1st ` x ) e. R. /\ x = <. ( 1st ` x ) , 0R >. ) )
21	20	simpld 112	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> ( 1st ` x ) e. R. )
22		breq1 4036	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( y <RR x <-> <. b , 0R >. <RR x ) )
23		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> A. y e. A y <RR x )
24		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> b e. B )
25		opeq1 3808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = b -> <. w , 0R >. = <. b , 0R >. )
26	25	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = b -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. b , 0R >. e. A ) )
27	26, 11	elrab2 2923	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. B <-> ( b e. R. /\ <. b , 0R >. e. A ) )
28	24, 27	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> ( b e. R. /\ <. b , 0R >. e. A ) )
29	28	simprd 114	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> <. b , 0R >. e. A )
30	22, 23, 29	rspcdva 2873	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> <. b , 0R >. <RR x )
31		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> x e. RR )
32	31, 19	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> ( ( 1st ` x ) e. R. /\ x = <. ( 1st ` x ) , 0R >. ) )
33	32	simprd 114	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> x = <. ( 1st ` x ) , 0R >. )
34	30, 33	breqtrd 4059	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> <. b , 0R >. <RR <. ( 1st ` x ) , 0R >. )
35		ltresr 7906	. . . . . . 7 |- ( <. b , 0R >. <RR <. ( 1st ` x ) , 0R >. <-> b <R ( 1st ` x ) )
36	34, 35	sylib 122	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> b <R ( 1st ` x ) )
37	36	ralrimiva 2570	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> A. b e. B b <R ( 1st ` x ) )
38		brralrspcev 4091	. . . . 5 |- ( ( ( 1st ` x ) e. R. /\ A. b e. B b <R ( 1st ` x ) ) -> E. a e. R. A. b e. B b <R a )
39	21, 37, 38	syl2anc 411	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> E. a e. R. A. b e. B b <R a )
40	17, 39	rexlimddv 2619	. . 3 |- ( ph -> E. a e. R. A. b e. B b <R a )
41		simpr 110	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> a <R b )
42		ltresr 7906	. . . . . . . 8 |- ( <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. <-> a <R b )
43	41, 42	sylibr 134	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. )
44		breq2 4037	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( <. a , 0R >. <RR y <-> <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. ) )
45		breq2 4037	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( z <RR y <-> z <RR <. b , 0R >. ) )
46	45	ralbidv 2497	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( A. z e. A z <RR y <-> A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) )
47	46	orbi2d 791	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) <-> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) ) )
48	44, 47	imbi12d 234	. . . . . . . 8 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( <. a , 0R >. <RR y -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) <-> ( <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) ) ) )
49		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( x <RR y <-> <. a , 0R >. <RR y ) )
50		breq1 4036	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( x <RR z <-> <. a , 0R >. <RR z ) )
51	50	rexbidv 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( E. z e. A x <RR z <-> E. z e. A <. a , 0R >. <RR z ) )
52	51	orbi1d 792	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) <-> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
53	49, 52	imbi12d 234	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) <-> ( <. a , 0R >. <RR y -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
54	53	ralbidv 2497	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) <-> A. y e. RR ( <. a , 0R >. <RR y -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
55		axpre-suploclem.loc	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
56	55	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
57		simplrl 535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> a e. R. )
58		opelreal 7894	. . . . . . . . . 10 |- ( <. a , 0R >. e. RR <-> a e. R. )
59	57, 58	sylibr 134	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> <. a , 0R >. e. RR )
60	54, 56, 59	rspcdva 2873	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> A. y e. RR ( <. a , 0R >. <RR y -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
61		simplrr 536	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> b e. R. )
62		opelreal 7894	. . . . . . . . 9 |- ( <. b , 0R >. e. RR <-> b e. R. )
63	61, 62	sylibr 134	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> <. b , 0R >. e. RR )
64	48, 60, 63	rspcdva 2873	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) ) )
65	43, 64	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) )
66		simplll 533	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> ph )
67		simprl 529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> z e. A )
68	1	sseld 3182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( z e. A -> z e. RR ) )
69	66, 67, 68	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> z e. RR )
70		elreal2 7897	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR <-> ( ( 1st ` z ) e. R. /\ z = <. ( 1st ` z ) , 0R >. ) )
71	69, 70	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> ( ( 1st ` z ) e. R. /\ z = <. ( 1st ` z ) , 0R >. ) )
72	71	simpld 112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> ( 1st ` z ) e. R. )
73	71	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> z = <. ( 1st ` z ) , 0R >. )
74	73, 67	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> <. ( 1st ` z ) , 0R >. e. A )
75		opeq1 3808	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( 1st ` z ) -> <. w , 0R >. = <. ( 1st ` z ) , 0R >. )
76	75	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( 1st ` z ) -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. ( 1st ` z ) , 0R >. e. A ) )
77	76, 11	elrab2 2923	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` z ) e. B <-> ( ( 1st ` z ) e. R. /\ <. ( 1st ` z ) , 0R >. e. A ) )
78	72, 74, 77	sylanbrc 417	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> ( 1st ` z ) e. B )
79		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> <. a , 0R >. <RR z )
80	79, 73	breqtrd 4059	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> <. a , 0R >. <RR <. ( 1st ` z ) , 0R >. )
81		ltresr 7906	. . . . . . . . . 10 |- ( <. a , 0R >. <RR <. ( 1st ` z ) , 0R >. <-> a <R ( 1st ` z ) )
82	80, 81	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> a <R ( 1st ` z ) )
83		breq2 4037	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( 1st ` z ) -> ( a <R c <-> a <R ( 1st ` z ) ) )
84	83	rspcev 2868	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` z ) e. B /\ a <R ( 1st ` z ) ) -> E. c e. B a <R c )
85	78, 82, 84	syl2anc 411	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> E. c e. B a <R c )
86	85	rexlimdvaa 2615	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z -> E. c e. B a <R c ) )
87		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. c , 0R >. -> ( z <RR <. b , 0R >. <-> <. c , 0R >. <RR <. b , 0R >. ) )
88		simplr 528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> A. z e. A z <RR <. b , 0R >. )
89		simpr 110	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> c e. B )
90		opeq1 3808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = c -> <. w , 0R >. = <. c , 0R >. )
91	90	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = c -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. c , 0R >. e. A ) )
92	91, 11	elrab2 2923	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. B <-> ( c e. R. /\ <. c , 0R >. e. A ) )
93	89, 92	sylib 122	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> ( c e. R. /\ <. c , 0R >. e. A ) )
94	93	simprd 114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> <. c , 0R >. e. A )
95	87, 88, 94	rspcdva 2873	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> <. c , 0R >. <RR <. b , 0R >. )
96		ltresr 7906	. . . . . . . . . 10 |- ( <. c , 0R >. <RR <. b , 0R >. <-> c <R b )
97	95, 96	sylib 122	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> c <R b )
98	97	ralrimiva 2570	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) -> A. c e. B c <R b )
99	98	ex 115	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( A. z e. A z <RR <. b , 0R >. -> A. c e. B c <R b ) )
100	86, 99	orim12d 787	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) -> ( E. c e. B a <R c \/ A. c e. B c <R b ) ) )
101	65, 100	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( E. c e. B a <R c \/ A. c e. B c <R b ) )
102	101	ex 115	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) -> ( a <R b -> ( E. c e. B a <R c \/ A. c e. B c <R b ) ) )
103	102	ralrimivva 2579	. . 3 |- ( ph -> A. a e. R. A. b e. R. ( a <R b -> ( E. c e. B a <R c \/ A. c e. B c <R b ) ) )
104	16, 40, 103	suplocsr 7876	. 2 |- ( ph -> E. a e. R. ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) )
105		simprl 529	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> a e. R. )
106	105, 58	sylibr 134	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> <. a , 0R >. e. RR )
107		breq2 4037	. . . . . . . 8 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( a <R b <-> a <R ( 1st ` y ) ) )
108	107	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( -. a <R b <-> -. a <R ( 1st ` y ) ) )
109		simplrr 536	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> A. b e. B -. a <R b )
110	1	sselda 3183	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR )
111		elreal2 7897	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR <-> ( ( 1st ` y ) e. R. /\ y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. ) )
112	110, 111	sylib 122	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( 1st ` y ) e. R. /\ y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. ) )
113	112	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( 1st ` y ) e. R. )
114	112	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
115		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. A )
116	114, 115	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> <. ( 1st ` y ) , 0R >. e. A )
117		opeq1 3808	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( 1st ` y ) -> <. w , 0R >. = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
118	117	eleq1d 2265	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( 1st ` y ) -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. ( 1st ` y ) , 0R >. e. A ) )
119	118, 11	elrab2 2923	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` y ) e. B <-> ( ( 1st ` y ) e. R. /\ <. ( 1st ` y ) , 0R >. e. A ) )
120	113, 116, 119	sylanbrc 417	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( 1st ` y ) e. B )
121	120	adantlr 477	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> ( 1st ` y ) e. B )
122	108, 109, 121	rspcdva 2873	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> -. a <R ( 1st ` y ) )
123	114	adantlr 477	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
124	123	breq2d 4045	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> ( <. a , 0R >. <RR y <-> <. a , 0R >. <RR <. ( 1st ` y ) , 0R >. ) )
125		ltresr 7906	. . . . . . 7 |- ( <. a , 0R >. <RR <. ( 1st ` y ) , 0R >. <-> a <R ( 1st ` y ) )
126	124, 125	bitrdi 196	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> ( <. a , 0R >. <RR y <-> a <R ( 1st ` y ) ) )
127	122, 126	mtbird 674	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> -. <. a , 0R >. <RR y )
128	127	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) -> A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y )
129	128	adantrrr 487	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y )
130		simplr 528	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> y e. RR )
131	130, 111	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( ( 1st ` y ) e. R. /\ y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. ) )
132	131	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
133		simpr 110	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> y <RR <. a , 0R >. )
134	132, 133	eqbrtrrd 4057	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> <. ( 1st ` y ) , 0R >. <RR <. a , 0R >. )
135		ltresr 7906	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( 1st ` y ) , 0R >. <RR <. a , 0R >. <-> ( 1st ` y ) <R a )
136	134, 135	sylib 122	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( 1st ` y ) <R a )
137		breq1 4036	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( b <R a <-> ( 1st ` y ) <R a ) )
138		breq1 4036	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( b <R c <-> ( 1st ` y ) <R c ) )
139	138	rexbidv 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( E. c e. B b <R c <-> E. c e. B ( 1st ` y ) <R c ) )
140	137, 139	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) <-> ( ( 1st ` y ) <R a -> E. c e. B ( 1st ` y ) <R c ) ) )
141		simprr 531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) -> A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) )
142	141	ad2antrr 488	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) )
143	131	simpld 112	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( 1st ` y ) e. R. )
144	140, 142, 143	rspcdva 2873	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( ( 1st ` y ) <R a -> E. c e. B ( 1st ` y ) <R c ) )
145	136, 144	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> E. c e. B ( 1st ` y ) <R c )
146		nfv 1542	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c ph
147		nfv 1542	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c a e. R.
148		nfcv 2339	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ c R.
149		nfv 1542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c b <R a
150		nfre1 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c E. c e. B b <R c
151	149, 150	nfim 1586	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ c ( b <R a -> E. c e. B b <R c )
152	148, 151	nfralya 2537	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c )
153	147, 152	nfan 1579	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) )
154	146, 153	nfan 1579	. . . . . . . . . 10 |- F/ c ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) )
155		nfv 1542	. . . . . . . . . 10 |- F/ c y e. RR
156	154, 155	nfan 1579	. . . . . . . . 9 |- F/ c ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR )
157		nfv 1542	. . . . . . . . 9 |- F/ c y <RR <. a , 0R >.
158	156, 157	nfan 1579	. . . . . . . 8 |- F/ c ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. )
159		nfv 1542	. . . . . . . 8 |- F/ c E. z e. A y <RR z
160		simprl 529	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> c e. B )
161	160, 92	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> ( c e. R. /\ <. c , 0R >. e. A ) )
162	161	simprd 114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> <. c , 0R >. e. A )
163	132	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
164		simprr 531	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> ( 1st ` y ) <R c )
165		ltresr 7906	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( 1st ` y ) , 0R >. <RR <. c , 0R >. <-> ( 1st ` y ) <R c )
166	164, 165	sylibr 134	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> <. ( 1st ` y ) , 0R >. <RR <. c , 0R >. )
167	163, 166	eqbrtrd 4055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> y <RR <. c , 0R >. )
168		breq2 4037	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. c , 0R >. -> ( y <RR z <-> y <RR <. c , 0R >. ) )
169	168	rspcev 2868	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. c , 0R >. e. A /\ y <RR <. c , 0R >. ) -> E. z e. A y <RR z )
170	162, 167, 169	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> E. z e. A y <RR z )
171	170	exp32 365	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( c e. B -> ( ( 1st ` y ) <R c -> E. z e. A y <RR z ) ) )
172	158, 159, 171	rexlimd 2611	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( E. c e. B ( 1st ` y ) <R c -> E. z e. A y <RR z ) )
173	145, 172	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> E. z e. A y <RR z )
174	173	ex 115	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) -> ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) )
175	174	ralrimiva 2570	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) -> A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) )
176	175	adantrrl 486	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) )
177	49	notbid 668	. . . . . 6 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( -. x <RR y <-> -. <. a , 0R >. <RR y ) )
178	177	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( A. y e. A -. x <RR y <-> A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y ) )
179		breq2 4037	. . . . . . 7 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( y <RR x <-> y <RR <. a , 0R >. ) )
180	179	imbi1d 231	. . . . . 6 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) <-> ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) ) )
181	180	ralbidv 2497	. . . . 5 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) <-> A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) ) )
182	178, 181	anbi12d 473	. . . 4 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) <-> ( A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) ) ) )
183	182	rspcev 2868	. . 3 |- ( ( <. a , 0R >. e. RR /\ ( A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
184	106, 129, 176, 183	syl12anc 1247	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
185	104, 184	rexlimddv 2619	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   \/ wo 709   = wceq 1364   E.wex 1506   e. wcel 2167   A.wral 2475   E.wrex 2476   {crab 2479   C_ wss 3157   <.cop 3625   class class class wbr 4033   ` cfv 5258   1stc1st 6196   R.cnr 7364   0Rc0r 7365   <R cltr 7370   RRcr 7878   <RR cltrr 7883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-eprel 4324  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-1o 6474  df-2o 6475  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-pli 7372  df-mi 7373  df-lti 7374  df-plpq 7411  df-mpq 7412  df-enq 7414  df-nqqs 7415  df-plqqs 7416  df-mqqs 7417  df-1nqqs 7418  df-rq 7419  df-ltnqqs 7420  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-0nq0 7493  df-plq0 7494  df-mq0 7495  df-inp 7533  df-i1p 7534  df-iplp 7535  df-imp 7536  df-iltp 7537  df-enr 7793  df-nr 7794  df-plr 7795  df-mr 7796  df-ltr 7797  df-0r 7798  df-1r 7799  df-m1r 7800  df-r 7889  df-lt 7892

This theorem is referenced by:  axpre-suploc  7969