ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  axpre-suploclemres Unicode version

Theorem axpre-suploclemres 7702
Description: Lemma for axpre-suploc 7703. The result. The proof just needs to define  B as basically the same set as  A (but expressed as a subset of  R. rather than a subset of  RR), and apply suplocsr 7610. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
axpre-suploclem.ss  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
axpre-suploclem.m  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
axpre-suploclem.ub  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x )
axpre-suploclem.loc  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
axpre-suploclem.b  |-  B  =  { w  e.  R.  |  <. w ,  0R >.  e.  A }
Assertion
Ref Expression
axpre-suploclemres  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
Distinct variable groups:    y, A, z, w    x, A, y, z    y, B, z, x    w, C    ph, y,
z, x
Allowed substitution hints:    ph( w)    B( w)    C( x, y, z)

Proof of Theorem axpre-suploclemres
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axpre-suploclem.ss . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 axpre-suploclem.m . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  A )
31, 2sseldd 3093 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 elreal2 7631 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  RR  <->  ( ( 1st `  C )  e. 
R.  /\  C  =  <. ( 1st `  C
) ,  0R >. ) )
53, 4sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1st `  C
)  e.  R.  /\  C  =  <. ( 1st `  C ) ,  0R >. ) )
65simpld 111 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1st `  C
)  e.  R. )
75simprd 113 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  C  =  <. ( 1st `  C ) ,  0R >. )
87, 2eqeltrrd 2215 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
<. ( 1st `  C
) ,  0R >.  e.  A )
9 opeq1 3700 . . . . . . 7  |-  ( w  =  ( 1st `  C
)  ->  <. w ,  0R >.  =  <. ( 1st `  C ) ,  0R >. )
109eleq1d 2206 . . . . . 6  |-  ( w  =  ( 1st `  C
)  ->  ( <. w ,  0R >.  e.  A  <->  <.
( 1st `  C
) ,  0R >.  e.  A ) )
11 axpre-suploclem.b . . . . . 6  |-  B  =  { w  e.  R.  |  <. w ,  0R >.  e.  A }
1210, 11elrab2 2838 . . . . 5  |-  ( ( 1st `  C )  e.  B  <->  ( ( 1st `  C )  e. 
R.  /\  <. ( 1st `  C ) ,  0R >.  e.  A ) )
136, 8, 12sylanbrc 413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st `  C
)  e.  B )
14 eleq1 2200 . . . . 5  |-  ( a  =  ( 1st `  C
)  ->  ( a  e.  B  <->  ( 1st `  C
)  e.  B ) )
1514spcegv 2769 . . . 4  |-  ( ( 1st `  C )  e.  B  ->  (
( 1st `  C
)  e.  B  ->  E. a  a  e.  B ) )
1613, 13, 15sylc 62 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  a  e.  B )
17 axpre-suploclem.ub . . . 4  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  A. y  e.  A  y 
<RR  x )
18 simprl 520 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )  ->  x  e.  RR )
19 elreal2 7631 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  <->  ( ( 1st `  x )  e. 
R.  /\  x  =  <. ( 1st `  x
) ,  0R >. ) )
2018, 19sylib 121 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )  ->  (
( 1st `  x
)  e.  R.  /\  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  0R >. ) )
2120simpld 111 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )  ->  ( 1st `  x )  e. 
R. )
22 breq1 3927 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( y  <RR  x  <->  <. b ,  0R >.  <RR  x ) )
23 simplrr 525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  ->  A. y  e.  A  y  <RR  x )
24 simpr 109 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  e.  B )
25 opeq1 3700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  b  ->  <. w ,  0R >.  =  <. b ,  0R >. )
2625eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  b  ->  ( <. w ,  0R >.  e.  A  <->  <. b ,  0R >.  e.  A ) )
2726, 11elrab2 2838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  B  <->  ( b  e.  R.  /\  <. b ,  0R >.  e.  A
) )
2824, 27sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( b  e.  R.  /\ 
<. b ,  0R >.  e.  A ) )
2928simprd 113 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  -> 
<. b ,  0R >.  e.  A )
3022, 23, 29rspcdva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  -> 
<. b ,  0R >.  <RR  x )
31 simplrl 524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  ->  x  e.  RR )
3231, 19sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  ->  ( ( 1st `  x
)  e.  R.  /\  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  0R >. ) )
3332simprd 113 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  ->  x  =  <. ( 1st `  x ) ,  0R >. )
3430, 33breqtrd 3949 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  -> 
<. b ,  0R >.  <RR  <. ( 1st `  x
) ,  0R >. )
35 ltresr 7640 . . . . . . 7  |-  ( <.
b ,  0R >.  <RR  <. ( 1st `  x
) ,  0R >.  <->  b  <R  ( 1st `  x
) )
3634, 35sylib 121 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y 
<RR  x ) )  /\  b  e.  B )  ->  b  <R  ( 1st `  x ) )
3736ralrimiva 2503 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )  ->  A. b  e.  B  b  <R  ( 1st `  x ) )
38 brralrspcev 3981 . . . . 5  |-  ( ( ( 1st `  x
)  e.  R.  /\  A. b  e.  B  b 
<R  ( 1st `  x
) )  ->  E. a  e.  R.  A. b  e.  B  b  <R  a
)
3921, 37, 38syl2anc 408 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  A. y  e.  A  y  <RR  x ) )  ->  E. a  e.  R.  A. b  e.  B  b  <R  a
)
4017, 39rexlimddv 2552 . . 3  |-  ( ph  ->  E. a  e.  R.  A. b  e.  B  b 
<R  a )
41 simpr 109 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  a  <R  b )
42 ltresr 7640 . . . . . . . 8  |-  ( <.
a ,  0R >.  <RR  <. b ,  0R >.  <->  a  <R  b )
4341, 42sylibr 133 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  <. a ,  0R >.  <RR  <. b ,  0R >. )
44 breq2 3928 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( <. a ,  0R >.  <RR  y  <->  <. a ,  0R >.  <RR  <. b ,  0R >. ) )
45 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( z  <RR  y  <-> 
z  <RR  <. b ,  0R >. ) )
4645ralbidv 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( A. z  e.  A  z  <RR  y  <->  A. z  e.  A  z  <RR  <. b ,  0R >. ) )
4746orbi2d 779 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  \/ 
A. z  e.  A  z  <RR  y )  <->  ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  \/ 
A. z  e.  A  z  <RR  <. b ,  0R >. ) ) )
4844, 47imbi12d 233 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. b ,  0R >.  ->  ( ( <.
a ,  0R >.  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  \/ 
A. z  e.  A  z  <RR  y ) )  <-> 
( <. a ,  0R >. 
<RR  <. b ,  0R >.  ->  ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  \/ 
A. z  e.  A  z  <RR  <. b ,  0R >. ) ) ) )
49 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( x  <RR  y  <->  <. a ,  0R >.  <RR  y ) )
50 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( x  <RR  z  <->  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )
5150rexbidv 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  <->  E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )
5251orbi1d 780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( ( E. z  e.  A  x 
<RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y )  <->  ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  \/ 
A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
5349, 52imbi12d 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( ( x 
<RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x 
<RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) )  <->  ( <. a ,  0R >.  <RR  y  -> 
( E. z  e.  A  <. a ,  0R >. 
<RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )
5453ralbidv 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) )  <->  A. y  e.  RR  ( <. a ,  0R >. 
<RR  y  ->  ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  \/ 
A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) ) )
55 axpre-suploclem.loc . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  (
x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
5655ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  A. x  e.  RR  A. y  e.  RR  ( x  <RR  y  ->  ( E. z  e.  A  x  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
57 simplrl 524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  a  e.  R. )
58 opelreal 7628 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
a ,  0R >.  e.  RR  <->  a  e.  R. )
5957, 58sylibr 133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  <. a ,  0R >.  e.  RR )
6054, 56, 59rspcdva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  A. y  e.  RR  ( <. a ,  0R >.  <RR  y  -> 
( E. z  e.  A  <. a ,  0R >. 
<RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  y ) ) )
61 simplrr 525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  b  e.  R. )
62 opelreal 7628 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
b ,  0R >.  e.  RR  <->  b  e.  R. )
6361, 62sylibr 133 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  <. b ,  0R >.  e.  RR )
6448, 60, 63rspcdva 2789 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  ( <. a ,  0R >.  <RR  <. b ,  0R >.  ->  ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  \/ 
A. z  e.  A  z  <RR  <. b ,  0R >. ) ) )
6543, 64mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  \/ 
A. z  e.  A  z  <RR  <. b ,  0R >. ) )
66 simplll 522 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  ph )
67 simprl 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  z  e.  A )
681sseld 3091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( z  e.  A  ->  z  e.  RR ) )
6966, 67, 68sylc 62 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  z  e.  RR )
70 elreal2 7631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  RR  <->  ( ( 1st `  z )  e. 
R.  /\  z  =  <. ( 1st `  z
) ,  0R >. ) )
7169, 70sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  ( ( 1st `  z )  e. 
R.  /\  z  =  <. ( 1st `  z
) ,  0R >. ) )
7271simpld 111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  ( 1st `  z )  e.  R. )
7371simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  z  =  <. ( 1st `  z
) ,  0R >. )
7473, 67eqeltrrd 2215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  <. ( 1st `  z ) ,  0R >.  e.  A )
75 opeq1 3700 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( 1st `  z
)  ->  <. w ,  0R >.  =  <. ( 1st `  z ) ,  0R >. )
7675eleq1d 2206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( 1st `  z
)  ->  ( <. w ,  0R >.  e.  A  <->  <.
( 1st `  z
) ,  0R >.  e.  A ) )
7776, 11elrab2 2838 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1st `  z )  e.  B  <->  ( ( 1st `  z )  e. 
R.  /\  <. ( 1st `  z ) ,  0R >.  e.  A ) )
7872, 74, 77sylanbrc 413 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  ( 1st `  z )  e.  B
)
79 simprr 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  <. a ,  0R >.  <RR  z )
8079, 73breqtrd 3949 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  <. a ,  0R >.  <RR  <. ( 1st `  z ) ,  0R >. )
81 ltresr 7640 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
a ,  0R >.  <RR  <. ( 1st `  z
) ,  0R >.  <->  a  <R  ( 1st `  z
) )
8280, 81sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  a  <R  ( 1st `  z ) )
83 breq2 3928 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  =  ( 1st `  z
)  ->  ( a  <R  c  <->  a  <R  ( 1st `  z ) ) )
8483rspcev 2784 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  z
)  e.  B  /\  a  <R  ( 1st `  z
) )  ->  E. c  e.  B  a  <R  c )
8578, 82, 84syl2anc 408 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  ( z  e.  A  /\  <. a ,  0R >.  <RR  z ) )  ->  E. c  e.  B  a  <R  c )
8685rexlimdvaa 2548 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  ->  E. c  e.  B  a  <R  c ) )
87 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. c ,  0R >.  ->  ( z  <RR  <.
b ,  0R >.  <->  <. c ,  0R >.  <RR  <. b ,  0R >. ) )
88 simplr 519 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  A. z  e.  A  z  <RR  <.
b ,  0R >. )  /\  c  e.  B
)  ->  A. z  e.  A  z  <RR  <.
b ,  0R >. )
89 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  A. z  e.  A  z  <RR  <.
b ,  0R >. )  /\  c  e.  B
)  ->  c  e.  B )
90 opeq1 3700 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  =  c  ->  <. w ,  0R >.  =  <. c ,  0R >. )
9190eleq1d 2206 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( w  =  c  ->  ( <. w ,  0R >.  e.  A  <->  <. c ,  0R >.  e.  A ) )
9291, 11elrab2 2838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( c  e.  B  <->  ( c  e.  R.  /\  <. c ,  0R >.  e.  A
) )
9389, 92sylib 121 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  A. z  e.  A  z  <RR  <.
b ,  0R >. )  /\  c  e.  B
)  ->  ( c  e.  R.  /\  <. c ,  0R >.  e.  A
) )
9493simprd 113 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  A. z  e.  A  z  <RR  <.
b ,  0R >. )  /\  c  e.  B
)  ->  <. c ,  0R >.  e.  A
)
9587, 88, 94rspcdva 2789 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  A. z  e.  A  z  <RR  <.
b ,  0R >. )  /\  c  e.  B
)  ->  <. c ,  0R >.  <RR  <. b ,  0R >. )
96 ltresr 7640 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
c ,  0R >.  <RR  <. b ,  0R >.  <->  c  <R  b )
9795, 96sylib 121 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  A. z  e.  A  z  <RR  <.
b ,  0R >. )  /\  c  e.  B
)  ->  c  <R  b )
9897ralrimiva 2503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  /\  A. z  e.  A  z  <RR  <.
b ,  0R >. )  ->  A. c  e.  B  c  <R  b )
9998ex 114 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  ( A. z  e.  A  z  <RR 
<. b ,  0R >.  ->  A. c  e.  B  c  <R  b ) )
10086, 99orim12d 775 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  ( ( E. z  e.  A  <. a ,  0R >.  <RR  z  \/  A. z  e.  A  z  <RR  <.
b ,  0R >. )  ->  ( E. c  e.  B  a  <R  c  \/  A. c  e.  B  c  <R  b
) ) )
10165, 100mpd 13 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  b  e.  R. )
)  /\  a  <R  b )  ->  ( E. c  e.  B  a  <R  c  \/  A. c  e.  B  c  <R  b ) )
102101ex 114 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  R.  /\  b  e. 
R. ) )  -> 
( a  <R  b  ->  ( E. c  e.  B  a  <R  c  \/  A. c  e.  B  c  <R  b ) ) )
103102ralrimivva 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  R.  A. b  e.  R.  (
a  <R  b  ->  ( E. c  e.  B  a  <R  c  \/  A. c  e.  B  c  <R  b ) ) )
10416, 40, 103suplocsr 7610 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  R.  ( A. b  e.  B  -.  a  <R  b  /\  A. b  e.  R.  (
b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )
105 simprl 520 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  R.  /\  ( A. b  e.  B  -.  a  <R  b  /\  A. b  e.  R.  (
b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) ) )  ->  a  e.  R. )
106105, 58sylibr 133 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  R.  /\  ( A. b  e.  B  -.  a  <R  b  /\  A. b  e.  R.  (
b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) ) )  ->  <. a ,  0R >.  e.  RR )
107 breq2 3928 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  ( 1st `  y
)  ->  ( a  <R  b  <->  a  <R  ( 1st `  y ) ) )
108107notbid 656 . . . . . . 7  |-  ( b  =  ( 1st `  y
)  ->  ( -.  a  <R  b  <->  -.  a  <R  ( 1st `  y
) ) )
109 simplrr 525 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  A. b  e.  B  -.  a  <R  b ) )  /\  y  e.  A
)  ->  A. b  e.  B  -.  a  <R  b )
1101sselda 3092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  RR )
111 elreal2 7631 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  RR  <->  ( ( 1st `  y )  e. 
R.  /\  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  0R >. ) )
112110, 111sylib 121 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( 1st `  y
)  e.  R.  /\  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  0R >. ) )
113112simpld 111 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( 1st `  y )  e. 
R. )
114112simprd 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  0R >. )
115 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  A )
116114, 115eqeltrrd 2215 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  0R >.  e.  A
)
117 opeq1 3700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( 1st `  y
)  ->  <. w ,  0R >.  =  <. ( 1st `  y ) ,  0R >. )
118117eleq1d 2206 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( 1st `  y
)  ->  ( <. w ,  0R >.  e.  A  <->  <.
( 1st `  y
) ,  0R >.  e.  A ) )
119118, 11elrab2 2838 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st `  y )  e.  B  <->  ( ( 1st `  y )  e. 
R.  /\  <. ( 1st `  y ) ,  0R >.  e.  A ) )
120113, 116, 119sylanbrc 413 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( 1st `  y )  e.  B )
121120adantlr 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  A. b  e.  B  -.  a  <R  b ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( 1st `  y )  e.  B
)
122108, 109, 121rspcdva 2789 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  A. b  e.  B  -.  a  <R  b ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  a  <R  ( 1st `  y
) )
123114adantlr 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  A. b  e.  B  -.  a  <R  b ) )  /\  y  e.  A
)  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  0R >. )
124123breq2d 3936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  A. b  e.  B  -.  a  <R  b ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( <. a ,  0R >.  <RR  y  <->  <. a ,  0R >.  <RR  <. ( 1st `  y ) ,  0R >. ) )
125 ltresr 7640 . . . . . . 7  |-  ( <.
a ,  0R >.  <RR  <. ( 1st `  y
) ,  0R >.  <->  a  <R  ( 1st `  y
) )
126124, 125syl6bb 195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  A. b  e.  B  -.  a  <R  b ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( <. a ,  0R >.  <RR  y  <->  a  <R  ( 1st `  y ) ) )
127122, 126mtbird 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  A. b  e.  B  -.  a  <R  b ) )  /\  y  e.  A
)  ->  -.  <. a ,  0R >.  <RR  y )
128127ralrimiva 2503 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  R.  /\  A. b  e.  B  -.  a  <R  b ) )  ->  A. y  e.  A  -.  <. a ,  0R >. 
<RR  y )
129128adantrrr 478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  R.  /\  ( A. b  e.  B  -.  a  <R  b  /\  A. b  e.  R.  (
b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) ) )  ->  A. y  e.  A  -.  <. a ,  0R >. 
<RR  y )
130 simplr 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  y  e.  RR )
131130, 111sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  ( ( 1st `  y )  e.  R.  /\  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  0R >. ) )
132131simprd 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  y  =  <. ( 1st `  y ) ,  0R >. )
133 simpr 109 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  y  <RR  <. a ,  0R >. )
134132, 133eqbrtrrd 3947 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  <. ( 1st `  y
) ,  0R >.  <RR  <. a ,  0R >. )
135 ltresr 7640 . . . . . . . . 9  |-  ( <.
( 1st `  y
) ,  0R >.  <RR  <. a ,  0R >.  <->  ( 1st `  y )  <R 
a )
136134, 135sylib 121 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  ( 1st `  y
)  <R  a )
137 breq1 3927 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( 1st `  y
)  ->  ( b  <R  a  <->  ( 1st `  y
)  <R  a ) )
138 breq1 3927 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( 1st `  y
)  ->  ( b  <R  c  <->  ( 1st `  y
)  <R  c ) )
139138rexbidv 2436 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( 1st `  y
)  ->  ( E. c  e.  B  b  <R  c  <->  E. c  e.  B  ( 1st `  y ) 
<R  c ) )
140137, 139imbi12d 233 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( 1st `  y
)  ->  ( (
b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c )  <->  ( ( 1st `  y )  <R  a  ->  E. c  e.  B  ( 1st `  y ) 
<R  c ) ) )
141 simprr 521 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  R.  /\  A. b  e.  R.  ( b  <R 
a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  ->  A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) )
142141ad2antrr 479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) )
143131simpld 111 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  ( 1st `  y
)  e.  R. )
144140, 142, 143rspcdva 2789 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  ( ( 1st `  y )  <R  a  ->  E. c  e.  B  ( 1st `  y ) 
<R  c ) )
145136, 144mpd 13 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  E. c  e.  B  ( 1st `  y ) 
<R  c )
146 nfv 1508 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c
ph
147 nfv 1508 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c  a  e.  R.
148 nfcv 2279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ c R.
149 nfv 1508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c  b  <R  a
150 nfre1 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ c E. c  e.  B  b  <R  c
151149, 150nfim 1551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ c ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c )
152148, 151nfralya 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ c A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c )
153147, 152nfan 1544 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ c ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) )
154146, 153nfan 1544 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  A. b  e.  R.  (
b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )
155 nfv 1508 . . . . . . . . . 10  |-  F/ c  y  e.  RR
156154, 155nfan 1544 . . . . . . . . 9  |-  F/ c ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )
157 nfv 1508 . . . . . . . . 9  |-  F/ c  y  <RR  <. a ,  0R >.
158156, 157nfan 1544 . . . . . . . 8  |-  F/ c ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )
159 nfv 1508 . . . . . . . 8  |-  F/ c E. z  e.  A  y  <RR  z
160 simprl 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  /\  ( c  e.  B  /\  ( 1st `  y )  <R  c
) )  ->  c  e.  B )
161160, 92sylib 121 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  /\  ( c  e.  B  /\  ( 1st `  y )  <R  c
) )  ->  (
c  e.  R.  /\  <.
c ,  0R >.  e.  A ) )
162161simprd 113 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  /\  ( c  e.  B  /\  ( 1st `  y )  <R  c
) )  ->  <. c ,  0R >.  e.  A
)
163132adantr 274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  /\  ( c  e.  B  /\  ( 1st `  y )  <R  c
) )  ->  y  =  <. ( 1st `  y
) ,  0R >. )
164 simprr 521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  /\  ( c  e.  B  /\  ( 1st `  y )  <R  c
) )  ->  ( 1st `  y )  <R 
c )
165 ltresr 7640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <.
( 1st `  y
) ,  0R >.  <RR  <. c ,  0R >.  <->  ( 1st `  y )  <R 
c )
166164, 165sylibr 133 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  /\  ( c  e.  B  /\  ( 1st `  y )  <R  c
) )  ->  <. ( 1st `  y ) ,  0R >.  <RR  <. c ,  0R >. )
167163, 166eqbrtrd 3945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  /\  ( c  e.  B  /\  ( 1st `  y )  <R  c
) )  ->  y  <RR 
<. c ,  0R >. )
168 breq2 3928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  <. c ,  0R >.  ->  ( y  <RR  z  <-> 
y  <RR  <. c ,  0R >. ) )
169168rspcev 2784 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
<. c ,  0R >.  e.  A  /\  y  <RR  <.
c ,  0R >. )  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z )
170162, 167, 169syl2anc 408 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  /\  ( c  e.  B  /\  ( 1st `  y )  <R  c
) )  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z )
171170exp32 362 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  ( c  e.  B  ->  ( ( 1st `  y )  <R 
c  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
172158, 159, 171rexlimd 2544 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  ( E. c  e.  B  ( 1st `  y )  <R  c  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
173145, 172mpd 13 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( a  e.  R.  /\ 
A. b  e.  R.  ( b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  /\  y  <RR 
<. a ,  0R >. )  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z )
174173ex 114 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  R.  /\  A. b  e.  R.  (
b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  <RR  <. a ,  0R >.  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
175174ralrimiva 2503 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  R.  /\  A. b  e.  R.  ( b  <R 
a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  <RR  <. a ,  0R >.  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
176175adantrrl 477 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  R.  /\  ( A. b  e.  B  -.  a  <R  b  /\  A. b  e.  R.  (
b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) ) )  ->  A. y  e.  RR  ( y  <RR  <. a ,  0R >.  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )
17749notbid 656 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( -.  x  <RR  y  <->  -.  <. a ,  0R >.  <RR  y ) )
178177ralbidv 2435 . . . . 5  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  <->  A. y  e.  A  -.  <. a ,  0R >. 
<RR  y ) )
179 breq2 3928 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( y  <RR  x  <-> 
y  <RR  <. a ,  0R >. ) )
180179imbi1d 230 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( ( y 
<RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z )  <->  ( y  <RR  <.
a ,  0R >.  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
181180ralbidv 2435 . . . . 5  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z )  <->  A. y  e.  RR  ( y  <RR  <.
a ,  0R >.  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
182178, 181anbi12d 464 . . . 4  |-  ( x  =  <. a ,  0R >.  ->  ( ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) )  <->  ( A. y  e.  A  -.  <.
a ,  0R >.  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  <.
a ,  0R >.  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) ) )
183182rspcev 2784 . . 3  |-  ( (
<. a ,  0R >.  e.  RR  /\  ( A. y  e.  A  -.  <.
a ,  0R >.  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  <.
a ,  0R >.  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  ( y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
184106, 129, 176, 183syl12anc 1214 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  R.  /\  ( A. b  e.  B  -.  a  <R  b  /\  A. b  e.  R.  (
b  <R  a  ->  E. c  e.  B  b  <R  c ) ) ) )  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
185104, 184rexlimddv 2552 1  |-  ( ph  ->  E. x  e.  RR  ( A. y  e.  A  -.  x  <RR  y  /\  A. y  e.  RR  (
y  <RR  x  ->  E. z  e.  A  y  <RR  z ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    \/ wo 697    = wceq 1331   E.wex 1468    e. wcel 1480   A.wral 2414   E.wrex 2415   {crab 2418    C_ wss 3066   <.cop 3525   class class class wbr 3924   ` cfv 5118   1stc1st 6029   R.cnr 7098   0Rc0r 7099    <R cltr 7104   RRcr 7612    <RR cltrr 7617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-eprel 4206  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-irdg 6260  df-1o 6306  df-2o 6307  df-oadd 6310  df-omul 6311  df-er 6422  df-ec 6424  df-qs 6428  df-ni 7105  df-pli 7106  df-mi 7107  df-lti 7108  df-plpq 7145  df-mpq 7146  df-enq 7148  df-nqqs 7149  df-plqqs 7150  df-mqqs 7151  df-1nqqs 7152  df-rq 7153  df-ltnqqs 7154  df-enq0 7225  df-nq0 7226  df-0nq0 7227  df-plq0 7228  df-mq0 7229  df-inp 7267  df-i1p 7268  df-iplp 7269  df-imp 7270  df-iltp 7271  df-enr 7527  df-nr 7528  df-plr 7529  df-mr 7530  df-ltr 7531  df-0r 7532  df-1r 7533  df-m1r 7534  df-r 7623  df-lt 7626
This theorem is referenced by:  axpre-suploc  7703
  Copyright terms: Public domain W3C validator