Theorem axpre-suploclemres 7842

Description: Lemma for axpre-suploc 7843. The result. The proof just needs to define B as basically the same set as A (but expressed as a subset of R. rather than a subset of RR), and apply suplocsr 7750. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
axpre-suploclem.ss	|- ( ph -> A C_ RR )
axpre-suploclem.m	|- ( ph -> C e. A )
axpre-suploclem.ub	|- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <RR x )
axpre-suploclem.loc	|- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
axpre-suploclem.b	|- B = { w e. R. | <. w , 0R >. e. A }

Assertion

Ref	Expression
axpre-suploclemres	|- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )

Distinct variable groups:   y, A, z, w   x, A, y, z   y, B, z, x   w, C   ph, y, z, x

Allowed substitution hints:   ph( w)   B( w)   C( x, y, z)

Proof of Theorem axpre-suploclemres

Dummy variables a b c are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axpre-suploclem.ss	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ RR )
2		axpre-suploclem.m	. . . . . . . 8 |- ( ph -> C e. A )
3	1, 2	sseldd 3143	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR )
4		elreal2 7771	. . . . . . 7 |- ( C e. RR <-> ( ( 1st ` C ) e. R. /\ C = <. ( 1st ` C ) , 0R >. ) )
5	3, 4	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( 1st ` C ) e. R. /\ C = <. ( 1st ` C ) , 0R >. ) )
6	5	simpld 111	. . . . 5 |- ( ph -> ( 1st ` C ) e. R. )
7	5	simprd 113	. . . . . 6 |- ( ph -> C = <. ( 1st ` C ) , 0R >. )
8	7, 2	eqeltrrd 2244	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( 1st ` C ) , 0R >. e. A )
9		opeq1 3758	. . . . . . 7 |- ( w = ( 1st ` C ) -> <. w , 0R >. = <. ( 1st ` C ) , 0R >. )
10	9	eleq1d 2235	. . . . . 6 |- ( w = ( 1st ` C ) -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. ( 1st ` C ) , 0R >. e. A ) )
11		axpre-suploclem.b	. . . . . 6 |- B = { w e. R. | <. w , 0R >. e. A }
12	10, 11	elrab2 2885	. . . . 5 |- ( ( 1st ` C ) e. B <-> ( ( 1st ` C ) e. R. /\ <. ( 1st ` C ) , 0R >. e. A ) )
13	6, 8, 12	sylanbrc 414	. . . 4 |- ( ph -> ( 1st ` C ) e. B )
14		eleq1 2229	. . . . 5 |- ( a = ( 1st ` C ) -> ( a e. B <-> ( 1st ` C ) e. B ) )
15	14	spcegv 2814	. . . 4 |- ( ( 1st ` C ) e. B -> ( ( 1st ` C ) e. B -> E. a a e. B ) )
16	13, 13, 15	sylc 62	. . 3 |- ( ph -> E. a a e. B )
17		axpre-suploclem.ub	. . . 4 |- ( ph -> E. x e. RR A. y e. A y <RR x )
18		simprl 521	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> x e. RR )
19		elreal2 7771	. . . . . . 7 |- ( x e. RR <-> ( ( 1st ` x ) e. R. /\ x = <. ( 1st ` x ) , 0R >. ) )
20	18, 19	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> ( ( 1st ` x ) e. R. /\ x = <. ( 1st ` x ) , 0R >. ) )
21	20	simpld 111	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> ( 1st ` x ) e. R. )
22		breq1 3985	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( y <RR x <-> <. b , 0R >. <RR x ) )
23		simplrr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> A. y e. A y <RR x )
24		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> b e. B )
25		opeq1 3758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w = b -> <. w , 0R >. = <. b , 0R >. )
26	25	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = b -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. b , 0R >. e. A ) )
27	26, 11	elrab2 2885	. . . . . . . . . . 11 |- ( b e. B <-> ( b e. R. /\ <. b , 0R >. e. A ) )
28	24, 27	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> ( b e. R. /\ <. b , 0R >. e. A ) )
29	28	simprd 113	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> <. b , 0R >. e. A )
30	22, 23, 29	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> <. b , 0R >. <RR x )
31		simplrl 525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> x e. RR )
32	31, 19	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> ( ( 1st ` x ) e. R. /\ x = <. ( 1st ` x ) , 0R >. ) )
33	32	simprd 113	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> x = <. ( 1st ` x ) , 0R >. )
34	30, 33	breqtrd 4008	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> <. b , 0R >. <RR <. ( 1st ` x ) , 0R >. )
35		ltresr 7780	. . . . . . 7 |- ( <. b , 0R >. <RR <. ( 1st ` x ) , 0R >. <-> b <R ( 1st ` x ) )
36	34, 35	sylib 121	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) /\ b e. B ) -> b <R ( 1st ` x ) )
37	36	ralrimiva 2539	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> A. b e. B b <R ( 1st ` x ) )
38		brralrspcev 4040	. . . . 5 |- ( ( ( 1st ` x ) e. R. /\ A. b e. B b <R ( 1st ` x ) ) -> E. a e. R. A. b e. B b <R a )
39	21, 37, 38	syl2anc 409	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. RR /\ A. y e. A y <RR x ) ) -> E. a e. R. A. b e. B b <R a )
40	17, 39	rexlimddv 2588	. . 3 |- ( ph -> E. a e. R. A. b e. B b <R a )
41		simpr 109	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> a <R b )
42		ltresr 7780	. . . . . . . 8 |- ( <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. <-> a <R b )
43	41, 42	sylibr 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. )
44		breq2 3986	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( <. a , 0R >. <RR y <-> <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. ) )
45		breq2 3986	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( z <RR y <-> z <RR <. b , 0R >. ) )
46	45	ralbidv 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( A. z e. A z <RR y <-> A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) )
47	46	orbi2d 780	. . . . . . . . 9 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) <-> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) ) )
48	44, 47	imbi12d 233	. . . . . . . 8 |- ( y = <. b , 0R >. -> ( ( <. a , 0R >. <RR y -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) <-> ( <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) ) ) )
49		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( x <RR y <-> <. a , 0R >. <RR y ) )
50		breq1 3985	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( x <RR z <-> <. a , 0R >. <RR z ) )
51	50	rexbidv 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( E. z e. A x <RR z <-> E. z e. A <. a , 0R >. <RR z ) )
52	51	orbi1d 781	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) <-> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
53	49, 52	imbi12d 233	. . . . . . . . . 10 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) <-> ( <. a , 0R >. <RR y -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
54	53	ralbidv 2466	. . . . . . . . 9 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) <-> A. y e. RR ( <. a , 0R >. <RR y -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) ) )
55		axpre-suploclem.loc	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
56	55	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> A. x e. RR A. y e. RR ( x <RR y -> ( E. z e. A x <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
57		simplrl 525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> a e. R. )
58		opelreal 7768	. . . . . . . . . 10 |- ( <. a , 0R >. e. RR <-> a e. R. )
59	57, 58	sylibr 133	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> <. a , 0R >. e. RR )
60	54, 56, 59	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> A. y e. RR ( <. a , 0R >. <RR y -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR y ) ) )
61		simplrr 526	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> b e. R. )
62		opelreal 7768	. . . . . . . . 9 |- ( <. b , 0R >. e. RR <-> b e. R. )
63	61, 62	sylibr 133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> <. b , 0R >. e. RR )
64	48, 60, 63	rspcdva 2835	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( <. a , 0R >. <RR <. b , 0R >. -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) ) )
65	43, 64	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) )
66		simplll 523	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> ph )
67		simprl 521	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> z e. A )
68	1	sseld 3141	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( z e. A -> z e. RR ) )
69	66, 67, 68	sylc 62	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> z e. RR )
70		elreal2 7771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z e. RR <-> ( ( 1st ` z ) e. R. /\ z = <. ( 1st ` z ) , 0R >. ) )
71	69, 70	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> ( ( 1st ` z ) e. R. /\ z = <. ( 1st ` z ) , 0R >. ) )
72	71	simpld 111	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> ( 1st ` z ) e. R. )
73	71	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> z = <. ( 1st ` z ) , 0R >. )
74	73, 67	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> <. ( 1st ` z ) , 0R >. e. A )
75		opeq1 3758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w = ( 1st ` z ) -> <. w , 0R >. = <. ( 1st ` z ) , 0R >. )
76	75	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( 1st ` z ) -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. ( 1st ` z ) , 0R >. e. A ) )
77	76, 11	elrab2 2885	. . . . . . . . . 10 |- ( ( 1st ` z ) e. B <-> ( ( 1st ` z ) e. R. /\ <. ( 1st ` z ) , 0R >. e. A ) )
78	72, 74, 77	sylanbrc 414	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> ( 1st ` z ) e. B )
79		simprr 522	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> <. a , 0R >. <RR z )
80	79, 73	breqtrd 4008	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> <. a , 0R >. <RR <. ( 1st ` z ) , 0R >. )
81		ltresr 7780	. . . . . . . . . 10 |- ( <. a , 0R >. <RR <. ( 1st ` z ) , 0R >. <-> a <R ( 1st ` z ) )
82	80, 81	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> a <R ( 1st ` z ) )
83		breq2 3986	. . . . . . . . . 10 |- ( c = ( 1st ` z ) -> ( a <R c <-> a <R ( 1st ` z ) ) )
84	83	rspcev 2830	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( 1st ` z ) e. B /\ a <R ( 1st ` z ) ) -> E. c e. B a <R c )
85	78, 82, 84	syl2anc 409	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ ( z e. A /\ <. a , 0R >. <RR z ) ) -> E. c e. B a <R c )
86	85	rexlimdvaa 2584	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z -> E. c e. B a <R c ) )
87		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. c , 0R >. -> ( z <RR <. b , 0R >. <-> <. c , 0R >. <RR <. b , 0R >. ) )
88		simplr 520	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> A. z e. A z <RR <. b , 0R >. )
89		simpr 109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> c e. B )
90		opeq1 3758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w = c -> <. w , 0R >. = <. c , 0R >. )
91	90	eleq1d 2235	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( w = c -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. c , 0R >. e. A ) )
92	91, 11	elrab2 2885	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( c e. B <-> ( c e. R. /\ <. c , 0R >. e. A ) )
93	89, 92	sylib 121	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> ( c e. R. /\ <. c , 0R >. e. A ) )
94	93	simprd 113	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> <. c , 0R >. e. A )
95	87, 88, 94	rspcdva 2835	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> <. c , 0R >. <RR <. b , 0R >. )
96		ltresr 7780	. . . . . . . . . 10 |- ( <. c , 0R >. <RR <. b , 0R >. <-> c <R b )
97	95, 96	sylib 121	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) /\ c e. B ) -> c <R b )
98	97	ralrimiva 2539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) /\ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) -> A. c e. B c <R b )
99	98	ex 114	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( A. z e. A z <RR <. b , 0R >. -> A. c e. B c <R b ) )
100	86, 99	orim12d 776	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( ( E. z e. A <. a , 0R >. <RR z \/ A. z e. A z <RR <. b , 0R >. ) -> ( E. c e. B a <R c \/ A. c e. B c <R b ) ) )
101	65, 100	mpd 13	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) /\ a <R b ) -> ( E. c e. B a <R c \/ A. c e. B c <R b ) )
102	101	ex 114	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ b e. R. ) ) -> ( a <R b -> ( E. c e. B a <R c \/ A. c e. B c <R b ) ) )
103	102	ralrimivva 2548	. . 3 |- ( ph -> A. a e. R. A. b e. R. ( a <R b -> ( E. c e. B a <R c \/ A. c e. B c <R b ) ) )
104	16, 40, 103	suplocsr 7750	. 2 |- ( ph -> E. a e. R. ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) )
105		simprl 521	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> a e. R. )
106	105, 58	sylibr 133	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> <. a , 0R >. e. RR )
107		breq2 3986	. . . . . . . 8 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( a <R b <-> a <R ( 1st ` y ) ) )
108	107	notbid 657	. . . . . . 7 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( -. a <R b <-> -. a <R ( 1st ` y ) ) )
109		simplrr 526	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> A. b e. B -. a <R b )
110	1	sselda 3142	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. RR )
111		elreal2 7771	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. RR <-> ( ( 1st ` y ) e. R. /\ y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. ) )
112	110, 111	sylib 121	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( ( 1st ` y ) e. R. /\ y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. ) )
113	112	simpld 111	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( 1st ` y ) e. R. )
114	112	simprd 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
115		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> y e. A )
116	114, 115	eqeltrrd 2244	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> <. ( 1st ` y ) , 0R >. e. A )
117		opeq1 3758	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( 1st ` y ) -> <. w , 0R >. = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
118	117	eleq1d 2235	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( 1st ` y ) -> ( <. w , 0R >. e. A <-> <. ( 1st ` y ) , 0R >. e. A ) )
119	118, 11	elrab2 2885	. . . . . . . . 9 |- ( ( 1st ` y ) e. B <-> ( ( 1st ` y ) e. R. /\ <. ( 1st ` y ) , 0R >. e. A ) )
120	113, 116, 119	sylanbrc 414	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. A ) -> ( 1st ` y ) e. B )
121	120	adantlr 469	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> ( 1st ` y ) e. B )
122	108, 109, 121	rspcdva 2835	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> -. a <R ( 1st ` y ) )
123	114	adantlr 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
124	123	breq2d 3994	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> ( <. a , 0R >. <RR y <-> <. a , 0R >. <RR <. ( 1st ` y ) , 0R >. ) )
125		ltresr 7780	. . . . . . 7 |- ( <. a , 0R >. <RR <. ( 1st ` y ) , 0R >. <-> a <R ( 1st ` y ) )
126	124, 125	bitrdi 195	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> ( <. a , 0R >. <RR y <-> a <R ( 1st ` y ) ) )
127	122, 126	mtbird 663	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) /\ y e. A ) -> -. <. a , 0R >. <RR y )
128	127	ralrimiva 2539	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. B -. a <R b ) ) -> A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y )
129	128	adantrrr 479	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y )
130		simplr 520	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> y e. RR )
131	130, 111	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( ( 1st ` y ) e. R. /\ y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. ) )
132	131	simprd 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
133		simpr 109	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> y <RR <. a , 0R >. )
134	132, 133	eqbrtrrd 4006	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> <. ( 1st ` y ) , 0R >. <RR <. a , 0R >. )
135		ltresr 7780	. . . . . . . . 9 |- ( <. ( 1st ` y ) , 0R >. <RR <. a , 0R >. <-> ( 1st ` y ) <R a )
136	134, 135	sylib 121	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( 1st ` y ) <R a )
137		breq1 3985	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( b <R a <-> ( 1st ` y ) <R a ) )
138		breq1 3985	. . . . . . . . . . 11 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( b <R c <-> ( 1st ` y ) <R c ) )
139	138	rexbidv 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( E. c e. B b <R c <-> E. c e. B ( 1st ` y ) <R c ) )
140	137, 139	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 |- ( b = ( 1st ` y ) -> ( ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) <-> ( ( 1st ` y ) <R a -> E. c e. B ( 1st ` y ) <R c ) ) )
141		simprr 522	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) -> A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) )
142	141	ad2antrr 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) )
143	131	simpld 111	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( 1st ` y ) e. R. )
144	140, 142, 143	rspcdva 2835	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( ( 1st ` y ) <R a -> E. c e. B ( 1st ` y ) <R c ) )
145	136, 144	mpd 13	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> E. c e. B ( 1st ` y ) <R c )
146		nfv 1516	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c ph
147		nfv 1516	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c a e. R.
148		nfcv 2308	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ c R.
149		nfv 1516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c b <R a
150		nfre1 2509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ c E. c e. B b <R c
151	149, 150	nfim 1560	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ c ( b <R a -> E. c e. B b <R c )
152	148, 151	nfralya 2506	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ c A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c )
153	147, 152	nfan 1553	. . . . . . . . . . 11 |- F/ c ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) )
154	146, 153	nfan 1553	. . . . . . . . . 10 |- F/ c ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) )
155		nfv 1516	. . . . . . . . . 10 |- F/ c y e. RR
156	154, 155	nfan 1553	. . . . . . . . 9 |- F/ c ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR )
157		nfv 1516	. . . . . . . . 9 |- F/ c y <RR <. a , 0R >.
158	156, 157	nfan 1553	. . . . . . . 8 |- F/ c ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. )
159		nfv 1516	. . . . . . . 8 |- F/ c E. z e. A y <RR z
160		simprl 521	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> c e. B )
161	160, 92	sylib 121	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> ( c e. R. /\ <. c , 0R >. e. A ) )
162	161	simprd 113	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> <. c , 0R >. e. A )
163	132	adantr 274	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> y = <. ( 1st ` y ) , 0R >. )
164		simprr 522	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> ( 1st ` y ) <R c )
165		ltresr 7780	. . . . . . . . . . . 12 |- ( <. ( 1st ` y ) , 0R >. <RR <. c , 0R >. <-> ( 1st ` y ) <R c )
166	164, 165	sylibr 133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> <. ( 1st ` y ) , 0R >. <RR <. c , 0R >. )
167	163, 166	eqbrtrd 4004	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> y <RR <. c , 0R >. )
168		breq2 3986	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = <. c , 0R >. -> ( y <RR z <-> y <RR <. c , 0R >. ) )
169	168	rspcev 2830	. . . . . . . . . 10 |- ( ( <. c , 0R >. e. A /\ y <RR <. c , 0R >. ) -> E. z e. A y <RR z )
170	162, 167, 169	syl2anc 409	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) /\ ( c e. B /\ ( 1st ` y ) <R c ) ) -> E. z e. A y <RR z )
171	170	exp32 363	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( c e. B -> ( ( 1st ` y ) <R c -> E. z e. A y <RR z ) ) )
172	158, 159, 171	rexlimd 2580	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> ( E. c e. B ( 1st ` y ) <R c -> E. z e. A y <RR z ) )
173	145, 172	mpd 13	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) /\ y <RR <. a , 0R >. ) -> E. z e. A y <RR z )
174	173	ex 114	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) /\ y e. RR ) -> ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) )
175	174	ralrimiva 2539	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) -> A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) )
176	175	adantrrl 478	. . 3 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) )
177	49	notbid 657	. . . . . 6 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( -. x <RR y <-> -. <. a , 0R >. <RR y ) )
178	177	ralbidv 2466	. . . . 5 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( A. y e. A -. x <RR y <-> A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y ) )
179		breq2 3986	. . . . . . 7 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( y <RR x <-> y <RR <. a , 0R >. ) )
180	179	imbi1d 230	. . . . . 6 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) <-> ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) ) )
181	180	ralbidv 2466	. . . . 5 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) <-> A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) ) )
182	178, 181	anbi12d 465	. . . 4 |- ( x = <. a , 0R >. -> ( ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) <-> ( A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) ) ) )
183	182	rspcev 2830	. . 3 |- ( ( <. a , 0R >. e. RR /\ ( A. y e. A -. <. a , 0R >. <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR <. a , 0R >. -> E. z e. A y <RR z ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
184	106, 129, 176, 183	syl12anc 1226	. 2 |- ( ( ph /\ ( a e. R. /\ ( A. b e. B -. a <R b /\ A. b e. R. ( b <R a -> E. c e. B b <R c ) ) ) ) -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )
185	104, 184	rexlimddv 2588	1 |- ( ph -> E. x e. RR ( A. y e. A -. x <RR y /\ A. y e. RR ( y <RR x -> E. z e. A y <RR z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 103   \/ wo 698   = wceq 1343   E.wex 1480   e. wcel 2136   A.wral 2444   E.wrex 2445   {crab 2448   C_ wss 3116   <.cop 3579   class class class wbr 3982   ` cfv 5188   1stc1st 6106   R.cnr 7238   0Rc0r 7239   <R cltr 7244   RRcr 7752   <RR cltrr 7757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-eprel 4267  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-1o 6384  df-2o 6385  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-pli 7246  df-mi 7247  df-lti 7248  df-plpq 7285  df-mpq 7286  df-enq 7288  df-nqqs 7289  df-plqqs 7290  df-mqqs 7291  df-1nqqs 7292  df-rq 7293  df-ltnqqs 7294  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-0nq0 7367  df-plq0 7368  df-mq0 7369  df-inp 7407  df-i1p 7408  df-iplp 7409  df-imp 7410  df-iltp 7411  df-enr 7667  df-nr 7668  df-plr 7669  df-mr 7670  df-ltr 7671  df-0r 7672  df-1r 7673  df-m1r 7674  df-r 7763  df-lt 7766

This theorem is referenced by:  axpre-suploc  7843