Theorem uchoice 6330

Description: Principle of unique choice. This is also called non-choice. The name choice results in its similarity to something like acfun 7513 (with the key difference being the change of E. to E!) but unique choice in fact follows from the axiom of collection and our other axioms. This is somewhat similar to Corollary 3.9.2 of [HoTT], p. (varies) but is better described by the paragraph at the end of Section 3.9 which starts "A similar issue arises in set-theoretic mathematics". (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
uchoice	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )

Distinct variable groups:   A, f, x, y   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   V( x, y, f)

Proof of Theorem uchoice

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . . . . . . 9 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
2	1	fnopabg 5481	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A E! y ph <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
3	2	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y ph -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
5		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> A e. V )
6		fnex 5905	. . . . . 6 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A e. V ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
8		fnopfvb 5715	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ u e. A ) -> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> <. u , v >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ) )
9		nfv 1577	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x u e. A
10		nfsbc1v 3060	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x [. u / x ]. ph
11	9, 10	nfan 1614	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( u e. A /\ [. u / x ]. ph )
12		nfv 1577	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y u e. A
13		nfsbc1v 3060	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y [. v / y ]. [. u / x ]. ph
14	12, 13	nfan 1614	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph )
15		vex 2815	. . . . . . . . . . 11 |- u e. _V
16		vex 2815	. . . . . . . . . . 11 |- v e. _V
17		eleq1w 2293	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
18		sbceq1a 3051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ph <-> [. u / x ]. ph ) )
19	17, 18	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( u e. A /\ [. u / x ]. ph ) ) )
20		sbceq1a 3051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( [. u / x ]. ph <-> [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( ( u e. A /\ [. u / x ]. ph ) <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
22	11, 14, 15, 16, 19, 21	opelopabf 4392	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , v >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
23	8, 22	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ u e. A ) -> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
24	23	ralrimiva 2615	. . . . . . . 8 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
25	24	alrimiv 1923	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
26	25	ancli 323	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
27	4, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
28		fneq1 5443	. . . . . 6 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( f Fn A <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A ) )
29		fveq1 5668	. . . . . . . . . 10 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( f ` u ) = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) )
30	29	eqeq1d 2241	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( f ` u ) = v <-> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v ) )
31	30	bibi1d 233	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
32	31	ralbidv 2542	. . . . . . 7 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
33	32	albidv 1873	. . . . . 6 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
34	28, 33	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) ) )
35	7, 27, 34	elabd 2961	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
36		ralcom4 2835	. . . . . 6 |- ( A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
37	36	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
38	37	exbii 1654	. . . 4 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> E. f ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
39	35, 38	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
40		nfv 1577	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f ` u ) = v
41		nfcv 2384	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x v
42	41, 10	nfsbc 3062	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. v / y ]. [. u / x ]. ph
43	9, 42	nfan 1614	. . . . . . . 8 |- F/ x ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph )
44	40, 43	nfbi 1638	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
45	44	nfal 1625	. . . . . 6 |- F/ x A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
46		nfv 1577	. . . . . 6 |- F/ u A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) )
47		fveqeq2 5678	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( ( f ` u ) = v <-> ( f ` x ) = v ) )
48		eleq1w 2293	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u e. A <-> x e. A ) )
49		sbceq2a 3052	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( [. u / x ]. ph <-> ph ) )
50	49	sbcbidv 3100	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( [. v / y ]. [. u / x ]. ph <-> [. v / y ]. ph ) )
51	48, 50	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) )
52	47, 51	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
53	52	albidv 1873	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
54	45, 46, 53	cbvral 2773	. . . . 5 |- ( A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) )
55	54	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
56	55	exbii 1654	. . 3 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
57	39, 56	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
58		eqidd 2233	. . . . . . 7 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( f ` x ) = ( f ` x ) )
59		vex 2815	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
60		vex 2815	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
61	59, 60	fvex 5689	. . . . . . . 8 |- ( f ` x ) e. _V
62		eqeq2 2242	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( f ` x ) = v <-> ( f ` x ) = ( f ` x ) ) )
63		dfsbcq 3043	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( f ` x ) -> ( [. v / y ]. ph <-> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
64	63	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) )
65	62, 64	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) <-> ( ( f ` x ) = ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) ) )
66	61, 65	spcv 2910	. . . . . . 7 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( ( f ` x ) = ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) )
67	58, 66	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
68	67	simprd 114	. . . . 5 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> [. ( f ` x ) / y ]. ph )
69	68	ralimi 2605	. . . 4 |- ( A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph )
70	69	anim2i 342	. . 3 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
71	70	eximi 1649	. 2 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
72	57, 71	syl 14	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1396   = wceq 1398   E.wex 1541   E!weu 2080   e. wcel 2203   A.wral 2520   _Vcvv 2812   [.wsbc 3041   <.cop 3691   {copab 4169   Fn wfn 5346   ` cfv 5351

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359

This theorem is referenced by: (None)