Theorem uchoice 6300

Description: Principle of unique choice. This is also called non-choice. The name choice results in its similarity to something like acfun 7422 (with the key difference being the change of E. to E!) but unique choice in fact follows from the axiom of collection and our other axioms. This is somewhat similar to Corollary 3.9.2 of [HoTT], p. (varies) but is better described by the paragraph at the end of Section 3.9 which starts "A similar issue arises in set-theoretic mathematics". (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
uchoice	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )

Distinct variable groups:   A, f, x, y   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   V( x, y, f)

Proof of Theorem uchoice

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2231	. . . . . . . . 9 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
2	1	fnopabg 5456	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A E! y ph <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
3	2	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y ph -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
5		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> A e. V )
6		fnex 5876	. . . . . 6 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A e. V ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
8		fnopfvb 5685	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ u e. A ) -> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> <. u , v >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ) )
9		nfv 1576	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x u e. A
10		nfsbc1v 3050	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x [. u / x ]. ph
11	9, 10	nfan 1613	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( u e. A /\ [. u / x ]. ph )
12		nfv 1576	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y u e. A
13		nfsbc1v 3050	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y [. v / y ]. [. u / x ]. ph
14	12, 13	nfan 1613	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph )
15		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- u e. _V
16		vex 2805	. . . . . . . . . . 11 |- v e. _V
17		eleq1w 2292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
18		sbceq1a 3041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ph <-> [. u / x ]. ph ) )
19	17, 18	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( u e. A /\ [. u / x ]. ph ) ) )
20		sbceq1a 3041	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( [. u / x ]. ph <-> [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( ( u e. A /\ [. u / x ]. ph ) <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
22	11, 14, 15, 16, 19, 21	opelopabf 4369	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , v >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
23	8, 22	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ u e. A ) -> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
24	23	ralrimiva 2605	. . . . . . . 8 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
25	24	alrimiv 1922	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
26	25	ancli 323	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
27	4, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
28		fneq1 5418	. . . . . 6 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( f Fn A <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A ) )
29		fveq1 5638	. . . . . . . . . 10 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( f ` u ) = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) )
30	29	eqeq1d 2240	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( f ` u ) = v <-> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v ) )
31	30	bibi1d 233	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
32	31	ralbidv 2532	. . . . . . 7 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
33	32	albidv 1872	. . . . . 6 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
34	28, 33	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) ) )
35	7, 27, 34	elabd 2951	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
36		ralcom4 2825	. . . . . 6 |- ( A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
37	36	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
38	37	exbii 1653	. . . 4 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> E. f ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
39	35, 38	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
40		nfv 1576	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f ` u ) = v
41		nfcv 2374	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x v
42	41, 10	nfsbc 3052	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. v / y ]. [. u / x ]. ph
43	9, 42	nfan 1613	. . . . . . . 8 |- F/ x ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph )
44	40, 43	nfbi 1637	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
45	44	nfal 1624	. . . . . 6 |- F/ x A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
46		nfv 1576	. . . . . 6 |- F/ u A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) )
47		fveqeq2 5648	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( ( f ` u ) = v <-> ( f ` x ) = v ) )
48		eleq1w 2292	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u e. A <-> x e. A ) )
49		sbceq2a 3042	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( [. u / x ]. ph <-> ph ) )
50	49	sbcbidv 3090	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( [. v / y ]. [. u / x ]. ph <-> [. v / y ]. ph ) )
51	48, 50	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) )
52	47, 51	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
53	52	albidv 1872	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
54	45, 46, 53	cbvral 2763	. . . . 5 |- ( A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) )
55	54	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
56	55	exbii 1653	. . 3 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
57	39, 56	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
58		eqidd 2232	. . . . . . 7 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( f ` x ) = ( f ` x ) )
59		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
60		vex 2805	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
61	59, 60	fvex 5659	. . . . . . . 8 |- ( f ` x ) e. _V
62		eqeq2 2241	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( f ` x ) = v <-> ( f ` x ) = ( f ` x ) ) )
63		dfsbcq 3033	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( f ` x ) -> ( [. v / y ]. ph <-> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
64	63	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) )
65	62, 64	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) <-> ( ( f ` x ) = ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) ) )
66	61, 65	spcv 2900	. . . . . . 7 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( ( f ` x ) = ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) )
67	58, 66	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
68	67	simprd 114	. . . . 5 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> [. ( f ` x ) / y ]. ph )
69	68	ralimi 2595	. . . 4 |- ( A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph )
70	69	anim2i 342	. . 3 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
71	70	eximi 1648	. 2 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
72	57, 71	syl 14	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   E!weu 2079   e. wcel 2202   A.wral 2510   _Vcvv 2802   [.wsbc 3031   <.cop 3672   {copab 4149   Fn wfn 5321   ` cfv 5326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334

This theorem is referenced by: (None)