Theorem uchoice 6289

Description: Principle of unique choice. This is also called non-choice. The name choice results in its similarity to something like acfun 7397 (with the key difference being the change of E. to E!) but unique choice in fact follows from the axiom of collection and our other axioms. This is somewhat similar to Corollary 3.9.2 of [HoTT], p. (varies) but is better described by the paragraph at the end of Section 3.9 which starts "A similar issue arises in set-theoretic mathematics". (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
uchoice	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )

Distinct variable groups:   A, f, x, y   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   V( x, y, f)

Proof of Theorem uchoice

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2229	. . . . . . . . 9 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
2	1	fnopabg 5447	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A E! y ph <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
3	2	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y ph -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
5		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> A e. V )
6		fnex 5865	. . . . . 6 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A e. V ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
8		fnopfvb 5675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ u e. A ) -> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> <. u , v >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ) )
9		nfv 1574	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x u e. A
10		nfsbc1v 3047	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x [. u / x ]. ph
11	9, 10	nfan 1611	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( u e. A /\ [. u / x ]. ph )
12		nfv 1574	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y u e. A
13		nfsbc1v 3047	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y [. v / y ]. [. u / x ]. ph
14	12, 13	nfan 1611	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph )
15		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 |- u e. _V
16		vex 2802	. . . . . . . . . . 11 |- v e. _V
17		eleq1w 2290	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
18		sbceq1a 3038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ph <-> [. u / x ]. ph ) )
19	17, 18	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( u e. A /\ [. u / x ]. ph ) ) )
20		sbceq1a 3038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( [. u / x ]. ph <-> [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( ( u e. A /\ [. u / x ]. ph ) <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
22	11, 14, 15, 16, 19, 21	opelopabf 4363	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , v >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
23	8, 22	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ u e. A ) -> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
24	23	ralrimiva 2603	. . . . . . . 8 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
25	24	alrimiv 1920	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
26	25	ancli 323	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
27	4, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
28		fneq1 5409	. . . . . 6 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( f Fn A <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A ) )
29		fveq1 5628	. . . . . . . . . 10 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( f ` u ) = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) )
30	29	eqeq1d 2238	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( f ` u ) = v <-> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v ) )
31	30	bibi1d 233	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
32	31	ralbidv 2530	. . . . . . 7 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
33	32	albidv 1870	. . . . . 6 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
34	28, 33	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) ) )
35	7, 27, 34	elabd 2948	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
36		ralcom4 2822	. . . . . 6 |- ( A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
37	36	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
38	37	exbii 1651	. . . 4 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> E. f ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
39	35, 38	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
40		nfv 1574	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f ` u ) = v
41		nfcv 2372	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x v
42	41, 10	nfsbc 3049	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. v / y ]. [. u / x ]. ph
43	9, 42	nfan 1611	. . . . . . . 8 |- F/ x ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph )
44	40, 43	nfbi 1635	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
45	44	nfal 1622	. . . . . 6 |- F/ x A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
46		nfv 1574	. . . . . 6 |- F/ u A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) )
47		fveqeq2 5638	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( ( f ` u ) = v <-> ( f ` x ) = v ) )
48		eleq1w 2290	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u e. A <-> x e. A ) )
49		sbceq2a 3039	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( [. u / x ]. ph <-> ph ) )
50	49	sbcbidv 3087	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( [. v / y ]. [. u / x ]. ph <-> [. v / y ]. ph ) )
51	48, 50	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) )
52	47, 51	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
53	52	albidv 1870	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
54	45, 46, 53	cbvral 2761	. . . . 5 |- ( A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) )
55	54	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
56	55	exbii 1651	. . 3 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
57	39, 56	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
58		eqidd 2230	. . . . . . 7 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( f ` x ) = ( f ` x ) )
59		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
60		vex 2802	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
61	59, 60	fvex 5649	. . . . . . . 8 |- ( f ` x ) e. _V
62		eqeq2 2239	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( f ` x ) = v <-> ( f ` x ) = ( f ` x ) ) )
63		dfsbcq 3030	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( f ` x ) -> ( [. v / y ]. ph <-> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
64	63	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) )
65	62, 64	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) <-> ( ( f ` x ) = ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) ) )
66	61, 65	spcv 2897	. . . . . . 7 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( ( f ` x ) = ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) )
67	58, 66	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
68	67	simprd 114	. . . . 5 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> [. ( f ` x ) / y ]. ph )
69	68	ralimi 2593	. . . 4 |- ( A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph )
70	69	anim2i 342	. . 3 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
71	70	eximi 1646	. 2 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
72	57, 71	syl 14	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1393   = wceq 1395   E.wex 1538   E!weu 2077   e. wcel 2200   A.wral 2508   _Vcvv 2799   [.wsbc 3028   <.cop 3669   {copab 4144   Fn wfn 5313   ` cfv 5318

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326

This theorem is referenced by: (None)