Theorem uchoice 6305

Description: Principle of unique choice. This is also called non-choice. The name choice results in its similarity to something like acfun 7427 (with the key difference being the change of E. to E!) but unique choice in fact follows from the axiom of collection and our other axioms. This is somewhat similar to Corollary 3.9.2 of [HoTT], p. (varies) but is better described by the paragraph at the end of Section 3.9 which starts "A similar issue arises in set-theoretic mathematics". (Contributed by Jim Kingdon, 13-Sep-2025.)

Assertion

Ref	Expression
uchoice	|- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )

Distinct variable groups:   A, f, x, y   ph, f

Allowed substitution hints:   ph( x, y)   V( x, y, f)

Proof of Theorem uchoice

Dummy variables u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2230	. . . . . . . . 9 |- { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) }
2	1	fnopabg 5458	. . . . . . . 8 |- ( A. x e. A E! y ph <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
3	2	biimpi 120	. . . . . . 7 |- ( A. x e. A E! y ph -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
4	3	adantl 277	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A )
5		simpl 109	. . . . . 6 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> A e. V )
6		fnex 5879	. . . . . 6 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A e. V ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
7	4, 5, 6	syl2anc 411	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } e. _V )
8		fnopfvb 5688	. . . . . . . . . 10 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ u e. A ) -> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> <. u , v >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ) )
9		nfv 1576	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x u e. A
10		nfsbc1v 3049	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ x [. u / x ]. ph
11	9, 10	nfan 1613	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x ( u e. A /\ [. u / x ]. ph )
12		nfv 1576	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y u e. A
13		nfsbc1v 3049	. . . . . . . . . . . 12 |- F/ y [. v / y ]. [. u / x ]. ph
14	12, 13	nfan 1613	. . . . . . . . . . 11 |- F/ y ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph )
15		vex 2804	. . . . . . . . . . 11 |- u e. _V
16		vex 2804	. . . . . . . . . . 11 |- v e. _V
17		eleq1w 2291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( x e. A <-> u e. A ) )
18		sbceq1a 3040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = u -> ( ph <-> [. u / x ]. ph ) )
19	17, 18	anbi12d 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = u -> ( ( x e. A /\ ph ) <-> ( u e. A /\ [. u / x ]. ph ) ) )
20		sbceq1a 3040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = v -> ( [. u / x ]. ph <-> [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
21	20	anbi2d 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = v -> ( ( u e. A /\ [. u / x ]. ph ) <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
22	11, 14, 15, 16, 19, 21	opelopabf 4371	. . . . . . . . . 10 |- ( <. u , v >. e. { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
23	8, 22	bitrdi 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ u e. A ) -> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
24	23	ralrimiva 2604	. . . . . . . 8 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
25	24	alrimiv 1921	. . . . . . 7 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
26	25	ancli 323	. . . . . 6 |- ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
27	4, 26	syl 14	. . . . 5 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
28		fneq1 5420	. . . . . 6 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( f Fn A <-> { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A ) )
29		fveq1 5641	. . . . . . . . . 10 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( f ` u ) = ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) )
30	29	eqeq1d 2239	. . . . . . . . 9 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( f ` u ) = v <-> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v ) )
31	30	bibi1d 233	. . . . . . . 8 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
32	31	ralbidv 2531	. . . . . . 7 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
33	32	albidv 1871	. . . . . 6 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
34	28, 33	anbi12d 473	. . . . 5 |- ( f = { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } -> ( ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( { <. x , y >. | ( x e. A /\ ph ) } ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) ) )
35	7, 27, 34	elabd 2950	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
36		ralcom4 2824	. . . . . 6 |- ( A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) )
37	36	anbi2i 457	. . . . 5 |- ( ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
38	37	exbii 1653	. . . 4 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> E. f ( f Fn A /\ A. v A. u e. A ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
39	35, 38	sylibr 134	. . 3 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) )
40		nfv 1576	. . . . . . . 8 |- F/ x ( f ` u ) = v
41		nfcv 2373	. . . . . . . . . 10 |- F/_ x v
42	41, 10	nfsbc 3051	. . . . . . . . 9 |- F/ x [. v / y ]. [. u / x ]. ph
43	9, 42	nfan 1613	. . . . . . . 8 |- F/ x ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph )
44	40, 43	nfbi 1637	. . . . . . 7 |- F/ x ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
45	44	nfal 1624	. . . . . 6 |- F/ x A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) )
46		nfv 1576	. . . . . 6 |- F/ u A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) )
47		fveqeq2 5651	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( ( f ` u ) = v <-> ( f ` x ) = v ) )
48		eleq1w 2291	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( u e. A <-> x e. A ) )
49		sbceq2a 3041	. . . . . . . . . 10 |- ( u = x -> ( [. u / x ]. ph <-> ph ) )
50	49	sbcbidv 3089	. . . . . . . . 9 |- ( u = x -> ( [. v / y ]. [. u / x ]. ph <-> [. v / y ]. ph ) )
51	48, 50	anbi12d 473	. . . . . . . 8 |- ( u = x -> ( ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) )
52	47, 51	bibi12d 235	. . . . . . 7 |- ( u = x -> ( ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
53	52	albidv 1871	. . . . . 6 |- ( u = x -> ( A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
54	45, 46, 53	cbvral 2762	. . . . 5 |- ( A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) <-> A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) )
55	54	anbi2i 457	. . . 4 |- ( ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
56	55	exbii 1653	. . 3 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. u e. A A. v ( ( f ` u ) = v <-> ( u e. A /\ [. v / y ]. [. u / x ]. ph ) ) ) <-> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
57	39, 56	sylib 122	. 2 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) )
58		eqidd 2231	. . . . . . 7 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( f ` x ) = ( f ` x ) )
59		vex 2804	. . . . . . . . 9 |- f e. _V
60		vex 2804	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
61	59, 60	fvex 5662	. . . . . . . 8 |- ( f ` x ) e. _V
62		eqeq2 2240	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( f ` x ) = v <-> ( f ` x ) = ( f ` x ) ) )
63		dfsbcq 3032	. . . . . . . . . 10 |- ( v = ( f ` x ) -> ( [. v / y ]. ph <-> [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
64	63	anbi2d 464	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) )
65	62, 64	bibi12d 235	. . . . . . . 8 |- ( v = ( f ` x ) -> ( ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) <-> ( ( f ` x ) = ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) ) )
66	61, 65	spcv 2899	. . . . . . 7 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( ( f ` x ) = ( f ` x ) <-> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) ) )
67	58, 66	mpbid 147	. . . . . 6 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> ( x e. A /\ [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
68	67	simprd 114	. . . . 5 |- ( A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> [. ( f ` x ) / y ]. ph )
69	68	ralimi 2594	. . . 4 |- ( A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) -> A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph )
70	69	anim2i 342	. . 3 |- ( ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) -> ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
71	70	eximi 1648	. 2 |- ( E. f ( f Fn A /\ A. x e. A A. v ( ( f ` x ) = v <-> ( x e. A /\ [. v / y ]. ph ) ) ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )
72	57, 71	syl 14	1 |- ( ( A e. V /\ A. x e. A E! y ph ) -> E. f ( f Fn A /\ A. x e. A [. ( f ` x ) / y ]. ph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   A.wal 1395   = wceq 1397   E.wex 1540   E!weu 2078   e. wcel 2201   A.wral 2509   _Vcvv 2801   [.wsbc 3030   <.cop 3673   {copab 4150   Fn wfn 5323   ` cfv 5328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336

This theorem is referenced by: (None)