Theorem umgr2edgneu 16031

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 16029. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgr2edgneu	|- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. E N e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, E   x, G   x, N

Proof of Theorem umgr2edgneu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrvad2edg.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
2	1	umgrvad2edg 16030	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. E E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) )
3		3simpc 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> ( N e. x /\ N e. y ) )
4		neneq 2422	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> -. x = y )
5	4	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> -. x = y )
6	3, 5	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
7	6	reximi 2627	. . . . . 6 |- ( E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
8	7	reximi 2627	. . . . 5 |- ( E. x e. E E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
9	2, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
10		rexanaliim 2636	. . . . . 6 |- ( E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
11	10	reximi 2627	. . . . 5 |- ( E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> E. x e. E -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
12		rexnalim 2519	. . . . 5 |- ( E. x e. E -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
14	9, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
15	14	intnand 936	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. ( E. x e. E N e. x /\ A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) ) )
16		eleq2w 2291	. . 3 |- ( x = y -> ( N e. x <-> N e. y ) )
17	16	reu4 2997	. 2 |- ( E! x e. E N e. x <-> ( E. x e. E N e. x /\ A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) ) )
18	15, 17	sylnibr 681	1 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. E N e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510   {cpr 3667   ` cfv 5321  Edgcedg 15879  UMGraphcumgr 15913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-mulcom 8116  ax-addass 8117  ax-mulass 8118  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-1rid 8122  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-1o 6573  df-2o 6574  df-er 6693  df-en 6901  df-sub 8335  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-9 9192  df-n0 9386  df-dec 9595  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-edgf 15827  df-vtx 15836  df-iedg 15837  df-edg 15880  df-umgren 15915

This theorem is referenced by: (None)