Theorem umgr2edgneu 16194

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 16192. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgr2edgneu	|- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. E N e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, E   x, G   x, N

Proof of Theorem umgr2edgneu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrvad2edg.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
2	1	umgrvad2edg 16193	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. E E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) )
3		3simpc 1023	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> ( N e. x /\ N e. y ) )
4		neneq 2434	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> -. x = y )
5	4	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> -. x = y )
6	3, 5	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
7	6	reximi 2639	. . . . . 6 |- ( E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
8	7	reximi 2639	. . . . 5 |- ( E. x e. E E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
9	2, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
10		rexanaliim 2648	. . . . . 6 |- ( E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
11	10	reximi 2639	. . . . 5 |- ( E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> E. x e. E -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
12		rexnalim 2531	. . . . 5 |- ( E. x e. E -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
14	9, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
15	14	intnand 939	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. ( E. x e. E N e. x /\ A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) ) )
16		eleq2w 2294	. . 3 |- ( x = y -> ( N e. x <-> N e. y ) )
17	16	reu4 3010	. 2 |- ( E! x e. E N e. x <-> ( E. x e. E N e. x /\ A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) ) )
18	15, 17	sylnibr 684	1 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. E N e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1005   = wceq 1398   e. wcel 2203   =/= wne 2412   A.wral 2520   E.wrex 2521   E!wreu 2522   {cpr 3689   ` cfv 5351  Edgcedg 16039  UMGraphcumgr 16074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-cnre 8234

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-1o 6646  df-2o 6647  df-er 6766  df-en 6975  df-sub 8442  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-dec 9706  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-edgf 15987  df-vtx 15996  df-iedg 15997  df-edg 16040  df-umgren 16076

This theorem is referenced by: (None)