Theorem umgr2edgneu 16465

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 16463. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgr2edgneu	|- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. E N e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, E   x, G   x, N

Proof of Theorem umgr2edgneu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrvad2edg.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
2	1	umgrvad2edg 16464	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. E E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) )
3		3simpc 1027	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> ( N e. x /\ N e. y ) )
4		neneq 2442	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> -. x = y )
5	4	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> -. x = y )
6	3, 5	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
7	6	reximi 2647	. . . . . 6 |- ( E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
8	7	reximi 2647	. . . . 5 |- ( E. x e. E E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
9	2, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
10		rexanaliim 2656	. . . . . 6 |- ( E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
11	10	reximi 2647	. . . . 5 |- ( E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> E. x e. E -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
12		rexnalim 2539	. . . . 5 |- ( E. x e. E -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
14	9, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
15	14	intnand 943	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. ( E. x e. E N e. x /\ A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) ) )
16		eleq2w 2300	. . 3 |- ( x = y -> ( N e. x <-> N e. y ) )
17	16	reu4 3020	. 2 |- ( E! x e. E N e. x <-> ( E. x e. E N e. x /\ A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) ) )
18	15, 17	sylnibr 688	1 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. E N e. x )

This proof depends on syntax axioms:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1009   = wceq 1402   e. wcel 2209   =/= wne 2420   A.wral 2528   E.wrex 2529   E!wreu 2530   {cpr 3710   ` cfv 5377  Edgcedg 16310  UMGraphcumgr 16345

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-1o 6687  df-2o 6688  df-er 6807  df-en 7023  df-sub 8499  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-dec 9780  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-edg 16311  df-umgren 16347

This theorem is used by: (None)