Theorem umgr2edgneu 16018

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 16016. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	|- E = (Edg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgr2edgneu	|- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. E N e. x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, E   x, G   x, N

Proof of Theorem umgr2edgneu

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrvad2edg.e	. . . . . 6 |- E = (Edg ` G )
2	1	umgrvad2edg 16017	. . . . 5 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. E E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) )
3		3simpc 1020	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> ( N e. x /\ N e. y ) )
4		neneq 2422	. . . . . . . . 9 |- ( x =/= y -> -. x = y )
5	4	3ad2ant1 1042	. . . . . . . 8 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> -. x = y )
6	3, 5	jca 306	. . . . . . 7 |- ( ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
7	6	reximi 2627	. . . . . 6 |- ( E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
8	7	reximi 2627	. . . . 5 |- ( E. x e. E E. y e. E ( x =/= y /\ N e. x /\ N e. y ) -> E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
9	2, 8	syl 14	. . . 4 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) )
10		rexanaliim 2636	. . . . . 6 |- ( E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
11	10	reximi 2627	. . . . 5 |- ( E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> E. x e. E -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
12		rexnalim 2519	. . . . 5 |- ( E. x e. E -. A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
13	11, 12	syl 14	. . . 4 |- ( E. x e. E E. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) /\ -. x = y ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
14	9, 13	syl 14	. . 3 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) )
15	14	intnand 936	. 2 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. ( E. x e. E N e. x /\ A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) ) )
16		eleq2w 2291	. . 3 |- ( x = y -> ( N e. x <-> N e. y ) )
17	16	reu4 2997	. 2 |- ( E! x e. E N e. x <-> ( E. x e. E N e. x /\ A. x e. E A. y e. E ( ( N e. x /\ N e. y ) -> x = y ) ) )
18	15, 17	sylnibr 681	1 |- ( ( ( G e. UMGraph /\ A =/= B ) /\ ( { N , A } e. E /\ { B , N } e. E ) ) -> -. E! x e. E N e. x )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   =/= wne 2400   A.wral 2508   E.wrex 2509   E!wreu 2510   {cpr 3667   ` cfv 5318  Edgcedg 15866  UMGraphcumgr 15900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-mulcom 8108  ax-addass 8109  ax-mulass 8110  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-1rid 8114  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-1o 6568  df-2o 6569  df-er 6688  df-en 6896  df-sub 8327  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-9 9184  df-n0 9378  df-dec 9587  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-edgf 15814  df-vtx 15823  df-iedg 15824  df-edg 15867  df-umgren 15902

This theorem is referenced by: (None)