Theorem umgr2edgneu 16670

Description: If a vertex is adjacent to two different vertices in a multigraph, there is not only one edge starting at this vertex, analogous to usgr2edg1 16668. Lemma for theorems about friendship graphs. (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Dec-2017.) (Revised by AV, 9-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrvad2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgr2edgneu	⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐸   𝑥,𝐺   𝑥,𝑁

Proof of Theorem umgr2edgneu

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrvad2edg.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
2	1	umgrvad2edg 16669	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
3		3simpc 1027	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → (𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦))
4		neneq 2442	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ 𝑦 → ¬ 𝑥 = 𝑦)
5	4	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ¬ 𝑥 = 𝑦)
6	3, 5	jca 306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
7	6	reximi 2647	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
8	7	reximi 2647	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 (𝑥 ≠ 𝑦 ∧ 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
9	2, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦))
10		rexanaliim 2656	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
11	10	reximi 2647	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
12		rexnalim 2539	. . . . 5 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ¬ ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
13	11, 12	syl 14	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) ∧ ¬ 𝑥 = 𝑦) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
14	9, 13	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
15	14	intnand 943	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
16		eleq2w 2300	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑁 ∈ 𝑥 ↔ 𝑁 ∈ 𝑦))
17	16	reu4 3020	. 2 ⊢ (∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐸 ∀𝑦 ∈ 𝐸 ((𝑁 ∈ 𝑥 ∧ 𝑁 ∈ 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
18	15, 17	sylnibr 688	1 ⊢ (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) ∧ ({𝑁, 𝐴} ∈ 𝐸 ∧ {𝐵, 𝑁} ∈ 𝐸)) → ¬ ∃!𝑥 ∈ 𝐸 𝑁 ∈ 𝑥)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ∃!wreu 2530  {cpr 3710  ‘cfv 5380  Edgcedg 16515  UMGraphcumgr 16550

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7028  df-sub 8507  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-dec 9790  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-edg 16516  df-umgren 16552

This theorem is used by: (None)