Theorem vtxduspgrfvedgfi 16747

Description: The value of the vertex degree function for a simple pseudograph. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdushgrfvedg.e	|- E = (Edg ` G )
vtxduspgrfvedgfi.fi	|- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
vtxduspgrfvedgfi.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxduspgrfvedgfi.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxduspgrfvedgfi.g	|- ( ph -> G e. USPGraph )
vtxdushgrfvedg.d	|- D = (VtxDeg ` G )

Assertion

Ref	Expression
vtxduspgrfvedgfi	|- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { e e. E | U e. e } ) + (♯ ` { e e. E | e = { U } } ) ) )

Distinct variable groups:   e, E   e, G   U, e   e, V

Allowed substitution hints:   ph( e)   D( e)

Proof of Theorem vtxduspgrfvedgfi

Dummy variables c i x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.d	. . . 4 |- D = (VtxDeg ` G )
2	1	fveq1i 5699	. . 3 |- ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (VtxDeg ` G ) ` U ) )
4		vtxdushgrfvedg.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
5		eqid 2238	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
6		eqid 2238	. . 3 |- dom (iEdg ` G ) = dom (iEdg ` G )
7		vtxduspgrfvedgfi.fi	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
8		vtxduspgrfvedgfi.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Fin )
9		vtxduspgrfvedgfi.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
10		vtxduspgrfvedgfi.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. USPGraph )
11		uspgrupgr 16627	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph )
12	10, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 12	vtxdgfifival 16737	. 2 |- ( ph -> ( (VtxDeg ` G ) ` U ) = ( (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } ) ) )
14		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
15	4, 14, 7, 8, 9, 10	vtxduspgrfvedgfilem 16746	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } ) = (♯ ` { e e. E | U e. e } ) )
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 12	vtxlpfi 16736	. . . 4 |- ( ph -> { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } e. Fin )
17		uspgrushgr 16626	. . . . . 6 |- ( G e. USPGraph -> G e. USHGraph )
18	10, 17	syl 14	. . . . 5 |- ( ph -> G e. USHGraph )
19		eqid 2238	. . . . . 6 |- { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } = { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } }
20		eqeq1 2245	. . . . . . 7 |- ( e = c -> ( e = { U } <-> c = { U } ) )
21	20	cbvrabv 2820	. . . . . 6 |- { e e. E | e = { U } } = { c e. E | c = { U } }
22		eqid 2238	. . . . . 6 |- ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) ) = ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) )
23	14, 5, 19, 21, 22	ushgredgedgloop 16674	. . . . 5 |- ( ( G e. USHGraph /\ U e. V ) -> ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) ) : { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } -1-1-onto-> { e e. E | e = { U } } )
24	18, 9, 23	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) ) : { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } -1-1-onto-> { e e. E | e = { U } } )
25	16, 24	fihasheqf1od 11250	. . 3 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } ) = (♯ ` { e e. E | e = { U } } ) )
26	15, 25	oveq12d 6106	. 2 |- ( ph -> ( (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } ) + (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | ( (iEdg ` G ) ` i ) = { U } } ) ) = ( (♯ ` { e e. E | U e. e } ) + (♯ ` { e e. E | e = { U } } ) ) )
27	3, 13, 26	3eqtrd 2275	1 |- ( ph -> ( D ` U ) = ( (♯ ` { e e. E | U e. e } ) + (♯ ` { e e. E | e = { U } } ) ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   {csn 3709   |-> cmpt 4193   dom cdm 4776   -1-1-onto->wf1o 5379   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Fincfn 7026   + caddc 8188  ♯chash 11236  Vtxcvtx 16458  iEdgciedg 16459  Edgcedg 16503  USHGraphcushgr 16514  UPGraphcupgr 16537  USPGraphcuspgr 16599  VtxDegcvtxdg 16732

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-2o 6692  df-er 6811  df-en 7027  df-dom 7028  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9656  df-dec 9789  df-uz 9938  df-xadd 10192  df-ihash 11237  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-edgf 16451  df-vtx 16460  df-iedg 16461  df-edg 16504  df-uhgrm 16515  df-ushgrm 16516  df-upgren 16539  df-uspgren 16601  df-vtxdg 16733

This theorem is used by:  1loopgrvd2fi  16751