Theorem vtxduspgrfvedgfilem 16150

Description: Lemma for vtxduspgrfvedgfi 16151 and vtxdusgrfvedgfi 16152. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdushgrfvedg.e	|- E = (Edg ` G )
vtxduspgrfvedgfi.fi	|- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
vtxduspgrfvedgfi.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxduspgrfvedgfi.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxduspgrfvedgfi.g	|- ( ph -> G e. USPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxduspgrfvedgfilem	|- ( ph -> (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } ) = (♯ ` { e e. E | U e. e } ) )

Distinct variable groups:   e, E, i   e, G, i   U, e, i   e, V, i

Allowed substitution hints:   ph( e, i)

Proof of Theorem vtxduspgrfvedgfilem

Dummy variables c x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		eqid 2231	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3		eqid 2231	. . 3 |- dom (iEdg ` G ) = dom (iEdg ` G )
4		vtxduspgrfvedgfi.fi	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
5		vtxduspgrfvedgfi.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Fin )
6		vtxduspgrfvedgfi.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
7		vtxduspgrfvedgfi.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. USPGraph )
8		uspgrupgr 16031	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	vtxedgfi 16139	. 2 |- ( ph -> { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } e. Fin )
11		uspgrushgr 16030	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. USHGraph )
12	7, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. USHGraph )
13		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
14		eqid 2231	. . . 4 |- { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } = { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) }
15		eleq2w 2293	. . . . 5 |- ( e = c -> ( U e. e <-> U e. c ) )
16	15	cbvrabv 2801	. . . 4 |- { e e. E | U e. e } = { c e. E | U e. c }
17		eqid 2231	. . . 4 |- ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) ) = ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) )
18	13, 2, 1, 14, 16, 17	ushgredgedg 16076	. . 3 |- ( ( G e. USHGraph /\ U e. V ) -> ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) ) : { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } -1-1-onto-> { e e. E | U e. e } )
19	12, 6, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) ) : { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } -1-1-onto-> { e e. E | U e. e } )
20	10, 19	fihasheqf1od 11050	1 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } ) = (♯ ` { e e. E | U e. e } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   {crab 2514   |-> cmpt 4150   dom cdm 4725   -1-1-onto->wf1o 5325   ` cfv 5326   Fincfn 6908  ♯chash 11036  Vtxcvtx 15862  iEdgciedg 15863  Edgcedg 15907  USHGraphcushgr 15918  UPGraphcupgr 15941  USPGraphcuspgr 16003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-ltadd 8147

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-recs 6470  df-frec 6556  df-1o 6581  df-2o 6582  df-er 6701  df-en 6909  df-dom 6910  df-fin 6911  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-ihash 11037  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-edgf 15855  df-vtx 15864  df-iedg 15865  df-edg 15908  df-uhgrm 15919  df-ushgrm 15920  df-upgren 15943  df-uspgren 16005

This theorem is referenced by:  vtxduspgrfvedgfi  16151  vtxdusgrfvedgfi  16152