Theorem vtxduspgrfvedgfilem 16106

Description: Lemma for vtxduspgrfvedgfi 16107 and vtxdusgrfvedgfi 16108. (Contributed by AV, 12-Dec-2020.) (Proof shortened by AV, 5-May-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtxdushgrfvedg.v	|- V = (Vtx ` G )
vtxdushgrfvedg.e	|- E = (Edg ` G )
vtxduspgrfvedgfi.fi	|- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
vtxduspgrfvedgfi.v	|- ( ph -> V e. Fin )
vtxduspgrfvedgfi.u	|- ( ph -> U e. V )
vtxduspgrfvedgfi.g	|- ( ph -> G e. USPGraph )

Assertion

Ref	Expression
vtxduspgrfvedgfilem	|- ( ph -> (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } ) = (♯ ` { e e. E | U e. e } ) )

Distinct variable groups:   e, E, i   e, G, i   U, e, i   e, V, i

Allowed substitution hints:   ph( e, i)

Proof of Theorem vtxduspgrfvedgfilem

Dummy variables c x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vtxdushgrfvedg.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		eqid 2229	. . 3 |- (iEdg ` G ) = (iEdg ` G )
3		eqid 2229	. . 3 |- dom (iEdg ` G ) = dom (iEdg ` G )
4		vtxduspgrfvedgfi.fi	. . 3 |- ( ph -> dom (iEdg ` G ) e. Fin )
5		vtxduspgrfvedgfi.v	. . 3 |- ( ph -> V e. Fin )
6		vtxduspgrfvedgfi.u	. . 3 |- ( ph -> U e. V )
7		vtxduspgrfvedgfi.g	. . . 4 |- ( ph -> G e. USPGraph )
8		uspgrupgr 16020	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. UPGraph )
9	7, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. UPGraph )
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	vtxedgfi 16095	. 2 |- ( ph -> { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } e. Fin )
11		uspgrushgr 16019	. . . 4 |- ( G e. USPGraph -> G e. USHGraph )
12	7, 11	syl 14	. . 3 |- ( ph -> G e. USHGraph )
13		vtxdushgrfvedg.e	. . . 4 |- E = (Edg ` G )
14		eqid 2229	. . . 4 |- { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } = { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) }
15		eleq2w 2291	. . . . 5 |- ( e = c -> ( U e. e <-> U e. c ) )
16	15	cbvrabv 2799	. . . 4 |- { e e. E | U e. e } = { c e. E | U e. c }
17		eqid 2229	. . . 4 |- ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) ) = ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) )
18	13, 2, 1, 14, 16, 17	ushgredgedg 16065	. . 3 |- ( ( G e. USHGraph /\ U e. V ) -> ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) ) : { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } -1-1-onto-> { e e. E | U e. e } )
19	12, 6, 18	syl2anc 411	. 2 |- ( ph -> ( x e. { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } |-> ( (iEdg ` G ) ` x ) ) : { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } -1-1-onto-> { e e. E | U e. e } )
20	10, 19	fihasheqf1od 11041	1 |- ( ph -> (♯ ` { i e. dom (iEdg ` G ) | U e. ( (iEdg ` G ) ` i ) } ) = (♯ ` { e e. E | U e. e } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {crab 2512   |-> cmpt 4148   dom cdm 4723   -1-1-onto->wf1o 5323   ` cfv 5324   Fincfn 6904  ♯chash 11027  Vtxcvtx 15853  iEdgciedg 15854  Edgcedg 15898  USHGraphcushgr 15909  UPGraphcupgr 15932  USPGraphcuspgr 15992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-nul 4213  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-iinf 4684  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-tr 4186  df-id 4388  df-iord 4461  df-on 4463  df-ilim 4464  df-suc 4466  df-iom 4687  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-recs 6466  df-frec 6552  df-1o 6577  df-2o 6578  df-er 6697  df-en 6905  df-dom 6906  df-fin 6907  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-9 9199  df-n0 9393  df-z 9470  df-dec 9602  df-uz 9746  df-ihash 11028  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-edgf 15846  df-vtx 15855  df-iedg 15856  df-edg 15899  df-uhgrm 15910  df-ushgrm 15911  df-upgren 15934  df-uspgren 15994

This theorem is referenced by:  vtxduspgrfvedgfi  16107  vtxdusgrfvedgfi  16108