Theorem vtoclga 2867

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2866	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801

This theorem is referenced by:  vtoclri  2878  ssuni  3910  ordtriexmid  4613  onsucsssucexmid  4619  tfis3  4678  fvmpt3  5715  fvmptssdm  5721  fnressn  5829  fressnfv  5830  caovord  6183  caovimo  6205  tfrlem1  6460  nnacl  6634  nnmcl  6635  nnacom  6638  nnaass  6639  nndi  6640  nnmass  6641  nnmsucr  6642  nnmcom  6643  nnsucsssuc  6646  nntri3or  6647  nnaordi  6662  nnaword  6665  nnmordi  6670  nnaordex  6682  ixpfn  6859  findcard  7058  findcard2  7059  findcard2s  7060  exmidomni  7320  indpi  7540  prarloclem3  7695  uzind4s2  9798  cnref1o  9858  frec2uzrdg  10643  expcl2lemap  10785  seq3coll  11077  climub  11871  climserle  11872  fsum3cvg  11905  summodclem2a  11908  prodfap0  12072  prodfrecap  12073  fproddccvg  12099  alginv  12585  algcvg  12586  algcvga  12589  algfx  12590  prmind2  12658  prmpwdvds  12894  lgsdir2lem4  15726