Theorem vtoclga 2883

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2386	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2882	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2216

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-v 2817

This theorem is referenced by:  vtoclri  2894  ssuni  3941  ordtriexmid  4648  onsucsssucexmid  4654  tfis3  4713  fvmpt3  5761  fvmptssdm  5767  fnressn  5875  fressnfv  5876  caovord  6234  caovimo  6256  tfrlem1  6552  nnacl  6726  nnmcl  6727  nnacom  6730  nnaass  6731  nndi  6732  nnmass  6733  nnmsucr  6734  nnmcom  6735  nnsucsssuc  6738  nntri3or  6739  nnaordi  6754  nnaword  6757  nnmordi  6762  nnaordex  6774  ixpfn  6952  findcard  7158  findcard2  7159  findcard2s  7160  exmidomni  7446  indpi  7673  prarloclem3  7828  uzind4s2  9941  cnref1o  10001  frec2uzrdg  10795  expcl2lemap  10937  seq3coll  11239  climub  12054  climserle  12055  fsum3cvg  12089  summodclem2a  12092  prodfap0  12256  prodfrecap  12257  fproddccvg  12283  alginv  12769  algcvg  12770  algcvga  12773  algfx  12774  prmind2  12842  prmpwdvds  13078  lgsdir2lem4  16030