Theorem vtoclga 2871

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2375	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2870	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805

This theorem is referenced by:  vtoclri  2882  ssuni  3920  ordtriexmid  4625  onsucsssucexmid  4631  tfis3  4690  fvmpt3  5734  fvmptssdm  5740  fnressn  5848  fressnfv  5849  caovord  6204  caovimo  6226  tfrlem1  6517  nnacl  6691  nnmcl  6692  nnacom  6695  nnaass  6696  nndi  6697  nnmass  6698  nnmsucr  6699  nnmcom  6700  nnsucsssuc  6703  nntri3or  6704  nnaordi  6719  nnaword  6722  nnmordi  6727  nnaordex  6739  ixpfn  6916  findcard  7120  findcard2  7121  findcard2s  7122  exmidomni  7401  indpi  7622  prarloclem3  7777  uzind4s2  9886  cnref1o  9946  frec2uzrdg  10734  expcl2lemap  10876  seq3coll  11169  climub  11984  climserle  11985  fsum3cvg  12019  summodclem2a  12022  prodfap0  12186  prodfrecap  12187  fproddccvg  12213  alginv  12699  algcvg  12700  algcvga  12703  algfx  12704  prmind2  12772  prmpwdvds  13008  lgsdir2lem4  15850