Theorem vtoclga 2889

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2888	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is used by:  vtoclri  2900  ssuni  3957  ordtriexmid  4668  onsucsssucexmid  4674  tfis3  4733  fvmpt3  5784  fvmptssdm  5790  fnressn  5901  fressnfv  5902  caovord  6261  caovimo  6283  tfrlem1  6579  nnacl  6753  nnmcl  6754  nnacom  6757  nnaass  6758  nndi  6759  nnmass  6760  nnmsucr  6761  nnmcom  6762  nnsucsssuc  6765  nntri3or  6766  nnaordi  6781  nnaword  6784  nnmordi  6789  nnaordex  6801  ixpfn  6986  findcard  7192  findcard2  7193  findcard2s  7194  exmidomni  7482  indpi  7709  prarloclem3  7864  uzind4s2  10000  cnref1o  10061  frec2uzrdg  10859  expcl2lemap  11001  seq3coll  11308  climub  12126  climserle  12127  fsum3cvg  12161  summodclem2a  12164  prodfap0  12328  prodfrecap  12329  fproddccvg  12355  alginv  12841  algcvg  12842  algcvga  12845  algfx  12846  prmind2  12914  prmpwdvds  13154  lgsdir2lem4  16248