Theorem vtoclga 2889

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2888	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is referenced by:  vtoclri  2900  ssuni  3952  ordtriexmid  4663  onsucsssucexmid  4669  tfis3  4728  fvmpt3  5778  fvmptssdm  5784  fnressn  5892  fressnfv  5893  caovord  6251  caovimo  6273  tfrlem1  6569  nnacl  6743  nnmcl  6744  nnacom  6747  nnaass  6748  nndi  6749  nnmass  6750  nnmsucr  6751  nnmcom  6752  nnsucsssuc  6755  nntri3or  6756  nnaordi  6771  nnaword  6774  nnmordi  6779  nnaordex  6791  ixpfn  6976  findcard  7182  findcard2  7183  findcard2s  7184  exmidomni  7472  indpi  7699  prarloclem3  7854  uzind4s2  9970  cnref1o  10030  frec2uzrdg  10824  expcl2lemap  10966  seq3coll  11272  climub  12088  climserle  12089  fsum3cvg  12123  summodclem2a  12126  prodfap0  12290  prodfrecap  12291  fproddccvg  12317  alginv  12803  algcvg  12804  algcvga  12807  algfx  12808  prmind2  12876  prmpwdvds  13112  lgsdir2lem4  16064