Theorem vtoclga 2889

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2888	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is used by:  vtoclri  2900  ssuni  3957  ordtriexmid  4670  onsucsssucexmid  4676  tfis3  4735  fvmpt3  5787  fvmptssdm  5793  fnressn  5904  fressnfv  5905  caovord  6264  caovimo  6286  tfrlem1  6584  nnacl  6758  nnmcl  6759  nnacom  6762  nnaass  6763  nndi  6764  nnmass  6765  nnmsucr  6766  nnmcom  6767  nnsucsssuc  6770  nntri3or  6771  nnaordi  6786  nnaword  6789  nnmordi  6794  nnaordex  6806  ixpfn  6992  findcard  7198  findcard2  7199  findcard2s  7200  exmidomni  7488  indpi  7715  prarloclem3  7870  uzind4s2  10006  cnref1o  10067  frec2uzrdg  10866  expcl2lemap  11008  seq3coll  11315  climub  12134  climserle  12135  fsum3cvg  12169  summodclem2a  12172  prodfap0  12336  prodfrecap  12337  fproddccvg  12363  alginv  12849  algcvg  12850  algcvga  12853  algfx  12854  prmind2  12922  prmpwdvds  13162  lgsdir2lem4  16372