Theorem vtoclga 2868

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2867	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802

This theorem is referenced by:  vtoclri  2879  ssuni  3913  ordtriexmid  4617  onsucsssucexmid  4623  tfis3  4682  fvmpt3  5721  fvmptssdm  5727  fnressn  5835  fressnfv  5836  caovord  6189  caovimo  6211  tfrlem1  6469  nnacl  6643  nnmcl  6644  nnacom  6647  nnaass  6648  nndi  6649  nnmass  6650  nnmsucr  6651  nnmcom  6652  nnsucsssuc  6655  nntri3or  6656  nnaordi  6671  nnaword  6674  nnmordi  6679  nnaordex  6691  ixpfn  6868  findcard  7070  findcard2  7071  findcard2s  7072  exmidomni  7332  indpi  7552  prarloclem3  7707  uzind4s2  9815  cnref1o  9875  frec2uzrdg  10661  expcl2lemap  10803  seq3coll  11096  climub  11895  climserle  11896  fsum3cvg  11929  summodclem2a  11932  prodfap0  12096  prodfrecap  12097  fproddccvg  12123  alginv  12609  algcvg  12610  algcvga  12613  algfx  12614  prmind2  12682  prmpwdvds  12918  lgsdir2lem4  15750