Theorem vtoclga 2826

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2336	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1539	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2825	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-v 2762

This theorem is referenced by:  vtoclri  2835  ssuni  3857  ordtriexmid  4553  onsucsssucexmid  4559  tfis3  4618  fvmpt3  5636  fvmptssdm  5642  fnressn  5744  fressnfv  5745  caovord  6090  caovimo  6112  tfrlem1  6361  nnacl  6533  nnmcl  6534  nnacom  6537  nnaass  6538  nndi  6539  nnmass  6540  nnmsucr  6541  nnmcom  6542  nnsucsssuc  6545  nntri3or  6546  nnaordi  6561  nnaword  6564  nnmordi  6569  nnaordex  6581  ixpfn  6758  findcard  6944  findcard2  6945  findcard2s  6946  exmidomni  7201  indpi  7402  prarloclem3  7557  uzind4s2  9656  cnref1o  9716  frec2uzrdg  10480  expcl2lemap  10622  seq3coll  10913  climub  11487  climserle  11488  fsum3cvg  11521  summodclem2a  11524  prodfap0  11688  prodfrecap  11689  fproddccvg  11715  alginv  12185  algcvg  12186  algcvga  12189  algfx  12190  prmind2  12258  prmpwdvds  12493  lgsdir2lem4  15147