Theorem vtoclga 2889

Description: Implicit substitution of a class for a setvar variable. (Contributed by NM, 20-Aug-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclga.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclga.2	⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)

Assertion

Ref	Expression
vtoclga	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝜓,𝑥

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem vtoclga

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclga.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclga.2	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐵 → 𝜑)
5	1, 2, 3, 4	vtoclgaf 2888	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is used by:  vtoclri  2900  ssuni  3957  ordtriexmid  4670  onsucsssucexmid  4676  tfis3  4735  fvmpt3  5787  fvmptssdm  5793  fnressn  5904  fressnfv  5905  caovord  6264  caovimo  6286  tfrlem1  6583  nnacl  6757  nnmcl  6758  nnacom  6761  nnaass  6762  nndi  6763  nnmass  6764  nnmsucr  6765  nnmcom  6766  nnsucsssuc  6769  nntri3or  6770  nnaordi  6785  nnaword  6788  nnmordi  6793  nnaordex  6805  ixpfn  6990  findcard  7196  findcard2  7197  findcard2s  7198  exmidomni  7488  indpi  7715  prarloclem3  7870  uzind4s2  10007  cnref1o  10068  frec2uzrdg  10867  expcl2lemap  11009  seq3coll  11316  climub  12135  climserle  12136  fsum3cvg  12170  summodclem2a  12173  prodfap0  12337  prodfrecap  12338  fproddccvg  12364  alginv  12850  algcvg  12851  algcvga  12854  algfx  12855  prmind2  12923  prmpwdvds  13163  lgsdir2lem4  16355