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Theorem prmpwdvds 12918

Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem prmpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6020	. . . . . 6
2	1	breq2d 4098	. . . . 5
3		oveq1 6020	. . . . . . 7
4	3	breq2d 4098	. . . . . 6
5	4	notbid 671	. . . . 5
6	2, 5	anbi12d 473	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	imbi1d 231	. . 3 $/\$ $/\$
8		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12
10	9	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11
11		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
13	12	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . 12
15	14	notbid 671	. . . . . . . . . . 11
16	10, 15	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	8	breq1d 4096	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
19	18	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20	19	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12
23	22	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11
24		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . 12
28	27	notbid 671	. . . . . . . . . . 11
29	23, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30	21	breq1d 4096	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32	31	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33	32	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . 13
35	34	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12
36	35	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11
37		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . 12
41	40	notbid 671	. . . . . . . . . . 11
42	36, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43	34	breq1d 4096	. . . . . . . . . 10
44	42, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
45	44	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	45	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		oveq2 6021	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . 12
49	48	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11
50		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . 12
54	53	notbid 671	. . . . . . . . . . 11
55	49, 54	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	47	breq1d 4096	. . . . . . . . . 10
57	55, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
58	57	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
59	58	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . 14
61		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 62	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64		breq2 4090	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66	65	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
68		prmnn 12672	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsdc 12349	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ DECID
72	69, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
73		coprm 12706	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	67, 70, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
75		zcn 9474	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
77		prmz 12673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	77	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79	78	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80	76, 79	mulcomd 8191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
81	80	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	78, 82	gcdcomd 12535	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
85	81, 84	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
87		coprmdvds 12654	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
88	82, 78, 86, 87	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
89	85, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
91	74, 90	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92		con1dc 861	. . . . . . . . . . . . . 14 DECID
93	72, 91, 92	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	expimpd 363	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	66, 95	vtoclga 2868	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
97	96	impl 380	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
98	77	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	exp1d 10920	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
102	101	breq2d 4098	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103		1m1e0 9202	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	103	oveq2i 6024	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	77	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106	105	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	106	exp0d 10919	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	104, 107	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	108	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111	110	mulridd 8186	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
112	109, 111	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
113	112	breq2d 4098	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114	113	notbid 671	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	102, 114	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	106	exp1d 10920	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117	116	breq1d 4096	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
118	97, 115, 117	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . 13
122		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	notbid 671	. . . . . . . . . . . . 13
125	121, 124	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	125	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	126	cbvralvw 2769	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
128		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
129	77	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129	zmulcld 9598	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
131		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132	131	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133		oveq1 6020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	133	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	132, 135	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
137	136	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
138	137	rspcv 2904	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
139	130, 138	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		nnnn0 9399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141	140	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
142		zexpcl 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
143	129, 141, 142	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
144		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
145		divides 12340	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
147	94	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	68	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
149	148	nncnd 9147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
150	140	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151	149, 150	expp1d 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
152	148, 150	nnexpcld 10947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	nncnd 9147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
154	153, 149	mulcomd 8191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
157	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
158	157, 149, 153	mulassd 8193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
160	159	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
161		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
162		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
163	148	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
164	162, 163	zmulcld 9598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
165	152	nnzd 9591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
166	152	nnne0d 9178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
167		dvdsmulcr 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
168	161, 164, 165, 166, 167	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
169	160, 168	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
170		dvdsmulcr 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
171	161, 162, 165, 166, 170	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
172	171	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
173	169, 172	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	155	breq1d 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
175		dvdsmulcr 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
176	163, 161, 165, 166, 175	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
177	174, 176	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
178	147, 173, 177	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	178	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
181		breq1 4089	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
182	181	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183	180, 182	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
184		breq2 4090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185	183, 184	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
186	179, 185	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	186	rexlimdva 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
188	187	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	146, 188	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	189	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	a2d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
193	129	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
194	143	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
195	192, 193, 194	mulassd 8193	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
196	193, 194	mulcomd 8191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
197	193, 141	expp1d 10926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198	196, 197	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
199	198	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
200	195, 199	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
201	200	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
202		nnm1nn0 9433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
203	202	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
204		zexpcl 10806	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
205	129, 203, 204	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	zcnd 9593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
207	192, 193, 206	mulassd 8193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
208	193, 206	mulcomd 8191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
209		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
210		expm1t 10819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
211	193, 209, 210	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
212	208, 211	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
213	212	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
214	207, 213	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
215	214	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
216	215	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
217	201, 216	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218	217	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
219		nncn 9141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
220	219	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
221		ax-1cn 8115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
222		pncan 8375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
223	220, 221, 222	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
224	223	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
225	224	oveq2d 6029	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
226	225	breq2d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
227	226	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
228	227	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	191, 218, 229	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	139, 230	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232	231	anassrs 400	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	232	ralrimdva 2610	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	127, 233	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	234	expl 378	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
236	235	a2d 26	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237	20, 33, 46, 59, 119, 236	nnind 9149	. . . . . 6 $/\$ $/\$
238	237	com12 30	. . . . 5 $/\$ $/\$
239	238	impr 379	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
240	239	adantll 476	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241		simpll 527	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
242	7, 240, 241	rspcdva 2913	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
243	242	3impia 1224	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 839 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

wral 2508

wrex 2509 class class class wbr 4086 (class class class)co 6013

cc 8020

cc0 8022

c1 8023

caddc 8025

cmul 8027

cmin 8340

cn 9133

cn0 9392

cz 9469

cexp 10790

cdvds 12338

cgcd 12514

cprime 12669

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4202 ax-sep 4205 ax-nul 4213 ax-pow 4262 ax-pr 4297 ax-un 4528 ax-setind 4633 ax-iinf 4684 ax-cnex 8113 ax-resscn 8114 ax-1cn 8115 ax-1re 8116 ax-icn 8117 ax-addcl 8118 ax-addrcl 8119 ax-mulcl 8120 ax-mulrcl 8121 ax-addcom 8122 ax-mulcom 8123 ax-addass 8124 ax-mulass 8125 ax-distr 8126 ax-i2m1 8127 ax-0lt1 8128 ax-1rid 8129 ax-0id 8130 ax-rnegex 8131 ax-precex 8132 ax-cnre 8133 ax-pre-ltirr 8134 ax-pre-ltwlin 8135 ax-pre-lttrn 8136 ax-pre-apti 8137 ax-pre-ltadd 8138 ax-pre-mulgt0 8139 ax-pre-mulext 8140 ax-arch 8141 ax-caucvg 8142

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2802 df-sbc 3030 df-csb 3126 df-dif 3200 df-un 3202 df-in 3204 df-ss 3211 df-nul 3493 df-if 3604 df-pw 3652 df-sn 3673 df-pr 3674 df-op 3676 df-uni 3892 df-int 3927 df-iun 3970 df-br 4087 df-opab 4149 df-mpt 4150 df-tr 4186 df-id 4388 df-po 4391 df-iso 4392 df-iord 4461 df-on 4463 df-ilim 4464 df-suc 4466 df-iom 4687 df-xp 4729 df-rel 4730 df-cnv 4731 df-co 4732 df-dm 4733 df-rn 4734 df-res 4735 df-ima 4736 df-iota 5284 df-fun 5326 df-fn 5327 df-f 5328 df-f1 5329 df-fo 5330 df-f1o 5331 df-fv 5332 df-riota 5966 df-ov 6016 df-oprab 6017 df-mpo 6018 df-1st 6298 df-2nd 6299 df-recs 6466 df-frec 6552 df-1o 6577 df-2o 6578 df-er 6697 df-en 6905 df-sup 7174 df-pnf 8206 df-mnf 8207 df-xr 8208 df-ltxr 8209 df-le 8210 df-sub 8342 df-neg 8343 df-reap 8745 df-ap 8752 df-div 8843 df-inn 9134 df-2 9192 df-3 9193 df-4 9194 df-n0 9393 df-z 9470 df-uz 9746 df-q 9844 df-rp 9879 df-fz 10234 df-fzo 10368 df-fl 10520 df-mod 10575 df-seqfrec 10700 df-exp 10791 df-cj 11393 df-re 11394 df-im 11395 df-rsqrt 11549 df-abs 11550 df-dvds 12339 df-gcd 12515 df-prm 12670

This theorem is referenced by: pockthlem 12919

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