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Theorem prmpwdvds 13112

Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem prmpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6082	. . . . . 6
2	1	breq2d 4137	. . . . 5
3		oveq1 6082	. . . . . . 7
4	3	breq2d 4137	. . . . . 6
5	4	notbid 677	. . . . 5
6	2, 5	anbi12d 477	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	imbi1d 231	. . 3 $/\$ $/\$
8		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12
10	9	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11
11		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14
13	12	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . 12
15	14	notbid 677	. . . . . . . . . . 11
16	10, 15	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	8	breq1d 4135	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
19	18	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20	19	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12
23	22	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11
24		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . 12
28	27	notbid 677	. . . . . . . . . . 11
29	23, 28	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30	21	breq1d 4135	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32	31	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33	32	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . 13
35	34	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12
36	35	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11
37		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . 12
41	40	notbid 677	. . . . . . . . . . 11
42	36, 41	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43	34	breq1d 4135	. . . . . . . . . 10
44	42, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
45	44	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	45	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		oveq2 6083	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . 12
49	48	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11
50		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . 12
54	53	notbid 677	. . . . . . . . . . 11
55	49, 54	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	47	breq1d 4135	. . . . . . . . . 10
57	55, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
58	57	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
59	58	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . 14
61		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 62	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66	65	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
68		prmnn 12866	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsdc 12543	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ DECID
72	69, 70, 71	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
73		coprm 12900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	67, 70, 73	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
75		zcn 9628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	75	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
77		prmz 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	77	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79	78	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80	76, 79	mulcomd 8337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
81	80	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	78, 82	gcdcomd 12729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
85	81, 84	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
87		coprmdvds 12848	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
88	82, 78, 86, 87	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
89	85, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
91	74, 90	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92		con1dc 868	. . . . . . . . . . . . . 14 DECID
93	72, 91, 92	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	expimpd 363	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	66, 95	vtoclga 2889	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
97	96	impl 380	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
98	77	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	exp1d 11084	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
102	101	breq2d 4137	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103		1m1e0 9352	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	103	oveq2i 6086	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	77	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106	105	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	106	exp0d 11083	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	104, 107	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	108	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111	110	mulridd 8333	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
112	109, 111	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
113	112	breq2d 4137	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114	113	notbid 677	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	102, 114	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	106	exp1d 11084	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117	116	breq1d 4135	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
118	97, 115, 117	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . 13
122		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	notbid 677	. . . . . . . . . . . . 13
125	121, 124	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	125	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	126	cbvralvw 2790	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
128		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
129	77	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
131		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132	131	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133		oveq1 6082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	133	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	132, 135	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
137	136	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
138	137	rspcv 2925	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
139	130, 138	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		nnnn0 9549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141	140	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
142		zexpcl 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
143	129, 141, 142	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
144		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
145		divides 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
146	143, 144, 145	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
147	94	adantll 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	68	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
149	148	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
150	140	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151	149, 150	expp1d 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
152	148, 150	nnexpcld 11111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
154	153, 149	mulcomd 8337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
157	75	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
158	157, 149, 153	mulassd 8339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
160	159	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
161		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
162		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
163	148	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
164	162, 163	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
165	152	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
166	152	nnne0d 9328	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
167		dvdsmulcr 12566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
168	161, 164, 165, 166, 167	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
169	160, 168	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
170		dvdsmulcr 12566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
171	161, 162, 165, 166, 170	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
172	171	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
173	169, 172	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	155	breq1d 4135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
175		dvdsmulcr 12566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
176	163, 161, 165, 166, 175	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
177	174, 176	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
178	147, 173, 177	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	178	an32s 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
181		breq1 4128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
182	181	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183	180, 182	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
184		breq2 4129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185	183, 184	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
186	179, 185	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	186	rexlimdva 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
188	187	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	146, 188	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	189	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	a2d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	75	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
193	129	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
194	143	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
195	192, 193, 194	mulassd 8339	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
196	193, 194	mulcomd 8337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
197	193, 141	expp1d 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198	196, 197	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
199	198	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
200	195, 199	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
201	200	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
202		nnm1nn0 9583	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
203	202	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
204		zexpcl 10969	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
205	129, 203, 204	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
207	192, 193, 206	mulassd 8339	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
208	193, 206	mulcomd 8337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
209		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
210		expm1t 10982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
211	193, 209, 210	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
212	208, 211	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
213	212	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
214	207, 213	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
215	214	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
216	215	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
217	201, 216	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218	217	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
219		nncn 9291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
220	219	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
221		ax-1cn 8262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
222		pncan 8522	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
223	220, 221, 222	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
224	223	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
225	224	oveq2d 6091	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
226	225	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
227	226	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
228	227	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	191, 218, 229	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	139, 230	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232	231	anassrs 404	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	232	ralrimdva 2630	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	127, 233	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	234	expl 378	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
236	235	a2d 26	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237	20, 33, 46, 59, 119, 236	nnind 9299	. . . . . 6 $/\$ $/\$
238	237	com12 30	. . . . 5 $/\$ $/\$
239	238	impr 379	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
240	239	adantll 480	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241		simpll 531	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
242	7, 240, 241	rspcdva 2934	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
243	242	3impia 1231	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 846 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wral 2528

wrex 2529 class class class wbr 4125 (class class class)co 6075

cc 8167

cc0 8169

c1 8170

caddc 8172

cmul 8174

cmin 8487

cn 9283

cn0 9542

cz 9623

cexp 10953

cdvds 12532

cgcd 12708

cprime 12863

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4241 ax-sep 4244 ax-nul 4254 ax-pow 4306 ax-pr 4341 ax-un 4573 ax-setind 4679 ax-iinf 4730 ax-cnex 8260 ax-resscn 8261 ax-1cn 8262 ax-1re 8263 ax-icn 8264 ax-addcl 8265 ax-addrcl 8266 ax-mulcl 8267 ax-mulrcl 8268 ax-addcom 8269 ax-mulcom 8270 ax-addass 8271 ax-mulass 8272 ax-distr 8273 ax-i2m1 8274 ax-0lt1 8275 ax-1rid 8276 ax-0id 8277 ax-rnegex 8278 ax-precex 8279 ax-cnre 8280 ax-pre-ltirr 8281 ax-pre-ltwlin 8282 ax-pre-lttrn 8283 ax-pre-apti 8284 ax-pre-ltadd 8285 ax-pre-mulgt0 8286 ax-pre-mulext 8287 ax-arch 8288 ax-caucvg 8289

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3636 df-pw 3687 df-sn 3711 df-pr 3712 df-op 3714 df-uni 3931 df-int 3966 df-iun 4009 df-br 4126 df-opab 4188 df-mpt 4189 df-tr 4225 df-id 4433 df-po 4436 df-iso 4437 df-iord 4506 df-on 4508 df-ilim 4509 df-suc 4511 df-iom 4733 df-xp 4775 df-rel 4776 df-cnv 4777 df-co 4778 df-dm 4779 df-rn 4780 df-res 4781 df-ima 4782 df-iota 5332 df-fun 5374 df-fn 5375 df-f 5376 df-f1 5377 df-fo 5378 df-f1o 5379 df-fv 5380 df-riota 6028 df-ov 6078 df-oprab 6079 df-mpo 6080 df-1st 6364 df-2nd 6365 df-recs 6566 df-frec 6652 df-1o 6677 df-2o 6678 df-er 6797 df-en 7013 df-sup 7314 df-pnf 8352 df-mnf 8353 df-xr 8354 df-ltxr 8355 df-le 8356 df-sub 8489 df-neg 8490 df-reap 8893 df-ap 8900 df-div 8993 df-inn 9284 df-2 9342 df-3 9343 df-4 9344 df-n0 9543 df-z 9624 df-uz 9901 df-q 9999 df-rp 10034 df-fz 10391 df-fzo 10528 df-fl 10683 df-mod 10738 df-seqfrec 10863 df-exp 10954 df-cj 11585 df-re 11586 df-im 11587 df-rsqrt 11742 df-abs 11743 df-dvds 12533 df-gcd 12709 df-prm 12864

This theorem is referenced by: pockthlem 13113

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