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Theorem prmpwdvds 12946

Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem prmpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6025	. . . . . 6
2	1	breq2d 4100	. . . . 5
3		oveq1 6025	. . . . . . 7
4	3	breq2d 4100	. . . . . 6
5	4	notbid 673	. . . . 5
6	2, 5	anbi12d 473	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	imbi1d 231	. . 3 $/\$ $/\$
8		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . 12
10	9	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11
11		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . 14
13	12	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . 12
15	14	notbid 673	. . . . . . . . . . 11
16	10, 15	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	8	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
19	18	ralbidv 2532	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20	19	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . 12
23	22	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11
24		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . 12
28	27	notbid 673	. . . . . . . . . . 11
29	23, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30	21	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32	31	ralbidv 2532	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33	32	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . 13
35	34	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . 12
36	35	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11
37		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . 12
41	40	notbid 673	. . . . . . . . . . 11
42	36, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43	34	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10
44	42, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
45	44	ralbidv 2532	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	45	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		oveq2 6026	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . 12
49	48	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11
50		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . 12
54	53	notbid 673	. . . . . . . . . . 11
55	49, 54	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	47	breq1d 4098	. . . . . . . . . 10
57	55, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
58	57	ralbidv 2532	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
59	58	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . 14
61		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 62	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66	65	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simplrl 537	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
68		prmnn 12700	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsdc 12377	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ DECID
72	69, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
73		coprm 12734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	67, 70, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
75		zcn 9484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
77		prmz 12701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	77	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79	78	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80	76, 79	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
81	80	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	78, 82	gcdcomd 12563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	eqeq1d 2240	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
85	81, 84	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
87		coprmdvds 12682	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
88	82, 78, 86, 87	syl3anc 1273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
89	85, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
91	74, 90	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92		con1dc 863	. . . . . . . . . . . . . 14 DECID
93	72, 91, 92	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	expimpd 363	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	66, 95	vtoclga 2870	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
97	96	impl 380	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
98	77	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	exp1d 10931	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
102	101	breq2d 4100	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103		1m1e0 9212	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	103	oveq2i 6029	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	77	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106	105	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	106	exp0d 10930	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	104, 107	eqtrid 2276	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	108	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111	110	mulridd 8196	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
112	109, 111	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
113	112	breq2d 4100	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114	113	notbid 673	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	102, 114	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	106	exp1d 10931	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117	116	breq1d 4098	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
118	97, 115, 117	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	ralrimiva 2605	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . 13
122		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	notbid 673	. . . . . . . . . . . . 13
125	121, 124	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	125	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	126	cbvralvw 2771	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
128		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
129	77	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
131		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132	131	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133		oveq1 6025	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	133	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	132, 135	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
137	136	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
138	137	rspcv 2906	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
139	130, 138	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		nnnn0 9409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141	140	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
142		zexpcl 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
143	129, 141, 142	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
144		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
145		divides 12368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
147	94	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	68	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
149	148	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
150	140	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151	149, 150	expp1d 10937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
152	148, 150	nnexpcld 10958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	nncnd 9157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
154	153, 149	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
157	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
158	157, 149, 153	mulassd 8203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
160	159	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
161		simplr 529	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
162		simprr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
163	148	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
164	162, 163	zmulcld 9608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
165	152	nnzd 9601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
166	152	nnne0d 9188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
167		dvdsmulcr 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
168	161, 164, 165, 166, 167	syl112anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
169	160, 168	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
170		dvdsmulcr 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
171	161, 162, 165, 166, 170	syl112anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
172	171	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
173	169, 172	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	155	breq1d 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
175		dvdsmulcr 12400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
176	163, 161, 165, 166, 175	syl112anc 1277	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
177	174, 176	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
178	147, 173, 177	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	178	an32s 570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
181		breq1 4091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
182	181	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183	180, 182	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
184		breq2 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185	183, 184	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
186	179, 185	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	186	rexlimdva 2650	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
188	187	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	146, 188	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	189	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	a2d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
193	129	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
194	143	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
195	192, 193, 194	mulassd 8203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
196	193, 194	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
197	193, 141	expp1d 10937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198	196, 197	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
199	198	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
200	195, 199	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
201	200	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
202		nnm1nn0 9443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
203	202	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
204		zexpcl 10817	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
205	129, 203, 204	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	zcnd 9603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
207	192, 193, 206	mulassd 8203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
208	193, 206	mulcomd 8201	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
209		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
210		expm1t 10830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
211	193, 209, 210	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
212	208, 211	eqtr4d 2267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
213	212	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
214	207, 213	eqtrd 2264	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
215	214	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
216	215	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
217	201, 216	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218	217	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
219		nncn 9151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
220	219	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
221		ax-1cn 8125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
222		pncan 8385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
223	220, 221, 222	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
224	223	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
225	224	oveq2d 6034	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
226	225	breq2d 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
227	226	notbid 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
228	227	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	191, 218, 229	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	139, 230	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232	231	anassrs 400	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	232	ralrimdva 2612	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	127, 233	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	234	expl 378	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
236	235	a2d 26	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237	20, 33, 46, 59, 119, 236	nnind 9159	. . . . . 6 $/\$ $/\$
238	237	com12 30	. . . . 5 $/\$ $/\$
239	238	impr 379	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
240	239	adantll 476	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241		simpll 527	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
242	7, 240, 241	rspcdva 2915	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
243	242	3impia 1226	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 841 $/\$ w3a 1004

wceq 1397

wcel 2202

wne 2402

wral 2510

wrex 2511 class class class wbr 4088 (class class class)co 6018

cc 8030

cc0 8032

c1 8033

caddc 8035

cmul 8037

cmin 8350

cn 9143

cn0 9402

cz 9479

cexp 10801

cdvds 12366

cgcd 12542

cprime 12697

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 619 ax-in2 620 ax-io 716 ax-5 1495 ax-7 1496 ax-gen 1497 ax-ie1 1541 ax-ie2 1542 ax-8 1552 ax-10 1553 ax-11 1554 ax-i12 1555 ax-bndl 1557 ax-4 1558 ax-17 1574 ax-i9 1578 ax-ial 1582 ax-i5r 1583 ax-13 2204 ax-14 2205 ax-ext 2213 ax-coll 4204 ax-sep 4207 ax-nul 4215 ax-pow 4264 ax-pr 4299 ax-un 4530 ax-setind 4635 ax-iinf 4686 ax-cnex 8123 ax-resscn 8124 ax-1cn 8125 ax-1re 8126 ax-icn 8127 ax-addcl 8128 ax-addrcl 8129 ax-mulcl 8130 ax-mulrcl 8131 ax-addcom 8132 ax-mulcom 8133 ax-addass 8134 ax-mulass 8135 ax-distr 8136 ax-i2m1 8137 ax-0lt1 8138 ax-1rid 8139 ax-0id 8140 ax-rnegex 8141 ax-precex 8142 ax-cnre 8143 ax-pre-ltirr 8144 ax-pre-ltwlin 8145 ax-pre-lttrn 8146 ax-pre-apti 8147 ax-pre-ltadd 8148 ax-pre-mulgt0 8149 ax-pre-mulext 8150 ax-arch 8151 ax-caucvg 8152

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 838 df-dc 842 df-3or 1005 df-3an 1006 df-tru 1400 df-fal 1403 df-nf 1509 df-sb 1811 df-eu 2082 df-mo 2083 df-clab 2218 df-cleq 2224 df-clel 2227 df-nfc 2363 df-ne 2403 df-nel 2498 df-ral 2515 df-rex 2516 df-reu 2517 df-rmo 2518 df-rab 2519 df-v 2804 df-sbc 3032 df-csb 3128 df-dif 3202 df-un 3204 df-in 3206 df-ss 3213 df-nul 3495 df-if 3606 df-pw 3654 df-sn 3675 df-pr 3676 df-op 3678 df-uni 3894 df-int 3929 df-iun 3972 df-br 4089 df-opab 4151 df-mpt 4152 df-tr 4188 df-id 4390 df-po 4393 df-iso 4394 df-iord 4463 df-on 4465 df-ilim 4466 df-suc 4468 df-iom 4689 df-xp 4731 df-rel 4732 df-cnv 4733 df-co 4734 df-dm 4735 df-rn 4736 df-res 4737 df-ima 4738 df-iota 5286 df-fun 5328 df-fn 5329 df-f 5330 df-f1 5331 df-fo 5332 df-f1o 5333 df-fv 5334 df-riota 5971 df-ov 6021 df-oprab 6022 df-mpo 6023 df-1st 6303 df-2nd 6304 df-recs 6471 df-frec 6557 df-1o 6582 df-2o 6583 df-er 6702 df-en 6910 df-sup 7183 df-pnf 8216 df-mnf 8217 df-xr 8218 df-ltxr 8219 df-le 8220 df-sub 8352 df-neg 8353 df-reap 8755 df-ap 8762 df-div 8853 df-inn 9144 df-2 9202 df-3 9203 df-4 9204 df-n0 9403 df-z 9480 df-uz 9756 df-q 9854 df-rp 9889 df-fz 10244 df-fzo 10378 df-fl 10531 df-mod 10586 df-seqfrec 10711 df-exp 10802 df-cj 11420 df-re 11421 df-im 11422 df-rsqrt 11576 df-abs 11577 df-dvds 12367 df-gcd 12543 df-prm 12698

This theorem is referenced by: pockthlem 12947

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