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Theorem prmpwdvds 12549

Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem prmpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5932	. . . . . 6
2	1	breq2d 4046	. . . . 5
3		oveq1 5932	. . . . . . 7
4	3	breq2d 4046	. . . . . 6
5	4	notbid 668	. . . . 5
6	2, 5	anbi12d 473	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	imbi1d 231	. . 3 $/\$ $/\$
8		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12
10	9	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11
11		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14
13	12	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . 12
15	14	notbid 668	. . . . . . . . . . 11
16	10, 15	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	8	breq1d 4044	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
19	18	ralbidv 2497	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20	19	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12
23	22	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11
24		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . 12
28	27	notbid 668	. . . . . . . . . . 11
29	23, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30	21	breq1d 4044	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32	31	ralbidv 2497	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33	32	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13
35	34	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12
36	35	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11
37		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . 12
41	40	notbid 668	. . . . . . . . . . 11
42	36, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43	34	breq1d 4044	. . . . . . . . . 10
44	42, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
45	44	ralbidv 2497	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	45	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		oveq2 5933	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . 12
49	48	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11
50		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . 12
54	53	notbid 668	. . . . . . . . . . 11
55	49, 54	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	47	breq1d 4044	. . . . . . . . . 10
57	55, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
58	57	ralbidv 2497	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
59	58	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . 14
61		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	notbid 668	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 62	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64		breq2 4038	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66	65	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
68		prmnn 12303	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsdc 11980	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ DECID
72	69, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
73		coprm 12337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	67, 70, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
75		zcn 9348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
77		prmz 12304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	77	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79	78	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80	76, 79	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
81	80	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	78, 82	gcdcomd 12166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	eqeq1d 2205	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
85	81, 84	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
87		coprmdvds 12285	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
88	82, 78, 86, 87	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
89	85, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
91	74, 90	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92		con1dc 857	. . . . . . . . . . . . . 14 DECID
93	72, 91, 92	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	expimpd 363	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	66, 95	vtoclga 2830	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
97	96	impl 380	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
98	77	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	exp1d 10777	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
102	101	breq2d 4046	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103		1m1e0 9076	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	103	oveq2i 5936	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	77	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106	105	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	106	exp0d 10776	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	104, 107	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	108	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111	110	mulridd 8060	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
112	109, 111	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
113	112	breq2d 4046	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114	113	notbid 668	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	102, 114	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	106	exp1d 10777	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117	116	breq1d 4044	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
118	97, 115, 117	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	ralrimiva 2570	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . 13
122		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	notbid 668	. . . . . . . . . . . . 13
125	121, 124	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	125	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	126	cbvralvw 2733	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
128		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
129	77	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
131		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132	131	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133		oveq1 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	133	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	notbid 668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	132, 135	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
137	136	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
138	137	rspcv 2864	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
139	130, 138	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		nnnn0 9273	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141	140	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
142		zexpcl 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
143	129, 141, 142	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
144		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
145		divides 11971	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
147	94	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	68	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
149	148	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
150	140	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151	149, 150	expp1d 10783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
152	148, 150	nnexpcld 10804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	nncnd 9021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
154	153, 149	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
157	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
158	157, 149, 153	mulassd 8067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
160	159	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
161		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
162		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
163	148	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
164	162, 163	zmulcld 9471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
165	152	nnzd 9464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
166	152	nnne0d 9052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
167		dvdsmulcr 12003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
168	161, 164, 165, 166, 167	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
169	160, 168	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
170		dvdsmulcr 12003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
171	161, 162, 165, 166, 170	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
172	171	notbid 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
173	169, 172	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	155	breq1d 4044	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
175		dvdsmulcr 12003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
176	163, 161, 165, 166, 175	syl112anc 1253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
177	174, 176	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
178	147, 173, 177	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	178	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
181		breq1 4037	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
182	181	notbid 668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183	180, 182	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
184		breq2 4038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185	183, 184	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
186	179, 185	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	186	rexlimdva 2614	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
188	187	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	146, 188	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	189	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	a2d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
193	129	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
194	143	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
195	192, 193, 194	mulassd 8067	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
196	193, 194	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
197	193, 141	expp1d 10783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198	196, 197	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
199	198	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
200	195, 199	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
201	200	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
202		nnm1nn0 9307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
203	202	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
204		zexpcl 10663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
205	129, 203, 204	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	zcnd 9466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
207	192, 193, 206	mulassd 8067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
208	193, 206	mulcomd 8065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
209		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
210		expm1t 10676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
211	193, 209, 210	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
212	208, 211	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
213	212	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
214	207, 213	eqtrd 2229	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
215	214	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
216	215	notbid 668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
217	201, 216	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218	217	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
219		nncn 9015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
220	219	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
221		ax-1cn 7989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
222		pncan 8249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
223	220, 221, 222	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
224	223	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
225	224	oveq2d 5941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
226	225	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
227	226	notbid 668	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
228	227	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	191, 218, 229	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	139, 230	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232	231	anassrs 400	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	232	ralrimdva 2577	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	127, 233	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	234	expl 378	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
236	235	a2d 26	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237	20, 33, 46, 59, 119, 236	nnind 9023	. . . . . 6 $/\$ $/\$
238	237	com12 30	. . . . 5 $/\$ $/\$
239	238	impr 379	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
240	239	adantll 476	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241		simpll 527	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
242	7, 240, 241	rspcdva 2873	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
243	242	3impia 1202	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 835 $/\$ w3a 980

wceq 1364

wcel 2167

wne 2367

wral 2475

wrex 2476 class class class wbr 4034 (class class class)co 5925

cc 7894

cc0 7896

c1 7897

caddc 7899

cmul 7901

cmin 8214

cn 9007

cn0 9266

cz 9343

cexp 10647

cdvds 11969

cgcd 12145

cprime 12300

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 615 ax-in2 616 ax-io 710 ax-5 1461 ax-7 1462 ax-gen 1463 ax-ie1 1507 ax-ie2 1508 ax-8 1518 ax-10 1519 ax-11 1520 ax-i12 1521 ax-bndl 1523 ax-4 1524 ax-17 1540 ax-i9 1544 ax-ial 1548 ax-i5r 1549 ax-13 2169 ax-14 2170 ax-ext 2178 ax-coll 4149 ax-sep 4152 ax-nul 4160 ax-pow 4208 ax-pr 4243 ax-un 4469 ax-setind 4574 ax-iinf 4625 ax-cnex 7987 ax-resscn 7988 ax-1cn 7989 ax-1re 7990 ax-icn 7991 ax-addcl 7992 ax-addrcl 7993 ax-mulcl 7994 ax-mulrcl 7995 ax-addcom 7996 ax-mulcom 7997 ax-addass 7998 ax-mulass 7999 ax-distr 8000 ax-i2m1 8001 ax-0lt1 8002 ax-1rid 8003 ax-0id 8004 ax-rnegex 8005 ax-precex 8006 ax-cnre 8007 ax-pre-ltirr 8008 ax-pre-ltwlin 8009 ax-pre-lttrn 8010 ax-pre-apti 8011 ax-pre-ltadd 8012 ax-pre-mulgt0 8013 ax-pre-mulext 8014 ax-arch 8015 ax-caucvg 8016

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 832 df-dc 836 df-3or 981 df-3an 982 df-tru 1367 df-fal 1370 df-nf 1475 df-sb 1777 df-eu 2048 df-mo 2049 df-clab 2183 df-cleq 2189 df-clel 2192 df-nfc 2328 df-ne 2368 df-nel 2463 df-ral 2480 df-rex 2481 df-reu 2482 df-rmo 2483 df-rab 2484 df-v 2765 df-sbc 2990 df-csb 3085 df-dif 3159 df-un 3161 df-in 3163 df-ss 3170 df-nul 3452 df-if 3563 df-pw 3608 df-sn 3629 df-pr 3630 df-op 3632 df-uni 3841 df-int 3876 df-iun 3919 df-br 4035 df-opab 4096 df-mpt 4097 df-tr 4133 df-id 4329 df-po 4332 df-iso 4333 df-iord 4402 df-on 4404 df-ilim 4405 df-suc 4407 df-iom 4628 df-xp 4670 df-rel 4671 df-cnv 4672 df-co 4673 df-dm 4674 df-rn 4675 df-res 4676 df-ima 4677 df-iota 5220 df-fun 5261 df-fn 5262 df-f 5263 df-f1 5264 df-fo 5265 df-f1o 5266 df-fv 5267 df-riota 5880 df-ov 5928 df-oprab 5929 df-mpo 5930 df-1st 6207 df-2nd 6208 df-recs 6372 df-frec 6458 df-1o 6483 df-2o 6484 df-er 6601 df-en 6809 df-sup 7059 df-pnf 8080 df-mnf 8081 df-xr 8082 df-ltxr 8083 df-le 8084 df-sub 8216 df-neg 8217 df-reap 8619 df-ap 8626 df-div 8717 df-inn 9008 df-2 9066 df-3 9067 df-4 9068 df-n0 9267 df-z 9344 df-uz 9619 df-q 9711 df-rp 9746 df-fz 10101 df-fzo 10235 df-fl 10377 df-mod 10432 df-seqfrec 10557 df-exp 10648 df-cj 11024 df-re 11025 df-im 11026 df-rsqrt 11180 df-abs 11181 df-dvds 11970 df-gcd 12146 df-prm 12301

This theorem is referenced by: pockthlem 12550

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