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Theorem prmpwdvds 12307

Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem prmpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5860	. . . . . 6
2	1	breq2d 4001	. . . . 5
3		oveq1 5860	. . . . . . 7
4	3	breq2d 4001	. . . . . 6
5	4	notbid 662	. . . . 5
6	2, 5	anbi12d 470	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	imbi1d 230	. . 3 $/\$ $/\$
8		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12
10	9	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11
11		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14
13	12	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . 12
15	14	notbid 662	. . . . . . . . . . 11
16	10, 15	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	8	breq1d 3999	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
19	18	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20	19	imbi2d 229	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12
23	22	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11
24		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . 12
28	27	notbid 662	. . . . . . . . . . 11
29	23, 28	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30	21	breq1d 3999	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32	31	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33	32	imbi2d 229	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . 13
35	34	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12
36	35	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11
37		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . 12
41	40	notbid 662	. . . . . . . . . . 11
42	36, 41	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43	34	breq1d 3999	. . . . . . . . . 10
44	42, 43	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
45	44	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	45	imbi2d 229	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		oveq2 5861	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12
49	48	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11
50		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . 12
54	53	notbid 662	. . . . . . . . . . 11
55	49, 54	anbi12d 470	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	47	breq1d 3999	. . . . . . . . . 10
57	55, 56	imbi12d 233	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
58	57	ralbidv 2470	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
59	58	imbi2d 229	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . 14
61		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	notbid 662	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 62	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66	65	imbi2d 229	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simplrl 530	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
68		prmnn 12064	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsdc 11760	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ DECID
72	69, 70, 71	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
73		coprm 12098	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	67, 70, 73	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
75		zcn 9217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	75	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
77		prmz 12065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	77	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79	78	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80	76, 79	mulcomd 7941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
81	80	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82		simpl 108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	78, 82	gcdcomd 11929	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	eqeq1d 2179	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
85	81, 84	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
87		coprmdvds 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
88	82, 78, 86, 87	syl3anc 1233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
89	85, 88	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	expdimp 257	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
91	74, 90	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92		con1dc 851	. . . . . . . . . . . . . 14 DECID
93	72, 91, 92	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	expimpd 361	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	ex 114	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	66, 95	vtoclga 2796	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
97	96	impl 378	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
98	77	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	exp1d 10604	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
102	101	breq2d 4001	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103		1m1e0 8947	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	103	oveq2i 5864	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	77	ad2antlr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106	105	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	106	exp0d 10603	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	104, 107	eqtrid 2215	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	108	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	75	adantl 275	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111	110	mulid1d 7937	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
112	109, 111	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
113	112	breq2d 4001	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114	113	notbid 662	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	102, 114	anbi12d 470	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	106	exp1d 10604	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117	116	breq1d 3999	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
118	97, 115, 117	3imtr4d 202	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	ralrimiva 2543	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . 13
122		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	notbid 662	. . . . . . . . . . . . 13
125	121, 124	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	125	imbi1d 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	126	cbvralvw 2700	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
128		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
129	77	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129	zmulcld 9340	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
131		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132	131	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133		oveq1 5860	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	133	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	notbid 662	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	132, 135	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
137	136	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
138	137	rspcv 2830	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
139	130, 138	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		nnnn0 9142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141	140	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
142		zexpcl 10491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
143	129, 141, 142	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
144		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
145		divides 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
146	143, 144, 145	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
147	94	adantll 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	68	ad2antrl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
149	148	nncnd 8892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
150	140	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151	149, 150	expp1d 10610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
152	148, 150	nnexpcld 10631	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	nncnd 8892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
154	153, 149	mulcomd 7941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
157	75	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
158	157, 149, 153	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
160	159	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
161		simplr 525	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
162		simprr 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
163	148	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
164	162, 163	zmulcld 9340	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
165	152	nnzd 9333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
166	152	nnne0d 8923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
167		dvdsmulcr 11783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
168	161, 164, 165, 166, 167	syl112anc 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
169	160, 168	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
170		dvdsmulcr 11783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
171	161, 162, 165, 166, 170	syl112anc 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
172	171	notbid 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
173	169, 172	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	155	breq1d 3999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
175		dvdsmulcr 11783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
176	163, 161, 165, 166, 175	syl112anc 1237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
177	174, 176	bitrd 187	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
178	147, 173, 177	3imtr4d 202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	178	an32s 563	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
181		breq1 3992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
182	181	notbid 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183	180, 182	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
184		breq2 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185	183, 184	imbi12d 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
186	179, 185	syl5ibcom 154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	186	rexlimdva 2587	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
188	187	adantlr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	146, 188	sylbid 149	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	189	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	a2d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	75	ad2antll 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
193	129	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
194	143	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
195	192, 193, 194	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
196	193, 194	mulcomd 7941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
197	193, 141	expp1d 10610	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198	196, 197	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
199	198	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
200	195, 199	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
201	200	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
202		nnm1nn0 9176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
203	202	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
204		zexpcl 10491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
205	129, 203, 204	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	zcnd 9335	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
207	192, 193, 206	mulassd 7943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
208	193, 206	mulcomd 7941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
209		simpll 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
210		expm1t 10504	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
211	193, 209, 210	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
212	208, 211	eqtr4d 2206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
213	212	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
214	207, 213	eqtrd 2203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
215	214	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
216	215	notbid 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
217	201, 216	anbi12d 470	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218	217	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
219		nncn 8886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
220	219	ad2antrr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
221		ax-1cn 7867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
222		pncan 8125	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
223	220, 221, 222	sylancl 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
224	223	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
225	224	oveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
226	225	breq2d 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
227	226	notbid 662	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
228	227	anbi2d 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	imbi1d 230	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	191, 218, 229	3imtr4d 202	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	139, 230	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232	231	anassrs 398	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	232	ralrimdva 2550	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	127, 233	syl5bi 151	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	234	expl 376	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
236	235	a2d 26	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237	20, 33, 46, 59, 119, 236	nnind 8894	. . . . . 6 $/\$ $/\$
238	237	com12 30	. . . . 5 $/\$ $/\$
239	238	impr 377	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
240	239	adantll 473	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241		simpll 524	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
242	7, 240, 241	rspcdva 2839	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
243	242	3impia 1195	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 103

wb 104 DECID wdc 829 $/\$ w3a 973

wceq 1348

wcel 2141

wne 2340

wral 2448

wrex 2449 class class class wbr 3989 (class class class)co 5853

cc 7772

cc0 7774

c1 7775

caddc 7777

cmul 7779

cmin 8090

cn 8878

cn0 9135

cz 9212

cexp 10475

cdvds 11749

cgcd 11897

cprime 12061

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-in1 609 ax-in2 610 ax-io 704 ax-5 1440 ax-7 1441 ax-gen 1442 ax-ie1 1486 ax-ie2 1487 ax-8 1497 ax-10 1498 ax-11 1499 ax-i12 1500 ax-bndl 1502 ax-4 1503 ax-17 1519 ax-i9 1523 ax-ial 1527 ax-i5r 1528 ax-13 2143 ax-14 2144 ax-ext 2152 ax-coll 4104 ax-sep 4107 ax-nul 4115 ax-pow 4160 ax-pr 4194 ax-un 4418 ax-setind 4521 ax-iinf 4572 ax-cnex 7865 ax-resscn 7866 ax-1cn 7867 ax-1re 7868 ax-icn 7869 ax-addcl 7870 ax-addrcl 7871 ax-mulcl 7872 ax-mulrcl 7873 ax-addcom 7874 ax-mulcom 7875 ax-addass 7876 ax-mulass 7877 ax-distr 7878 ax-i2m1 7879 ax-0lt1 7880 ax-1rid 7881 ax-0id 7882 ax-rnegex 7883 ax-precex 7884 ax-cnre 7885 ax-pre-ltirr 7886 ax-pre-ltwlin 7887 ax-pre-lttrn 7888 ax-pre-apti 7889 ax-pre-ltadd 7890 ax-pre-mulgt0 7891 ax-pre-mulext 7892 ax-arch 7893 ax-caucvg 7894

This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-stab 826 df-dc 830 df-3or 974 df-3an 975 df-tru 1351 df-fal 1354 df-nf 1454 df-sb 1756 df-eu 2022 df-mo 2023 df-clab 2157 df-cleq 2163 df-clel 2166 df-nfc 2301 df-ne 2341 df-nel 2436 df-ral 2453 df-rex 2454 df-reu 2455 df-rmo 2456 df-rab 2457 df-v 2732 df-sbc 2956 df-csb 3050 df-dif 3123 df-un 3125 df-in 3127 df-ss 3134 df-nul 3415 df-if 3527 df-pw 3568 df-sn 3589 df-pr 3590 df-op 3592 df-uni 3797 df-int 3832 df-iun 3875 df-br 3990 df-opab 4051 df-mpt 4052 df-tr 4088 df-id 4278 df-po 4281 df-iso 4282 df-iord 4351 df-on 4353 df-ilim 4354 df-suc 4356 df-iom 4575 df-xp 4617 df-rel 4618 df-cnv 4619 df-co 4620 df-dm 4621 df-rn 4622 df-res 4623 df-ima 4624 df-iota 5160 df-fun 5200 df-fn 5201 df-f 5202 df-f1 5203 df-fo 5204 df-f1o 5205 df-fv 5206 df-riota 5809 df-ov 5856 df-oprab 5857 df-mpo 5858 df-1st 6119 df-2nd 6120 df-recs 6284 df-frec 6370 df-1o 6395 df-2o 6396 df-er 6513 df-en 6719 df-sup 6961 df-pnf 7956 df-mnf 7957 df-xr 7958 df-ltxr 7959 df-le 7960 df-sub 8092 df-neg 8093 df-reap 8494 df-ap 8501 df-div 8590 df-inn 8879 df-2 8937 df-3 8938 df-4 8939 df-n0 9136 df-z 9213 df-uz 9488 df-q 9579 df-rp 9611 df-fz 9966 df-fzo 10099 df-fl 10226 df-mod 10279 df-seqfrec 10402 df-exp 10476 df-cj 10806 df-re 10807 df-im 10808 df-rsqrt 10962 df-abs 10963 df-dvds 11750 df-gcd 11898 df-prm 12062

This theorem is referenced by: pockthlem 12308

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