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Theorem prmpwdvds 12873

Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem prmpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6007	. . . . . 6
2	1	breq2d 4094	. . . . 5
3		oveq1 6007	. . . . . . 7
4	3	breq2d 4094	. . . . . 6
5	4	notbid 671	. . . . 5
6	2, 5	anbi12d 473	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	imbi1d 231	. . 3 $/\$ $/\$
8		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . 12
10	9	breq2d 4094	. . . . . . . . . . 11
11		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14
13	12	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . 12
15	14	notbid 671	. . . . . . . . . . 11
16	10, 15	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	8	breq1d 4092	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
19	18	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20	19	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . 12
23	22	breq2d 4094	. . . . . . . . . . 11
24		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . 12
28	27	notbid 671	. . . . . . . . . . 11
29	23, 28	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30	21	breq1d 4092	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32	31	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33	32	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . 13
35	34	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . 12
36	35	breq2d 4094	. . . . . . . . . . 11
37		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . 12
41	40	notbid 671	. . . . . . . . . . 11
42	36, 41	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43	34	breq1d 4092	. . . . . . . . . 10
44	42, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
45	44	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	45	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		oveq2 6008	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . 12
49	48	breq2d 4094	. . . . . . . . . . 11
50		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . 12
54	53	notbid 671	. . . . . . . . . . 11
55	49, 54	anbi12d 473	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	47	breq1d 4092	. . . . . . . . . 10
57	55, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
58	57	ralbidv 2530	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
59	58	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . 14
61		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 62	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64		breq2 4086	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66	65	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simplrl 535	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
68		prmnn 12627	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsdc 12304	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ DECID
72	69, 70, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
73		coprm 12661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	67, 70, 73	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
75		zcn 9447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
77		prmz 12628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	77	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79	78	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80	76, 79	mulcomd 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
81	80	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	78, 82	gcdcomd 12490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	eqeq1d 2238	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
85	81, 84	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
87		coprmdvds 12609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
88	82, 78, 86, 87	syl3anc 1271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
89	85, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
91	74, 90	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92		con1dc 861	. . . . . . . . . . . . . 14 DECID
93	72, 91, 92	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	expimpd 363	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	66, 95	vtoclga 2867	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
97	96	impl 380	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
98	77	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	exp1d 10885	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
102	101	breq2d 4094	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103		1m1e0 9175	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	103	oveq2i 6011	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	77	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106	105	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	106	exp0d 10884	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	104, 107	eqtrid 2274	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	108	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111	110	mulridd 8159	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
112	109, 111	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
113	112	breq2d 4094	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114	113	notbid 671	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	102, 114	anbi12d 473	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	106	exp1d 10885	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117	116	breq1d 4092	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
118	97, 115, 117	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	ralrimiva 2603	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . 13
122		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	notbid 671	. . . . . . . . . . . . 13
125	121, 124	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	125	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	126	cbvralvw 2769	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
128		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
129	77	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129	zmulcld 9571	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
131		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132	131	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133		oveq1 6007	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	133	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	132, 135	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
137	136	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
138	137	rspcv 2903	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
139	130, 138	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		nnnn0 9372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141	140	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
142		zexpcl 10771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
143	129, 141, 142	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
144		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
145		divides 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
146	143, 144, 145	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
147	94	adantll 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	68	ad2antrl 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
149	148	nncnd 9120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
150	140	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151	149, 150	expp1d 10891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
152	148, 150	nnexpcld 10912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	nncnd 9120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
154	153, 149	mulcomd 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
157	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
158	157, 149, 153	mulassd 8166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
160	159	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
161		simplr 528	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
162		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
163	148	nnzd 9564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
164	162, 163	zmulcld 9571	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
165	152	nnzd 9564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
166	152	nnne0d 9151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
167		dvdsmulcr 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
168	161, 164, 165, 166, 167	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
169	160, 168	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
170		dvdsmulcr 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
171	161, 162, 165, 166, 170	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
172	171	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
173	169, 172	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	155	breq1d 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
175		dvdsmulcr 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
176	163, 161, 165, 166, 175	syl112anc 1275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
177	174, 176	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
178	147, 173, 177	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	178	an32s 568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
181		breq1 4085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
182	181	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183	180, 182	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
184		breq2 4086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185	183, 184	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
186	179, 185	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	186	rexlimdva 2648	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
188	187	adantlr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	146, 188	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	189	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	a2d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	75	ad2antll 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
193	129	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
194	143	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
195	192, 193, 194	mulassd 8166	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
196	193, 194	mulcomd 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
197	193, 141	expp1d 10891	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198	196, 197	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
199	198	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
200	195, 199	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
201	200	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
202		nnm1nn0 9406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
203	202	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
204		zexpcl 10771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
205	129, 203, 204	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	zcnd 9566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
207	192, 193, 206	mulassd 8166	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
208	193, 206	mulcomd 8164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
209		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
210		expm1t 10784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
211	193, 209, 210	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
212	208, 211	eqtr4d 2265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
213	212	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
214	207, 213	eqtrd 2262	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
215	214	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
216	215	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
217	201, 216	anbi12d 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218	217	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
219		nncn 9114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
220	219	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
221		ax-1cn 8088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
222		pncan 8348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
223	220, 221, 222	sylancl 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
224	223	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
225	224	oveq2d 6016	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
226	225	breq2d 4094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
227	226	notbid 671	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
228	227	anbi2d 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	191, 218, 229	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	139, 230	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232	231	anassrs 400	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	232	ralrimdva 2610	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	127, 233	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	234	expl 378	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
236	235	a2d 26	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237	20, 33, 46, 59, 119, 236	nnind 9122	. . . . . 6 $/\$ $/\$
238	237	com12 30	. . . . 5 $/\$ $/\$
239	238	impr 379	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
240	239	adantll 476	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241		simpll 527	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
242	7, 240, 241	rspcdva 2912	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
243	242	3impia 1224	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

Syntax hints:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 839 $/\$ w3a 1002

wceq 1395

wcel 2200

wne 2400

wral 2508

wrex 2509 class class class wbr 4082 (class class class)co 6000

cc 7993

cc0 7995

c1 7996

caddc 7998

cmul 8000

cmin 8313

cn 9106

cn0 9365

cz 9442

cexp 10755

cdvds 12293

cgcd 12469

cprime 12624

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 617 ax-in2 618 ax-io 714 ax-5 1493 ax-7 1494 ax-gen 1495 ax-ie1 1539 ax-ie2 1540 ax-8 1550 ax-10 1551 ax-11 1552 ax-i12 1553 ax-bndl 1555 ax-4 1556 ax-17 1572 ax-i9 1576 ax-ial 1580 ax-i5r 1581 ax-13 2202 ax-14 2203 ax-ext 2211 ax-coll 4198 ax-sep 4201 ax-nul 4209 ax-pow 4257 ax-pr 4292 ax-un 4523 ax-setind 4628 ax-iinf 4679 ax-cnex 8086 ax-resscn 8087 ax-1cn 8088 ax-1re 8089 ax-icn 8090 ax-addcl 8091 ax-addrcl 8092 ax-mulcl 8093 ax-mulrcl 8094 ax-addcom 8095 ax-mulcom 8096 ax-addass 8097 ax-mulass 8098 ax-distr 8099 ax-i2m1 8100 ax-0lt1 8101 ax-1rid 8102 ax-0id 8103 ax-rnegex 8104 ax-precex 8105 ax-cnre 8106 ax-pre-ltirr 8107 ax-pre-ltwlin 8108 ax-pre-lttrn 8109 ax-pre-apti 8110 ax-pre-ltadd 8111 ax-pre-mulgt0 8112 ax-pre-mulext 8113 ax-arch 8114 ax-caucvg 8115

This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-stab 836 df-dc 840 df-3or 1003 df-3an 1004 df-tru 1398 df-fal 1401 df-nf 1507 df-sb 1809 df-eu 2080 df-mo 2081 df-clab 2216 df-cleq 2222 df-clel 2225 df-nfc 2361 df-ne 2401 df-nel 2496 df-ral 2513 df-rex 2514 df-reu 2515 df-rmo 2516 df-rab 2517 df-v 2801 df-sbc 3029 df-csb 3125 df-dif 3199 df-un 3201 df-in 3203 df-ss 3210 df-nul 3492 df-if 3603 df-pw 3651 df-sn 3672 df-pr 3673 df-op 3675 df-uni 3888 df-int 3923 df-iun 3966 df-br 4083 df-opab 4145 df-mpt 4146 df-tr 4182 df-id 4383 df-po 4386 df-iso 4387 df-iord 4456 df-on 4458 df-ilim 4459 df-suc 4461 df-iom 4682 df-xp 4724 df-rel 4725 df-cnv 4726 df-co 4727 df-dm 4728 df-rn 4729 df-res 4730 df-ima 4731 df-iota 5277 df-fun 5319 df-fn 5320 df-f 5321 df-f1 5322 df-fo 5323 df-f1o 5324 df-fv 5325 df-riota 5953 df-ov 6003 df-oprab 6004 df-mpo 6005 df-1st 6284 df-2nd 6285 df-recs 6449 df-frec 6535 df-1o 6560 df-2o 6561 df-er 6678 df-en 6886 df-sup 7147 df-pnf 8179 df-mnf 8180 df-xr 8181 df-ltxr 8182 df-le 8183 df-sub 8315 df-neg 8316 df-reap 8718 df-ap 8725 df-div 8816 df-inn 9107 df-2 9165 df-3 9166 df-4 9167 df-n0 9366 df-z 9443 df-uz 9719 df-q 9811 df-rp 9846 df-fz 10201 df-fzo 10335 df-fl 10485 df-mod 10540 df-seqfrec 10665 df-exp 10756 df-cj 11348 df-re 11349 df-im 11350 df-rsqrt 11504 df-abs 11505 df-dvds 12294 df-gcd 12470 df-prm 12625

This theorem is referenced by: pockthlem 12874

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