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Theorem prmpwdvds 13134

Description: A relation involving divisibility by a prime power. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Assertion**
Ref	Expression
prmpwdvds	$/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Proof of Theorem prmpwdvds Dummy variables

are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6092	. . . . . 6
2	1	breq2d 4142	. . . . 5
3		oveq1 6092	. . . . . . 7
4	3	breq2d 4142	. . . . . 6
5	4	notbid 677	. . . . 5
6	2, 5	anbi12d 477	. . . 4 $/\$ $/\$
7	6	imbi1d 231	. . 3 $/\$ $/\$
8		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . 13
9	8	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12
10	9	breq2d 4142	. . . . . . . . . . 11
11		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . 15
12	11	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . 14
13	12	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13
14	13	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . 12
15	14	notbid 677	. . . . . . . . . . 11
16	10, 15	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
17	8	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10
18	16, 17	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
19	18	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
20	19	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
21		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . 13
22	21	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12
23	22	breq2d 4142	. . . . . . . . . . 11
24		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . 15
25	24	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . 14
26	25	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13
27	26	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . 12
28	27	notbid 677	. . . . . . . . . . 11
29	23, 28	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
30	21	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10
31	29, 30	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
32	31	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
33	32	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
34		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . 13
35	34	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12
36	35	breq2d 4142	. . . . . . . . . . 11
37		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . 15
38	37	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . 14
39	38	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13
40	39	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . 12
41	40	notbid 677	. . . . . . . . . . 11
42	36, 41	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
43	34	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10
44	42, 43	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
45	44	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
46	45	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
47		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . 13
48	47	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . 12
49	48	breq2d 4142	. . . . . . . . . . 11
50		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . 15
51	50	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . 14
52	51	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13
53	52	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . 12
54	53	notbid 677	. . . . . . . . . . 11
55	49, 54	anbi12d 477	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
56	47	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10
57	55, 56	imbi12d 234	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
58	57	ralbidv 2550	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$
59	58	imbi2d 230	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
60		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . 14
61		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . . 15
62	61	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . 14
63	60, 62	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
64		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . 13
65	63, 64	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
66	65	imbi2d 230	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
67		simplrl 541	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
68		prmnn 12888	. . . . . . . . . . . . . . . 16
69	67, 68	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
70		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
71		dvdsdc 12565	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ DECID
72	69, 70, 71	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ DECID
73		coprm 12922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$
74	67, 70, 73	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
75		zcn 9649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76	75	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
77		prmz 12889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
78	77	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
79	78	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
80	76, 79	mulcomd 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
81	80	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
82		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
83	78, 82	gcdcomd 12751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$
84	83	eqeq1d 2247	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
85	81, 84	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
86		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$
87		coprmdvds 12870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
88	82, 78, 86, 87	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
89	85, 88	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
90	89	expdimp 259	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
91	74, 90	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
92		con1dc 868	. . . . . . . . . . . . . 14 DECID
93	72, 91, 92	sylc 62	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$
94	93	expimpd 363	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$
95	94	ex 115	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
96	66, 95	vtoclga 2889	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
97	96	impl 380	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$
98	77	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . 14
99	98	exp1d 11106	. . . . . . . . . . . . 13
100	99	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
101	100	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
102	101	breq2d 4142	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
103		1m1e0 9373	. . . . . . . . . . . . . . . 16
104	103	oveq2i 6096	. . . . . . . . . . . . . . 15
105	77	ad2antlr 493	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$
106	105	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
107	106	exp0d 11105	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
108	104, 107	eqtrid 2283	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
109	108	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
110	75	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
111	110	mulridd 8343	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$
112	109, 111	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
113	112	breq2d 4142	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
114	113	notbid 677	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
115	102, 114	anbi12d 477	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
116	106	exp1d 11106	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
117	116	breq1d 4140	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$
118	97, 115, 117	3imtr4d 203	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
119	118	ralrimiva 2623	. . . . . . 7 $/\$ $/\$
120		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . 14
121	120	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . 13
122		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . 15
123	122	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . 14
124	123	notbid 677	. . . . . . . . . . . . 13
125	121, 124	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$
126	125	imbi1d 231	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$
127	126	cbvralvw 2790	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$
128		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
129	77	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$
130	128, 129	zmulcld 9774	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$
131		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
132	131	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
133		oveq1 6092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
134	133	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
135	134	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . . 17
136	132, 135	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$
137	136	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$
138	137	rspcv 2925	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$
139	130, 138	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
140		nnnn0 9570	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
141	140	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
142		zexpcl 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$
143	129, 141, 142	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
144		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
145		divides 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$
146	143, 144, 145	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
147	94	adantll 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
148	68	ad2antrl 494	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
149	148	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
150	140	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
151	149, 150	expp1d 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
152	148, 150	nnexpcld 11133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 $/\$ $/\$ $/\$
153	152	nncnd 9318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 $/\$ $/\$ $/\$
154	153, 149	mulcomd 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 $/\$ $/\$ $/\$
155	151, 154	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
156	155	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
157	75	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 $/\$ $/\$ $/\$
158	157, 149, 153	mulassd 8349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
159	156, 158	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
160	159	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
161		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
162		simprr 537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
163	148	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 $/\$ $/\$ $/\$
164	162, 163	zmulcld 9774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
165	152	nnzd 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
166	152	nnne0d 9349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
167		dvdsmulcr 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
168	161, 164, 165, 166, 167	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
169	160, 168	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
170		dvdsmulcr 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 $/\$ $/\$ $/\$
171	161, 162, 165, 166, 170	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
172	171	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
173	169, 172	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
174	155	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
175		dvdsmulcr 12588	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 $/\$ $/\$ $/\$
176	163, 161, 165, 166, 175	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 $/\$ $/\$ $/\$
177	174, 176	bitrd 188	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
178	147, 173, 177	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
179	178	an32s 574	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
180		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
181		breq1 4133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
182	181	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
183	180, 182	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$
184		breq2 4134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
185	183, 184	imbi12d 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$
186	179, 185	syl5ibcom 155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
187	186	rexlimdva 2668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
188	187	adantlr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
189	146, 188	sylbid 150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
190	189	com23 78	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
191	190	a2d 26	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
192	75	ad2antll 495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
193	129	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
194	143	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
195	192, 193, 194	mulassd 8349	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
196	193, 194	mulcomd 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
197	193, 141	expp1d 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
198	196, 197	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
199	198	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
200	195, 199	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
201	200	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
202		nnm1nn0 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
203	202	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
204		zexpcl 10991	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
205	129, 203, 204	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
206	205	zcnd 9769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
207	192, 193, 206	mulassd 8349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
208	193, 206	mulcomd 8347	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
209		simpll 531	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$ $/\$ $/\$
210		expm1t 11004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 $/\$
211	193, 209, 210	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
212	208, 211	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
213	212	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
214	207, 213	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
215	214	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
216	215	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
217	201, 216	anbi12d 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
218	217	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
219		nncn 9312	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
220	219	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$ $/\$ $/\$
221		ax-1cn 8272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
222		pncan 8532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 $/\$
223	220, 221, 222	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 $/\$ $/\$ $/\$
224	223	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 $/\$ $/\$ $/\$
225	224	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 $/\$ $/\$ $/\$
226	225	breq2d 4142	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 $/\$ $/\$ $/\$
227	226	notbid 677	. . . . . . . . . . . . . . . 16 $/\$ $/\$ $/\$
228	227	anbi2d 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
229	228	imbi1d 231	. . . . . . . . . . . . . 14 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
230	191, 218, 229	3imtr4d 203	. . . . . . . . . . . . 13 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
231	139, 230	syld 45	. . . . . . . . . . . 12 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
232	231	anassrs 404	. . . . . . . . . . 11 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
233	232	ralrimdva 2630	. . . . . . . . . 10 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
234	127, 233	biimtrid 152	. . . . . . . . 9 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
235	234	expl 378	. . . . . . . 8 $/\$ $/\$ $/\$
236	235	a2d 26	. . . . . . 7 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
237	20, 33, 46, 59, 119, 236	nnind 9320	. . . . . 6 $/\$ $/\$
238	237	com12 30	. . . . 5 $/\$ $/\$
239	238	impr 379	. . . 4 $/\$ $/\$ $/\$
240	239	adantll 480	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
241		simpll 531	. . 3 $/\$ $/\$ $/\$
242	7, 240, 241	rspcdva 2934	. 2 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$
243	242	3impia 1231	1 $/\$ $/\$ $/\$ $/\$ $/\$

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms:

wn 3

wi 4 $/\$ wa 104

wb 105 DECID wdc 846 $/\$ w3a 1009

wceq 1402

wcel 2209

wne 2420

wral 2528

wrex 2529 class class class wbr 4130 (class class class)co 6085

cc 8177

cc0 8179

c1 8180

caddc 8182

cmul 8184

cmin 8497

cn 9304

cn0 9563

cz 9644

cexp 10975

cdvds 12554

cgcd 12730

cprime 12885

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8270 ax-resscn 8271 ax-1cn 8272 ax-1re 8273 ax-icn 8274 ax-addcl 8275 ax-addrcl 8276 ax-mulcl 8277 ax-mulrcl 8278 ax-addcom 8279 ax-mulcom 8280 ax-addass 8281 ax-mulass 8282 ax-distr 8283 ax-i2m1 8284 ax-0lt1 8285 ax-1rid 8286 ax-0id 8287 ax-rnegex 8288 ax-precex 8289 ax-cnre 8290 ax-pre-ltirr 8291 ax-pre-ltwlin 8292 ax-pre-lttrn 8293 ax-pre-apti 8294 ax-pre-ltadd 8295 ax-pre-mulgt0 8296 ax-pre-mulext 8297 ax-arch 8298 ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-frec 6662 df-1o 6687 df-2o 6688 df-er 6807 df-en 7023 df-sup 7324 df-pnf 8362 df-mnf 8363 df-xr 8364 df-ltxr 8365 df-le 8366 df-sub 8499 df-neg 8500 df-reap 8903 df-ap 8910 df-div 9003 df-inn 9305 df-2 9363 df-3 9364 df-4 9365 df-n0 9564 df-z 9645 df-uz 9922 df-q 10020 df-rp 10055 df-fz 10412 df-fzo 10550 df-fl 10705 df-mod 10760 df-seqfrec 10885 df-exp 10976 df-cj 11607 df-re 11608 df-im 11609 df-rsqrt 11764 df-abs 11765 df-dvds 12555 df-gcd 12731 df-prm 12886

This theorem is used by: pockthlem 13135

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