ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  wrdred1hash Unicode version
Theorem wrdred1hash 11161
Description: The length of a word truncated by a symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wrdred1hash |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Proof of Theorem wrdred1hash
StepHypRef Expression
1 lencl 11121 . . 3 |- ( F e. Word S -> (♯ ` F ) e. NN0 )
2 wrdf 11123 . . . 4 |- ( F e. Word S -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S )
3 ffn 5482 . . . 4 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S -> F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
4 nn0z 9499 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> (♯ ` F ) e. ZZ )
5 fzossrbm1 10410 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
64, 5syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
76ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8 fnssresb 5444 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
98adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
107, 9mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
11 0z 9490 . . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
124ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` F ) e. ZZ )
13 peano2zm 9517 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
15 fzofig 10695 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
1611, 14, 15sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
17 fihashfn 11064 . . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) /\ ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
1810, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
19 1nn0 9418 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
20 nn0sub2 9553 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN0 /\ (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
2119, 20mp3an1 1360 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
22 hashfzo0 11088 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2518, 24eqtrd 2264 . . . . 5 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2625ex 115 . . . 4 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
272, 3, 263syl 17 . . 3 |- ( F e. Word S -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
281, 27mpand 429 . 2 |- ( F e. Word S -> ( 1 <_ (♯ ` F ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
2928imp 124 1 |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   C_ wss 3200   class class class wbr 4088   |` cres 4727   Fn wfn 5321   -->wf 5322   ` cfv 5326  (class class class)co 6018   Fincfn 6909   0cc0 8032   1c1 8033   <_ cle 8215   - cmin 8350   NN0cn0 9402   ZZcz 9479  ..^cfzo 10377  ♯chash 11038  Word cword 11117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-distr 8136  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-cnre 8143  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltwlin 8145  ax-pre-lttrn 8146  ax-pre-apti 8147  ax-pre-ltadd 8148
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-ilim 4466  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-frec 6557  df-1o 6582  df-er 6702  df-en 6910  df-dom 6911  df-fin 6912  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-xr 8218  df-ltxr 8219  df-le 8220  df-sub 8352  df-neg 8353  df-inn 9144  df-n0 9403  df-z 9480  df-uz 9756  df-fz 10244  df-fzo 10378  df-ihash 11039  df-word 11118
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator