ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  wrdred1hash Unicode version
Theorem wrdred1hash 10980
Description: The length of a word truncated by a symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wrdred1hash |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Proof of Theorem wrdred1hash
StepHypRef Expression
1 lencl 10941 . . 3 |- ( F e. Word S -> (♯ ` F ) e. NN0 )
2 wrdf 10943 . . . 4 |- ( F e. Word S -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S )
3 ffn 5408 . . . 4 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S -> F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
4 nn0z 9348 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> (♯ ` F ) e. ZZ )
5 fzossrbm1 10251 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
64, 5syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
76ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8 fnssresb 5371 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
98adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
107, 9mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
11 0z 9339 . . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
124ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` F ) e. ZZ )
13 peano2zm 9366 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
15 fzofig 10526 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
1611, 14, 15sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
17 fihashfn 10894 . . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) /\ ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
1810, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
19 1nn0 9267 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
20 nn0sub2 9401 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN0 /\ (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
2119, 20mp3an1 1335 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
22 hashfzo0 10917 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2518, 24eqtrd 2229 . . . . 5 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2625ex 115 . . . 4 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
272, 3, 263syl 17 . . 3 |- ( F e. Word S -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
281, 27mpand 429 . 2 |- ( F e. Word S -> ( 1 <_ (♯ ` F ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
2928imp 124 1 |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   class class class wbr 4034   |` cres 4666   Fn wfn 5254   -->wf 5255   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   Fincfn 6800   0cc0 7881   1c1 7882   <_ cle 8064   - cmin 8199   NN0cn0 9251   ZZcz 9328  ..^cfzo 10219  ♯chash 10869  Word cword 10937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-1o 6475  df-er 6593  df-en 6801  df-dom 6802  df-fin 6803  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-inn 8993  df-n0 9252  df-z 9329  df-uz 9604  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-ihash 10870  df-word 10938
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator