ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  wrdred1hash Unicode version
Theorem wrdred1hash 11133
Description: The length of a word truncated by a symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wrdred1hash |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Proof of Theorem wrdred1hash
StepHypRef Expression
1 lencl 11093 . . 3 |- ( F e. Word S -> (♯ ` F ) e. NN0 )
2 wrdf 11095 . . . 4 |- ( F e. Word S -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S )
3 ffn 5476 . . . 4 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S -> F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
4 nn0z 9482 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> (♯ ` F ) e. ZZ )
5 fzossrbm1 10388 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
64, 5syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
76ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8 fnssresb 5438 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
98adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
107, 9mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
11 0z 9473 . . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
124ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` F ) e. ZZ )
13 peano2zm 9500 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
15 fzofig 10671 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
1611, 14, 15sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
17 fihashfn 11039 . . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) /\ ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
1810, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
19 1nn0 9401 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
20 nn0sub2 9536 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN0 /\ (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
2119, 20mp3an1 1358 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
22 hashfzo0 11063 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2518, 24eqtrd 2262 . . . . 5 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2625ex 115 . . . 4 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
272, 3, 263syl 17 . . 3 |- ( F e. Word S -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
281, 27mpand 429 . 2 |- ( F e. Word S -> ( 1 <_ (♯ ` F ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
2928imp 124 1 |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   |` cres 4722   Fn wfn 5316   -->wf 5317   ` cfv 5321  (class class class)co 6010   Fincfn 6900   0cc0 8015   1c1 8016   <_ cle 8198   - cmin 8333   NN0cn0 9385   ZZcz 9462  ..^cfzo 10355  ♯chash 11014  Word cword 11089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-iinf 4681  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-distr 8119  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-cnre 8126  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-ltwlin 8128  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-apti 8130  ax-pre-ltadd 8131
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4385  df-iord 4458  df-on 4460  df-ilim 4461  df-suc 4463  df-iom 4684  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-riota 5963  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-1st 6295  df-2nd 6296  df-recs 6462  df-frec 6548  df-1o 6573  df-er 6693  df-en 6901  df-dom 6902  df-fin 6903  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-xr 8201  df-ltxr 8202  df-le 8203  df-sub 8335  df-neg 8336  df-inn 9127  df-n0 9386  df-z 9463  df-uz 9739  df-fz 10222  df-fzo 10356  df-ihash 11015  df-word 11090
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator