ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  wrdred1hash Unicode version
Theorem wrdred1hash 11123
Description: The length of a word truncated by a symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wrdred1hash |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Proof of Theorem wrdred1hash
StepHypRef Expression
1 lencl 11083 . . 3 |- ( F e. Word S -> (♯ ` F ) e. NN0 )
2 wrdf 11085 . . . 4 |- ( F e. Word S -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S )
3 ffn 5473 . . . 4 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S -> F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
4 nn0z 9474 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> (♯ ` F ) e. ZZ )
5 fzossrbm1 10379 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
64, 5syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
76ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8 fnssresb 5435 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
98adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
107, 9mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
11 0z 9465 . . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
124ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` F ) e. ZZ )
13 peano2zm 9492 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
15 fzofig 10662 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
1611, 14, 15sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
17 fihashfn 11030 . . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) /\ ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
1810, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
19 1nn0 9393 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
20 nn0sub2 9528 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN0 /\ (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
2119, 20mp3an1 1358 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
22 hashfzo0 11053 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2518, 24eqtrd 2262 . . . . 5 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2625ex 115 . . . 4 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
272, 3, 263syl 17 . . 3 |- ( F e. Word S -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
281, 27mpand 429 . 2 |- ( F e. Word S -> ( 1 <_ (♯ ` F ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
2928imp 124 1 |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   class class class wbr 4083   |` cres 4721   Fn wfn 5313   -->wf 5314   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Fincfn 6895   0cc0 8007   1c1 8008   <_ cle 8190   - cmin 8325   NN0cn0 9377   ZZcz 9454  ..^cfzo 10346  ♯chash 11005  Word cword 11079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1cn 8100  ax-1re 8101  ax-icn 8102  ax-addcl 8103  ax-addrcl 8104  ax-mulcl 8105  ax-addcom 8107  ax-addass 8109  ax-distr 8111  ax-i2m1 8112  ax-0lt1 8113  ax-0id 8115  ax-rnegex 8116  ax-cnre 8118  ax-pre-ltirr 8119  ax-pre-ltwlin 8120  ax-pre-lttrn 8121  ax-pre-apti 8122  ax-pre-ltadd 8123
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-1o 6568  df-er 6688  df-en 6896  df-dom 6897  df-fin 6898  df-pnf 8191  df-mnf 8192  df-xr 8193  df-ltxr 8194  df-le 8195  df-sub 8327  df-neg 8328  df-inn 9119  df-n0 9378  df-z 9455  df-uz 9731  df-fz 10213  df-fzo 10347  df-ihash 11006  df-word 11080
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator