ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  wrdred1hash Unicode version
Theorem wrdred1hash 11054
Description: The length of a word truncated by a symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)
Assertion
Ref Expression
wrdred1hash |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Proof of Theorem wrdred1hash
StepHypRef Expression
1 lencl 11015 . . 3 |- ( F e. Word S -> (♯ ` F ) e. NN0 )
2 wrdf 11017 . . . 4 |- ( F e. Word S -> F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S )
3 ffn 5434 . . . 4 |- ( F : ( 0..^ (♯ ` F ) ) --> S -> F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
4 nn0z 9407 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> (♯ ` F ) e. ZZ )
5 fzossrbm1 10312 . . . . . . . . . 10 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
64, 5syl 14 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. NN0 -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
76ad2antrl 490 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) )
8 fnssresb 5396 . . . . . . . . 9 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
98adantr 276 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) <-> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) C_ ( 0..^ (♯ ` F ) ) ) )
107, 9mpbird 167 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
11 0z 9398 . . . . . . . 8 |- 0 e. ZZ
124ad2antrl 490 . . . . . . . . 9 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` F ) e. ZZ )
13 peano2zm 9425 . . . . . . . . 9 |- ( (♯ ` F ) e. ZZ -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
1412, 13syl 14 . . . . . . . 8 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ )
15 fzofig 10594 . . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( (♯ ` F ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
1611, 14, 15sylancr 414 . . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin )
17 fihashfn 10962 . . . . . . 7 |- ( ( ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) Fn ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) /\ ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) e. Fin ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
1810, 16, 17syl2anc 411 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) )
19 1nn0 9326 . . . . . . . . 9 |- 1 e. NN0
20 nn0sub2 9461 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1 e. NN0 /\ (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
2119, 20mp3an1 1337 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 )
22 hashfzo0 10985 . . . . . . . 8 |- ( ( (♯ ` F ) - 1 ) e. NN0 -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2321, 22syl 14 . . . . . . 7 |- ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2423adantl 277 . . . . . 6 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2518, 24eqtrd 2239 . . . . 5 |- ( ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) /\ ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
2625ex 115 . . . 4 |- ( F Fn ( 0..^ (♯ ` F ) ) -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
272, 3, 263syl 17 . . 3 |- ( F e. Word S -> ( ( (♯ ` F ) e. NN0 /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
281, 27mpand 429 . 2 |- ( F e. Word S -> ( 1 <_ (♯ ` F ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) ) )
2928imp 124 1 |- ( ( F e. Word S /\ 1 <_ (♯ ` F ) ) -> (♯ ` ( F |` ( 0..^ ( (♯ ` F ) - 1 ) ) ) ) = ( (♯ ` F ) - 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1373   e. wcel 2177   C_ wss 3170   class class class wbr 4050   |` cres 4684   Fn wfn 5274   -->wf 5275   ` cfv 5279  (class class class)co 5956   Fincfn 6839   0cc0 7940   1c1 7941   <_ cle 8123   - cmin 8258   NN0cn0 9310   ZZcz 9387  ..^cfzo 10279  ♯chash 10937  Word cword 11011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-nul 4177  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-iinf 4643  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1cn 8033  ax-1re 8034  ax-icn 8035  ax-addcl 8036  ax-addrcl 8037  ax-mulcl 8038  ax-addcom 8040  ax-addass 8042  ax-distr 8044  ax-i2m1 8045  ax-0lt1 8046  ax-0id 8048  ax-rnegex 8049  ax-cnre 8051  ax-pre-ltirr 8052  ax-pre-ltwlin 8053  ax-pre-lttrn 8054  ax-pre-apti 8055  ax-pre-ltadd 8056
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-tr 4150  df-id 4347  df-iord 4420  df-on 4422  df-ilim 4423  df-suc 4425  df-iom 4646  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-riota 5911  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-1st 6238  df-2nd 6239  df-recs 6403  df-frec 6489  df-1o 6514  df-er 6632  df-en 6840  df-dom 6841  df-fin 6842  df-pnf 8124  df-mnf 8125  df-xr 8126  df-ltxr 8127  df-le 8128  df-sub 8260  df-neg 8261  df-inn 9052  df-n0 9311  df-z 9388  df-uz 9664  df-fz 10146  df-fzo 10280  df-ihash 10938  df-word 11012
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator