Theorem wrdred1hash 11163

Description: The length of a word truncated by a symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Nov-2017.) (Revised by AV, 29-Jan-2021.)

Assertion

Ref	Expression
wrdred1hash	⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))

Proof of Theorem wrdred1hash

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lencl 11123	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
2		wrdf 11125	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → 𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆)
3		ffn 5481	. . . 4 ⊢ (𝐹:(0..^(♯‘𝐹))⟶𝑆 → 𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)))
4		nn0z 9501	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
5		fzossrbm1 10412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
6	4, 5	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
7	6	ad2antrl 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹)))
8		fnssresb 5443	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))))
9	8	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → ((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ↔ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐹))))
10	7, 9	mpbird 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)))
11		0z 9492	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
12	4	ad2antrl 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘𝐹) ∈ ℤ)
13		peano2zm 9519	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℤ → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
14	12, 13	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ)
15		fzofig 10697	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℤ) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin)
16	11, 14, 15	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin)
17		fihashfn 11066	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1))) Fn (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ∧ (0..^((♯‘𝐹) − 1)) ∈ Fin) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))))
18	10, 16, 17	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))))
19		1nn0 9420	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
20		nn0sub2 9555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
21	19, 20	mp3an1 1360	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → ((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0)
22		hashfzo0 11090	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐹) − 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))) = ((♯‘𝐹) − 1))
23	21, 22	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))) = ((♯‘𝐹) − 1))
24	23	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘(0..^((♯‘𝐹) − 1))) = ((♯‘𝐹) − 1))
25	18, 24	eqtrd 2263	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) ∧ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹))) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))
26	25	ex 115	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn (0..^(♯‘𝐹)) → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)))
27	2, 3, 26	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)))
28	1, 27	mpand 429	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ Word 𝑆 → (1 ≤ (♯‘𝐹) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1)))
29	28	imp 124	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word 𝑆 ∧ 1 ≤ (♯‘𝐹)) → (♯‘(𝐹 ↾ (0..^((♯‘𝐹) − 1)))) = ((♯‘𝐹) − 1))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2201   ⊆ wss 3199   class class class wbr 4087   ↾ cres 4726   Fn wfn 5320  ⟶wf 5321  ‘cfv 5325  (class class class)co 6020  Fincfn 6911  0cc0 8034  1c1 8035   ≤ cle 8217   − cmin 8352  ℕ₀cn0 9404  ℤcz 9481  ..^cfzo 10379  ♯chash 11040  Word cword 11119

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4203  ax-sep 4206  ax-nul 4214  ax-pow 4263  ax-pr 4298  ax-un 4529  ax-setind 4634  ax-iinf 4685  ax-cnex 8125  ax-resscn 8126  ax-1cn 8127  ax-1re 8128  ax-icn 8129  ax-addcl 8130  ax-addrcl 8131  ax-mulcl 8132  ax-addcom 8134  ax-addass 8136  ax-distr 8138  ax-i2m1 8139  ax-0lt1 8140  ax-0id 8142  ax-rnegex 8143  ax-cnre 8145  ax-pre-ltirr 8146  ax-pre-ltwlin 8147  ax-pre-lttrn 8148  ax-pre-apti 8149  ax-pre-ltadd 8150

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-if 3605  df-pw 3653  df-sn 3674  df-pr 3675  df-op 3677  df-uni 3893  df-int 3928  df-iun 3971  df-br 4088  df-opab 4150  df-mpt 4151  df-tr 4187  df-id 4389  df-iord 4462  df-on 4464  df-ilim 4465  df-suc 4467  df-iom 4688  df-xp 4730  df-rel 4731  df-cnv 4732  df-co 4733  df-dm 4734  df-rn 4735  df-res 4736  df-ima 4737  df-iota 5285  df-fun 5327  df-fn 5328  df-f 5329  df-f1 5330  df-fo 5331  df-f1o 5332  df-fv 5333  df-riota 5973  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpo 6025  df-1st 6305  df-2nd 6306  df-recs 6473  df-frec 6559  df-1o 6584  df-er 6704  df-en 6912  df-dom 6913  df-fin 6914  df-pnf 8218  df-mnf 8219  df-xr 8220  df-ltxr 8221  df-le 8222  df-sub 8354  df-neg 8355  df-inn 9146  df-n0 9405  df-z 9482  df-uz 9758  df-fz 10246  df-fzo 10380  df-ihash 11041  df-word 11120

This theorem is referenced by: (None)