Theorem zmodid2 10534

Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
zmodid2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem zmodid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9782	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℚ)
3		nnq 9789	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
5		nngt0 9096	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
7		modqid2 10533	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1250	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
9		nnz 9426	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
10		0z 9418	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		elfzm11 10248	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
12	10, 11	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
13		3anass 985	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
14	12, 13	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))))
15	9, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))))
16		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))))
17	16	bicomd 141	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
18	15, 17	sylan9bbr 463	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
19	8, 18	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   class class class wbr 4059  (class class class)co 5967  0cc0 7960  1c1 7961   < clt 8142   ≤ cle 8143   − cmin 8278  ℕcn 9071  ℤcz 9407  ℚcq 9775  ...cfz 10165   mod cmo 10504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-pre-mulext 8078  ax-arch 8079

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-po 4361  df-iso 4362  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-ap 8690  df-div 8781  df-inn 9072  df-n0 9331  df-z 9408  df-q 9776  df-rp 9811  df-fz 10166  df-fl 10450  df-mod 10505

This theorem is referenced by:  zmodidfzo  10535