Theorem zmodid2 10429

Description: Identity law for modulo restricted to integers. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
zmodid2	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Proof of Theorem zmodid2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zq 9697	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℚ)
2	1	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℚ)
3		nnq 9704	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
4	3	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℚ)
5		nngt0 9012	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
7		modqid2 10428	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝑁) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1249	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
9		nnz 9342	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
10		0z 9334	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
11		elfzm11 10163	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
12	10, 11	mpan 424	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
13		3anass 984	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
14	12, 13	bitrdi 196	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))))
15	9, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))))
16		ibar 301	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁))))
17	16	bicomd 141	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)) ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
18	15, 17	sylan9bbr 463	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1)) ↔ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 < 𝑁)))
19	8, 18	bitr4d 191	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑀 mod 𝑁) = 𝑀 ↔ 𝑀 ∈ (0...(𝑁 − 1))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  0cc0 7877  1c1 7878   < clt 8059   ≤ cle 8060   − cmin 8195  ℕcn 8987  ℤcz 9323  ℚcq 9690  ...cfz 10080   mod cmo 10399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-mulrcl 7976  ax-addcom 7977  ax-mulcom 7978  ax-addass 7979  ax-mulass 7980  ax-distr 7981  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-1rid 7984  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-precex 7987  ax-cnre 7988  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-ltwlin 7990  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-apti 7992  ax-pre-ltadd 7993  ax-pre-mulgt0 7994  ax-pre-mulext 7995  ax-arch 7996

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-xr 8063  df-ltxr 8064  df-le 8065  df-sub 8197  df-neg 8198  df-reap 8599  df-ap 8606  df-div 8697  df-inn 8988  df-n0 9247  df-z 9324  df-q 9691  df-rp 9726  df-fz 10081  df-fl 10345  df-mod 10400

This theorem is referenced by:  zmodidfzo  10430