Theorem grpsubid1 12955

Description: Subtraction of the identity from a group element. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubid.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubid.o	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
grpsubid.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubid1	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = 𝑋)

Proof of Theorem grpsubid1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 19	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → 𝑋 ∈ 𝐵)
2		grpsubid.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		grpsubid.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
4	2, 3	grpidcl 12904	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
5		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
6		eqid 2177	. . . 4 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
7		grpsubid.m	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝐺)
8	2, 5, 6, 7	grpsubval 12919	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )))
9	1, 4, 8	syl2anr 290	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )))
10	3, 6	grpinvid 12930	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
11	10	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((invg‘𝐺)‘ 0 ) = 0 )
12	11	oveq2d 5891	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺)((invg‘𝐺)‘ 0 )) = (𝑋(+g‘𝐺) 0 ))
13	2, 5, 3	grprid 12907	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝐺) 0 ) = 𝑋)
14	9, 12, 13	3eqtrd 2214	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 0 ) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ‘cfv 5217  (class class class)co 5875  Basecbs 12462  +_gcplusg 12536  0_gc0g 12705  Grpcgrp 12877  inv_gcminusg 12878  -_gcsg 12879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-riota 5831  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-inn 8920  df-2 8978  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-plusg 12549  df-0g 12707  df-mgm 12775  df-sgrp 12808  df-mnd 12818  df-grp 12880  df-minusg 12881  df-sbg 12882

This theorem is referenced by: (None)