Theorem bitsmod 12706

Description: Truncating the bit sequence after some 𝑀 is equivalent to reducing the argument mod 2↑𝑀. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsmod	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)))

Proof of Theorem bitsmod

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		2nn 9449	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℕ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
4		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5	3, 4	nnexpcld 11116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
6	1, 5	zmodcld 10765	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
7	6	nn0zd 9749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
8	7	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))))
9	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		simplr 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
11		bitsval2 12694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥)))))
12	9, 10, 11	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥)))))
13		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 < 𝑀)
14	13	biantrud 304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)))
15		2z 9655	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℤ
16	15	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℤ)
17	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℕ)
18	17, 10	nnexpcld 11116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℕ)
19		znq 10007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑𝑥)) ∈ ℚ)
20	9, 18, 19	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 / (2↑𝑥)) ∈ ℚ)
21	20	flqcld 10695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ∈ ℤ)
22	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
23		znq 10007	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℚ)
24	22, 18, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℚ)
25	24	flqcld 10695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℤ)
26	18	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℤ)
27	26, 16	zmulcld 9757	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∈ ℤ)
28	5	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
29	28	nnzd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℤ)
30	9, 22	zsubcld 9756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
31		2cnd 9360	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℂ)
32	31, 10	expp1d 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑(𝑥 + 1)) = ((2↑𝑥) · 2))
33		1nn0 9562	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 1 ∈ ℕ0
34	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 1 ∈ ℕ0)
35	10, 34	nn0addcld 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ ℕ0)
36	35	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ∈ ℤ)
37		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
38	37	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ0)
39	38	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
40		nn0ltp1le 9690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
41	10, 38, 40	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 < 𝑀 ↔ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
42	13, 41	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑥 + 1) ≤ 𝑀)
43		eluz2 9910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑥 + 1)) ↔ ((𝑥 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 1) ≤ 𝑀))
44	36, 39, 42, 43	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑥 + 1)))
45		dvdsexp 12611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑥 + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘(𝑥 + 1))) → (2↑(𝑥 + 1)) ∥ (2↑𝑀))
46	16, 35, 44, 45	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑(𝑥 + 1)) ∥ (2↑𝑀))
47	32, 46	eqbrtrrd 4152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ (2↑𝑀))
48		zq 10009	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
49	9, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℚ)
50		nnq 10016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((2↑𝑀) ∈ ℕ → (2↑𝑀) ∈ ℚ)
51	28, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℚ)
52	28	nngt0d 9331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 0 < (2↑𝑀))
53		modqdifz 10756	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
54	49, 51, 52, 53	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
55	28	nnne0d 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ≠ 0)
56		dvdsval2 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((2↑𝑀) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑀) ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ))
57	29, 55, 30, 56	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ))
58	54, 57	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
59	27, 29, 30, 47, 58	dvdstrd 12580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
60	30	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
61	18	nncnd 9301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℂ)
62	18	nnap0d 9333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) # 0)
63	60, 61, 62	divcanap2d 9116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) = (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
64	59, 63	breqtrrd 4156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
65	10	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
66	10	nn0red 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
67	38	nn0red 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
68	66, 67, 13	ltled 8439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ≤ 𝑀)
69		eluz2 9910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑥) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ≤ 𝑀))
70	65, 39, 68, 69	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑥))
71		dvdsexp 12611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑥)) → (2↑𝑥) ∥ (2↑𝑀))
72	16, 10, 70, 71	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∥ (2↑𝑀))
73	26, 29, 30, 72, 58	dvdstrd 12580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
74	18	nnne0d 9332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ≠ 0)
75		dvdsval2 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((2↑𝑥) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ≠ 0 ∧ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ) → ((2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ))
76	26, 74, 30, 75	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) ∥ (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ))
77	73, 76	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ)
78		dvdscmulr 12570	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑥) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑥) ≠ 0)) → (((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
79	16, 77, 26, 74, 78	syl112anc 1282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((2↑𝑥) · 2) ∥ ((2↑𝑥) · ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
80	64, 79	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))
81	25	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℂ)
82	77	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℂ)
83	22	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
84	9	zcnd 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℂ)
85	83, 84	pncan3d 8634	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = 𝑁)
86	85	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑥)) = (𝑁 / (2↑𝑥)))
87	83, 60, 61, 62	divdirapd 9153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑥)) = (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
88	86, 87	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 / (2↑𝑥)) = (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
89	88	fveq2d 5697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) = (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))))
90		flqaddz 10715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℚ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)) ∈ ℤ) → (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
91	24, 77, 90	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
92	89, 91	eqtrd 2271	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) = ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) + ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥))))
93	81, 82, 92	mvrladdd 8687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑥)))
94	80, 93	breqtrrd 4156	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
95		dvdssub2 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ∈ ℤ ∧ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) − (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
96	16, 21, 25, 94, 95	syl31anc 1281	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
97	96	notbid 677	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑥))) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
98	12, 14, 97	3bitr3d 218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
99		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ¬ 𝑥 < 𝑀)
100	99	intnand 943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ¬ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))
101		z0even 12661	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∥ 0
102	1	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
103	102, 48	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℚ)
104	5	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
105	104, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℚ)
106		2rp 10042	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
107	106	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℝ+)
108	37	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
109	108	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
110	107, 109	rpexpcld 11118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
111	110	rpgt0d 10083	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 0 < (2↑𝑀))
112	103, 105, 111	modqcld 10748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℚ)
113		qre 10008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℚ → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
114	112, 113	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
115		simplr 533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℕ0)
116	115	nn0zd 9749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℤ)
117	107, 116	rpexpcld 11118	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℝ+)
118	6	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
119	118	nn0ge0d 9606	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
120	114, 117, 119	divge0d 10121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))
121	110	rpred 10080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
122	117	rpred 10080	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℝ)
123		modqlt 10753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
124	103, 105, 111, 123	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
125	107	rpred 10080	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℝ)
126		1le2 9496	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
127	126	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 1 ≤ 2)
128	109	zred 9751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
129	115	nn0red 9604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ ℝ)
130	128, 129, 99	nltled 8441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑥)
131		eluz2 9910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑥))
132	109, 116, 130, 131	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
133	125, 127, 132	leexp2ad 11123	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑀) ≤ (2↑𝑥))
134	114, 121, 122, 124, 133	ltletrd 8745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑥))
135	117	rpcnd 10082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℂ)
136	135	mulridd 8337	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((2↑𝑥) · 1) = (2↑𝑥))
137	134, 136	breqtrrd 4156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < ((2↑𝑥) · 1))
138		1red 8335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 1 ∈ ℝ)
139	114, 138, 117	ltdivmuld 10132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < 1 ↔ (𝑁 mod (2↑𝑀)) < ((2↑𝑥) · 1)))
140	137, 139	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < 1)
141		1e0p1 9801	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 = (0 + 1)
142	140, 141	breqtrdi 4169	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))
143	7	ad2antrr 492	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
144	2	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∈ ℕ)
145	144, 115	nnexpcld 11116	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (2↑𝑥) ∈ ℕ)
146	143, 145, 23	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℚ)
147		0z 9638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℤ
148		flqbi 10708	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0 ↔ (0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∧ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))))
149	146, 147, 148	sylancl 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0 ↔ (0 ≤ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) ∧ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)) < (0 + 1))))
150	120, 142, 149	mpbir2and 957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) = 0)
151	101, 150	breqtrrid 4166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))
152	151	notnotd 639	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ¬ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))
153	100, 152	2falsed 714	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑥 < 𝑀) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
154		nn0z 9647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 → 𝑥 ∈ ℤ)
155		zdclt 9705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑥 < 𝑀)
156	154, 108, 155	syl2an2 602	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → DECID 𝑥 < 𝑀)
157		exmiddc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (DECID 𝑥 < 𝑀 → (𝑥 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑥 < 𝑀))
158	156, 157	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑥 < 𝑀))
159	98, 153, 158	mpjaodan 810	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
160	108	biantrurd 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))))
161	159, 160	bitr3d 190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀))))
162		an12 567	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 < 𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
163	161, 162	bitrdi 196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
164	163	pm5.32da 456	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))))
165	8, 164	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))))
166		3anass 1013	. . . 4 ⊢ (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥))))))
167		elfzo2 10540	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
168		elnn0uz 9943	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ0 ↔ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘0))
169	168	3anbi1i 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑥 ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))
170		3anass 1013	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
171	167, 169, 170	3bitr2i 208	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀)))
172	171	anbi2i 461	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
173		an12 567	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
174	172, 173	bitri 184	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑥 < 𝑀))))
175	165, 166, 174	3bitr4g 223	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀))))
176		bitsval 12693	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((𝑁 mod (2↑𝑀)) / (2↑𝑥)))))
177		elin 3412	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)) ↔ (𝑥 ∈ (bits‘𝑁) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝑀)))
178	175, 176, 177	3bitr4g 223	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ 𝑥 ∈ ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀))))
179	178	eqrdv 2236	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (bits‘(𝑁 mod (2↑𝑀))) = ((bits‘𝑁) ∩ (0..^𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420   ∩ cin 3219   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079  ℝcr 8172  0cc0 8173  1c1 8174   + caddc 8176   · cmul 8178   < clt 8354   ≤ cle 8355   − cmin 8491   / cdiv 8996  ℕcn 9287  2c2 9338  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627  ℤ_≥cuz 9904  ℚcq 10002  ℝ⁺crp 10037  ..^cfzo 10532  ⌊cfl 10686   mod cmo 10742  ↑cexp 10958   ∥ cdvds 12537  bitscbits 12690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-pre-mulext 8291  ax-arch 8292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-po 4439  df-iso 4440  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-frec 6656  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-ap 8904  df-div 8997  df-inn 9288  df-2 9346  df-n0 9547  df-z 9628  df-uz 9905  df-q 10003  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-fl 10688  df-mod 10743  df-seqfrec 10868  df-exp 10959  df-dvds 12538  df-bits 12691

This theorem is referenced by: (None)