Theorem bitsinv1lem 12145

Description: Lemma for bitsinv1 12146. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1lem	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))

Proof of Theorem bitsinv1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 5933	. . 3 ⊢ ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))
2	1	eqeq2d 2208	. 2 ⊢ ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0))))
3		oveq2 5933	. . 3 ⊢ (0 = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))
4	3	eqeq2d 2208	. 2 ⊢ (0 = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0))))
5		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		2nn 9171	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
8		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	7, 8	nnexpcld 10806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
10	5, 9	zmodcld 10456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9323	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
13		1nn0 9284	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
15	8, 14	nn0addcld 9325	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
16	7, 15	nnexpcld 10806	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
17	5, 16	zmodcld 10456	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 9323	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
20	12, 19	pncan3d 8359	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
21	18, 11	subcld 8356	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
22	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
23	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
24		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	23, 24	nnexpcld 10806	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
26	25	nncnd 9023	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
27		2cnd 9082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
28	7	nnap0d 9055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 # 0)
29	8	nn0zd 9465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
30	27, 28, 29	expap0d 10790	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) # 0)
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) # 0)
32		z0even 12095	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∥ 0
33		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
34	32, 33	breqtrrid 4072	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
35		bitsval2 12128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
36		zq 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
38		2z 9373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
39		zq 9719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℚ
41		qexpcl 10666	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℚ)
42	40, 8, 41	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℚ)
43	9	nngt0d 9053	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝑀))
44		modqdiffl 10446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
45	37, 42, 43, 44	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
46	45	breq2d 4046	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
47	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
48		modqdifz 10447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
49	37, 42, 43, 48	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
50	5	zcnd 9468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	50, 11, 18	nnncan1d 8390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
52	51	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
53	50, 11	subcld 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
54	50, 18	subcld 8356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
55	9	nncnd 9023	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
56	53, 54, 55, 30	divsubdirapd 8876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
57	52, 56	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
58	27, 54	mulcomd 8067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) · 2))
59	27, 55	mulcomd 8067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑀)) = ((2↑𝑀) · 2))
60	27, 8	expp1d 10785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
61	59, 60	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1)))
62	58, 61	oveq12d 5943	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 · (2↑𝑀))) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) · 2) / (2↑(𝑀 + 1))))
63		2ap0 9102	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 # 0
64	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 # 0)
65	54, 55, 27, 30, 64	divcanap5d 8863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 · (2↑𝑀))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
66	16	nncnd 9023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
67	29	peano2zd 9470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
68	27, 28, 67	expap0d 10790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) # 0)
69	54, 27, 66, 68	div23apd 8874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) · 2) / (2↑(𝑀 + 1))) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
70	62, 65, 69	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
71		qexpcl 10666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ)
72	40, 15, 71	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ)
73	16	nngt0d 9053	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑(𝑀 + 1)))
74		modqdifz 10447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑(𝑀 + 1))) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ)
75	37, 72, 73, 74	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ)
76	75, 47	zmulcld 9473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2) ∈ ℤ)
77	70, 76	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
78	49, 77	zsubcld 9472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
79	57, 78	eqeltrd 2273	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
80		dvdsmul2 11998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
81	75, 47, 80	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
82	50, 18, 11	nnncan2d 8391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
83	82	oveq1d 5940	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
84	53, 21, 55, 30	divsubdirapd 8876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
85	83, 84, 70	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
86	81, 85	breqtrrd 4062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
87		dvdssub2 12019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))) → (2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
88	47, 49, 79, 86, 87	syl31anc 1252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
89	46, 88	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
90	89	notbid 668	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
91	35, 90	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
92	91	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
93	92	con2d 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) → ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
94	34, 93	syl5 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
95	94	con2d 625	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → ¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
96		df-neg 8219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 = (0 − 1)
97	55	mulm1d 8455	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (-1 · (2↑𝑀)) = -(2↑𝑀))
98	9	nnred 9022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
99	98	renegcld 8425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(2↑𝑀) ∈ ℝ)
100	37, 42, 43	modqcld 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℚ)
101		qre 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℚ → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
103	102	renegcld 8425	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
104	37, 72, 73	modqcld 10439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℚ)
105		qre 9718	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℚ → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
107	106, 102	resubcld 8426	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℝ)
108		modqlt 10444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
109	37, 42, 43, 108	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
110	102, 98	ltnegd 8569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀) ↔ -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀))))
111	109, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀)))
112		df-neg 8219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -(𝑁 mod (2↑𝑀)) = (0 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))
113		0red 8046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
114		modqge0 10443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑(𝑀 + 1))) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
115	37, 72, 73, 114	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
116	113, 106, 102, 115	lesub1dd 8607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≤ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
117	112, 116	eqbrtrid 4069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ≤ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
118	99, 103, 107, 111, 117	ltletrd 8469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(2↑𝑀) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
119	97, 118	eqbrtrd 4056	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (-1 · (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
120		1red 8060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
121	120	renegcld 8425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℝ)
122	9	nnrpd 9788	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
123	121, 107, 122	ltmuldivd 9838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((-1 · (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
124	119, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
125	96, 124	eqbrtrrid 4070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 − 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
126		0zd 9357	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
127		zlem1lt 9401	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ) → (0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 − 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
128	126, 79, 127	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 − 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
129	125, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
130		elnn0z 9358	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℕ0 ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
131	79, 129, 130	sylanbrc 417	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
132		nn0uz 9655	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
133	131, 132	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (ℤ≥‘0))
134	16	nnred 9022	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
135		modqge0 10443	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
136	37, 42, 43, 135	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
137	106, 102	subge02d 8583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
138	136, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
139		modqlt 10444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑(𝑀 + 1))) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
140	37, 72, 73, 139	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
141	107, 106, 134, 138, 140	lelttrd 8170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) < (2↑(𝑀 + 1)))
142	141, 60	breqtrd 4060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) · 2))
143	7	nnred 9022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
144	107, 143, 122	ltdivmuld 9842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2 ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) · 2)))
145	142, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2)
146		elfzo2 10244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2) ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2))
147	133, 47, 145, 146	syl3anbrc 1183	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2))
148		fzo0to2pr 10313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
149	147, 148	eleqtrdi 2289	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1})
150		elpri 3646	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1} → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
152	151	ord 725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
153	95, 152	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
154	153	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1)
155	22, 26, 31, 154	diveqap1d 8844	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) = (2↑𝑀))
156	155	oveq2d 5941	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
157	20, 156	eqtr3d 2231	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
158	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
159	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
160	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
161	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
162	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) # 0)
163	17	nn0zd 9465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ)
164	10	nn0zd 9465	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
165	163, 164	zsubcld 9472	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
166		znq 9717	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℚ)
167	165, 9, 166	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℚ)
168		0z 9356	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
169		zq 9719	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
170	168, 169	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℚ)
171		qdceq 10353	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
172	167, 170, 171	syl2anc 411	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → DECID (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
173		n2dvds1 12096	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
174		breq2 4038	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 → (2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ 1))
175	173, 174	mtbiri 676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 → ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
176	152, 175	syl6 33	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
177	176, 91	sylibrd 169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
178		con1dc 857	. . . . . . 7 ⊢ (DECID (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → ((¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)))
179	172, 177, 178	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
180	179	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
181	160, 161, 162, 180	diveqap0d 8843	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) = 0)
182	158, 159, 181	subeq0d 8364	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
183	159	addridd 8194	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
184	182, 183	eqtr4d 2232	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0))
185		bitsdc 12131	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → DECID 𝑀 ∈ (bits‘𝑁))
186	2, 4, 157, 184, 185	ifbothdadc 3594	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 709  DECID wdc 835   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ifcif 3562  {cpr 3624   class class class wbr 4034  ‘cfv 5259  (class class class)co 5925  ℂcc 7896  ℝcr 7897  0cc0 7898  1c1 7899   + caddc 7901   · cmul 7903   < clt 8080   ≤ cle 8081   − cmin 8216  -cneg 8217   # cap 8627   / cdiv 8718  ℕcn 9009  2c2 9060  ℕ₀cn0 9268  ℤcz 9345  ℤ_≥cuz 9620  ℚcq 9712  ..^cfzo 10236  ⌊cfl 10377   mod cmo 10433  ↑cexp 10649   ∥ cdvds 11971  bitscbits 12124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1cn 7991  ax-1re 7992  ax-icn 7993  ax-addcl 7994  ax-addrcl 7995  ax-mulcl 7996  ax-mulrcl 7997  ax-addcom 7998  ax-mulcom 7999  ax-addass 8000  ax-mulass 8001  ax-distr 8002  ax-i2m1 8003  ax-0lt1 8004  ax-1rid 8005  ax-0id 8006  ax-rnegex 8007  ax-precex 8008  ax-cnre 8009  ax-pre-ltirr 8010  ax-pre-ltwlin 8011  ax-pre-lttrn 8012  ax-pre-apti 8013  ax-pre-ltadd 8014  ax-pre-mulgt0 8015  ax-pre-mulext 8016  ax-arch 8017

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-frec 6458  df-pnf 8082  df-mnf 8083  df-xr 8084  df-ltxr 8085  df-le 8086  df-sub 8218  df-neg 8219  df-reap 8621  df-ap 8628  df-div 8719  df-inn 9010  df-2 9068  df-n0 9269  df-z 9346  df-uz 9621  df-q 9713  df-rp 9748  df-fz 10103  df-fzo 10237  df-fl 10379  df-mod 10434  df-seqfrec 10559  df-exp 10650  df-dvds 11972  df-bits 12125

This theorem is referenced by:  bitsinv1  12146