Theorem bitsinv1lem 12706

Description: Lemma for bitsinv1 12707. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitsinv1lem	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))

Proof of Theorem bitsinv1lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6083	. . 3 ⊢ ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))
2	1	eqeq2d 2250	. 2 ⊢ ((2↑𝑀) = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0))))
3		oveq2 6083	. . 3 ⊢ (0 = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))
4	3	eqeq2d 2250	. 2 ⊢ (0 = if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) ↔ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0))))
5		simpl 109	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		2nn 9445	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
7	6	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
8		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℕ0)
9	7, 8	nnexpcld 11111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
10	5, 9	zmodcld 10760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
11	10	nn0cnd 9601	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
12	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
13		1nn0 9558	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℕ0
14	13	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℕ0)
15	8, 14	nn0addcld 9603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
16	7, 15	nnexpcld 11111	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℕ)
17	5, 16	zmodcld 10760	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℕ0)
18	17	nn0cnd 9601	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
19	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
20	12, 19	pncan3d 8630	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
21	18, 11	subcld 8627	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
22	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
23	6	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → 2 ∈ ℕ)
24		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → 𝑀 ∈ ℕ0)
25	23, 24	nnexpcld 11111	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ∈ ℕ)
26	25	nncnd 9297	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
27		2cnd 9356	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℂ)
28	7	nnap0d 9329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 # 0)
29	8	nn0zd 9745	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
30	27, 28, 29	expap0d 11095	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) # 0)
31	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) # 0)
32		z0even 12656	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∥ 0
33		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
34	32, 33	breqtrrid 4163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
35		bitsval2 12689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
36		zq 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℚ)
37	36	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℚ)
38		2z 9651	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℤ
39		zq 10005	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℚ)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℚ
41		qexpcl 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℚ)
42	40, 8, 41	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℚ)
43	9	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑𝑀))
44		modqdiffl 10750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
45	37, 42, 43, 44	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))))
46	45	breq2d 4137	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀)))))
47	38	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
48		modqdifz 10751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
49	37, 42, 43, 48	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
50	5	zcnd 9748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
51	50, 11, 18	nnncan1d 8661	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
52	51	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
53	50, 11	subcld 8627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
54	50, 18	subcld 8627	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
55	9	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
56	53, 54, 55, 30	divsubdirapd 9150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
57	52, 56	eqtr3d 2273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))))
58	27, 54	mulcomd 8337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 · (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) · 2))
59	27, 55	mulcomd 8337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑀)) = ((2↑𝑀) · 2))
60	27, 8	expp1d 11090	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) = ((2↑𝑀) · 2))
61	59, 60	eqtr4d 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 · (2↑𝑀)) = (2↑(𝑀 + 1)))
62	58, 61	oveq12d 6093	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 · (2↑𝑀))) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) · 2) / (2↑(𝑀 + 1))))
63		2ap0 9376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ 2 # 0
64	63	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 # 0)
65	54, 55, 27, 30, 64	divcanap5d 9137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((2 · (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))) / (2 · (2↑𝑀))) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
66	16	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
67	29	peano2zd 9750	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
68	27, 28, 67	expap0d 11095	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) # 0)
69	54, 27, 66, 68	div23apd 9148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) · 2) / (2↑(𝑀 + 1))) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
70	62, 65, 69	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
71		qexpcl 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∈ ℚ ∧ (𝑀 + 1) ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ)
72	40, 15, 71	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ)
73	16	nngt0d 9327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 < (2↑(𝑀 + 1)))
74		modqdifz 10751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑(𝑀 + 1))) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ)
75	37, 72, 73, 74	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ)
76	75, 47	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2) ∈ ℤ)
77	70, 76	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
78	49, 77	zsubcld 9752	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
79	57, 78	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
80		dvdsmul2 12559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
81	75, 47, 80	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
82	50, 18, 11	nnncan2d 8662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = (𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
83	82	oveq1d 6090	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑𝑀)))
84	53, 21, 55, 30	divsubdirapd 9150	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) − ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) / (2↑𝑀)) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
85	83, 84, 70	3eqtr3d 2279	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))) = (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))) / (2↑(𝑀 + 1))) · 2))
86	81, 85	breqtrrd 4153	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
87		dvdssub2 12580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((2 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ) ∧ 2 ∥ (((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) − (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))) → (2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
88	47, 49, 79, 86, 87	syl31anc 1281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ ((𝑁 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
89	46, 88	bitr3d 190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
90	89	notbid 677	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑀))) ↔ ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
91	35, 90	bitrd 188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
92	91	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
93	92	con2d 633	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) → ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
94	34, 93	syl5 32	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
95	94	con2d 633	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → ¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
96		df-neg 8490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ -1 = (0 − 1)
97	55	mulm1d 8727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (-1 · (2↑𝑀)) = -(2↑𝑀))
98	9	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℝ)
99	98	renegcld 8697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(2↑𝑀) ∈ ℝ)
100	37, 42, 43	modqcld 10743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℚ)
101		qre 10004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℚ → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
102	100, 101	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
103	102	renegcld 8697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℝ)
104	37, 72, 73	modqcld 10743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℚ)
105		qre 10004	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℚ → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
106	104, 105	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
107	106, 102	resubcld 8698	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℝ)
108		modqlt 10748	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
109	37, 42, 43, 108	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀))
110	102, 98	ltnegd 8841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) < (2↑𝑀) ↔ -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀))))
111	109, 110	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(2↑𝑀) < -(𝑁 mod (2↑𝑀)))
112		df-neg 8490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ -(𝑁 mod (2↑𝑀)) = (0 − (𝑁 mod (2↑𝑀)))
113		0red 8317	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
114		modqge0 10747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑(𝑀 + 1))) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
115	37, 72, 73, 114	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
116	113, 106, 102, 115	lesub1dd 8879	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≤ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
117	112, 116	eqbrtrid 4160	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(𝑁 mod (2↑𝑀)) ≤ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
118	99, 103, 107, 111, 117	ltletrd 8741	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -(2↑𝑀) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
119	97, 118	eqbrtrd 4147	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (-1 · (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))))
120		1red 8331	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
121	120	renegcld 8697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -1 ∈ ℝ)
122	9	nnrpd 10074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑𝑀) ∈ ℝ+)
123	121, 107, 122	ltmuldivd 10124	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((-1 · (2↑𝑀)) < ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ↔ -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
124	119, 123	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → -1 < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
125	96, 124	eqbrtrrid 4161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 − 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
126		0zd 9635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℤ)
127		zlem1lt 9680	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ) → (0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 − 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
128	126, 79, 127	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ (0 − 1) < (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
129	125, 128	mpbird 167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
130		elnn0z 9636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℕ0 ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
131	79, 129, 130	sylanbrc 421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℕ0)
132		nn0uz 9936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
133	131, 132	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (ℤ≥‘0))
134	16	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
135		modqge0 10747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑𝑀)) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
136	37, 42, 43, 135	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)))
137	106, 102	subge02d 8855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑁 mod (2↑𝑀)) ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1)))))
138	136, 137	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ≤ (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))))
139		modqlt 10748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ (2↑(𝑀 + 1)) ∈ ℚ ∧ 0 < (2↑(𝑀 + 1))) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
140	37, 72, 73, 139	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) < (2↑(𝑀 + 1)))
141	107, 106, 134, 138, 140	lelttrd 8441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) < (2↑(𝑀 + 1)))
142	141, 60	breqtrd 4151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) · 2))
143	7	nnred 9296	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℝ)
144	107, 143, 122	ltdivmuld 10128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2 ↔ ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) < ((2↑𝑀) · 2)))
145	142, 144	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2)
146		elfzo2 10535	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2) ↔ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 2 ∈ ℤ ∧ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) < 2))
147	133, 47, 145, 146	syl3anbrc 1212	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ (0..^2))
148		fzo0to2pr 10614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0..^2) = {0, 1}
149	147, 148	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1})
150		elpri 3728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ {0, 1} → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
151	149, 150	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 ∨ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
152	151	ord 736	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
153	95, 152	syld 45	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1))
154	153	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1)
155	22, 26, 31, 154	diveqap1d 9118	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) = (2↑𝑀))
156	155	oveq2d 6091	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀)))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
157	20, 156	eqtr3d 2273	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + (2↑𝑀)))
158	18	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
159	11	adantr 276	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℂ)
160	21	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℂ)
161	55	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) ∈ ℂ)
162	30	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (2↑𝑀) # 0)
163	17	nn0zd 9745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) ∈ ℤ)
164	10	nn0zd 9745	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑𝑀)) ∈ ℤ)
165	163, 164	zsubcld 9752	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ)
166		znq 10003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑀) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℚ)
167	165, 9, 166	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℚ)
168		0z 9634	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℤ
169		zq 10005	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
170	168, 169	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℚ)
171		qdceq 10657	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ∈ ℚ ∧ 0 ∈ ℚ) → DECID (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
172	167, 170, 171	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → DECID (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
173		n2dvds1 12657	. . . . . . . . . 10 ⊢ ¬ 2 ∥ 1
174		breq2 4129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 → (2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) ↔ 2 ∥ 1))
175	173, 174	mtbiri 686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 1 → ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)))
176	152, 175	syl6 33	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → ¬ 2 ∥ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀))))
177	176, 91	sylibrd 169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)))
178		con1dc 868	. . . . . . 7 ⊢ (DECID (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → ((¬ (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0 → 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)))
179	172, 177, 178	sylc 62	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0))
180	179	imp 124	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) / (2↑𝑀)) = 0)
181	160, 161, 162, 180	diveqap0d 9117	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) − (𝑁 mod (2↑𝑀))) = 0)
182	158, 159, 181	subeq0d 8635	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
183	159	addridd 8465	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0) = (𝑁 mod (2↑𝑀)))
184	182, 183	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (bits‘𝑁)) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + 0))
185		bitsdc 12692	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → DECID 𝑀 ∈ (bits‘𝑁))
186	2, 4, 157, 184, 185	ifbothdadc 3671	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝑁 mod (2↑(𝑀 + 1))) = ((𝑁 mod (2↑𝑀)) + if(𝑀 ∈ (bits‘𝑁), (2↑𝑀), 0)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ifcif 3635  {cpr 3706   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  ℂcc 8167  ℝcr 8168  0cc0 8169  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487  -cneg 8488   # cap 8899   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℤ_≥cuz 9900  ℚcq 9998  ..^cfzo 10527  ⌊cfl 10681   mod cmo 10737  ↑cexp 10953   ∥ cdvds 12532  bitscbits 12685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fz 10391  df-fzo 10528  df-fl 10683  df-mod 10738  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-dvds 12533  df-bits 12686

This theorem is referenced by:  bitsinv1  12707