Theorem bitscmp 12703

Description: The bit complement of 𝑁 is -𝑁 − 1. (Thus, by bitsfi 12702, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘(-𝑁 − 1)))

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 12689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2		2z 9651	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
4		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		2nn 9445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nnexpcld 11111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
9		znq 10003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
10	4, 8, 9	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
11	10	flqcld 10690	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
12		dvdsnegb 12553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
13	3, 11, 12	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
14	13	notbid 677	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
15	11	znegcld 9749	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
16		oddm1even 12620	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
18		flqltp1 10692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
20	4	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20, 8	nndivred 9333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
22	11	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
23		1red 8331	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 8345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ∈ ℝ)
25	21, 24	ltnegd 8841	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ↔ -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚))))
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚)))
27	22	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
28	23	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	negdi2d 8641	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
30	20	recnd 8344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	8	nncnd 9297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
32	8	nnap0d 9329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) # 0)
33	30, 31, 32	divnegapd 9123	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) = (-𝑁 / (2↑𝑚)))
34	26, 29, 33	3brtr3d 4156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < (-𝑁 / (2↑𝑚)))
35		1zzd 9650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
36	15, 35	zsubcld 9752	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ)
37	36	zred 9747	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℝ)
38	20	renegcld 8697	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
39	8	nnrpd 10074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℝ+)
40	37, 38, 39	ltmuldivd 10124	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < (-𝑁 / (2↑𝑚))))
41	34, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁)
42	8	nnzd 9746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
43	36, 42	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ)
44	4	znegcld 9749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
45		zltlem1 9681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1)))
46	43, 44, 45	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1)))
47	41, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1))
48	38, 23	resubcld 8698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) ∈ ℝ)
49	37, 48, 39	lemuldivd 10126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1) ↔ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))
50	47, 49	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))
51		flqle 10691	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
52	10, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
53	22, 21	lenegd 8842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ↔ -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
54	52, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
55	33, 54	eqbrtrrd 4149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
56	22	renegcld 8697	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
57	38, 56, 39	ledivmuld 10130	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
59	42, 15	zmulcld 9753	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ)
60		zlem1lt 9680	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ) → (-𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
61	44, 59, 60	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
62	58, 61	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
63	48, 56, 39	ltdivmuld 10128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
64	62, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
65	27	negcld 8614	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
66	65, 28	npcand 8631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1) = -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
67	64, 66	breqtrrd 4153	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))
68	44, 35	zsubcld 9752	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
69		znq 10003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℕ) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
70	68, 8, 69	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
71		flqbi 10703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℚ ∧ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
72	70, 36, 71	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
73	50, 67, 72	mpbir2and 957	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
74	73	breq2d 4137	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
75	17, 74	bitr4d 191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
76	1, 14, 75	3bitrd 214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
77	76	notbid 677	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
78	77	pm5.32da 456	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
79		znegcl 9654	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
80		1zzd 9650	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
81	79, 80	zsubcld 9752	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
82	81	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
83	78, 82	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
84		eldif 3229	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)))
85		bitsval 12688	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
86		3anass 1013	. . . 4 ⊢ (((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
87	85, 86	bitri 184	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
88	83, 84, 87	3bitr4g 223	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ 𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1))))
89	88	eqrdv 2236	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘(-𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ∖ cdif 3217   class class class wbr 4125  ‘cfv 5372  (class class class)co 6075  1c1 8170   + caddc 8172   · cmul 8174   < clt 8350   ≤ cle 8351   − cmin 8487  -cneg 8488   / cdiv 8992  ℕcn 9283  2c2 9334  ℕ₀cn0 9542  ℤcz 9623  ℚcq 9998  ⌊cfl 10681  ↑cexp 10953   ∥ cdvds 12532  bitscbits 12685

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4241  ax-sep 4244  ax-nul 4254  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-iinf 4730  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-mulrcl 8268  ax-addcom 8269  ax-mulcom 8270  ax-addass 8271  ax-mulass 8272  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-1rid 8276  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-precex 8279  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285  ax-pre-mulgt0 8286  ax-pre-mulext 8287  ax-arch 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-xor 1425  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3636  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-iun 4009  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-tr 4225  df-id 4433  df-po 4436  df-iso 4437  df-iord 4506  df-on 4508  df-ilim 4509  df-suc 4511  df-iom 4733  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-f1 5377  df-fo 5378  df-f1o 5379  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-1st 6364  df-2nd 6365  df-recs 6566  df-frec 6652  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-reap 8893  df-ap 8900  df-div 8993  df-inn 9284  df-2 9342  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-q 9999  df-rp 10034  df-fl 10683  df-seqfrec 10863  df-exp 10954  df-dvds 12533  df-bits 12686

This theorem is referenced by:  m1bits  12705