Theorem bitscmp 12644

Description: The bit complement of 𝑁 is -𝑁 − 1. (Thus, by bitsfi 12643, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘(-𝑁 − 1)))

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 12630	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2		2z 9605	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
4		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		2nn 9399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nnexpcld 11057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
9		znq 9956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
11	10	flqcld 10637	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
12		dvdsnegb 12494	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
13	3, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
14	13	notbid 673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
15	11	znegcld 9702	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
16		oddm1even 12561	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
18		flqltp1 10639	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
20	4	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20, 8	nndivred 9287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
22	11	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
23		1red 8289	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 8303	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ∈ ℝ)
25	21, 24	ltnegd 8797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ↔ -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚))))
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚)))
27	22	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
28	23	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	negdi2d 8598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
30	20	recnd 8302	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	8	nncnd 9251	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
32	8	nnap0d 9283	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) # 0)
33	30, 31, 32	divnegapd 9077	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) = (-𝑁 / (2↑𝑚)))
34	26, 29, 33	3brtr3d 4140	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < (-𝑁 / (2↑𝑚)))
35		1zzd 9604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
36	15, 35	zsubcld 9705	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ)
37	36	zred 9700	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℝ)
38	20	renegcld 8653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
39	8	nnrpd 10027	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℝ+)
40	37, 38, 39	ltmuldivd 10077	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < (-𝑁 / (2↑𝑚))))
41	34, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁)
42	8	nnzd 9699	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
43	36, 42	zmulcld 9706	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ)
44	4	znegcld 9702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
45		zltlem1 9635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1)))
46	43, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1)))
47	41, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1))
48	38, 23	resubcld 8654	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) ∈ ℝ)
49	37, 48, 39	lemuldivd 10079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1) ↔ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))
50	47, 49	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))
51		flqle 10638	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
52	10, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
53	22, 21	lenegd 8798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ↔ -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
54	52, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
55	33, 54	eqbrtrrd 4133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
56	22	renegcld 8653	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
57	38, 56, 39	ledivmuld 10083	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
59	42, 15	zmulcld 9706	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ)
60		zlem1lt 9634	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ) → (-𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
61	44, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
62	58, 61	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
63	48, 56, 39	ltdivmuld 10081	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
64	62, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
65	27	negcld 8571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
66	65, 28	npcand 8588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1) = -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
67	64, 66	breqtrrd 4137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))
68	44, 35	zsubcld 9705	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
69		znq 9956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℕ) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
70	68, 8, 69	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
71		flqbi 10650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℚ ∧ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
72	70, 36, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
73	50, 67, 72	mpbir2and 953	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
74	73	breq2d 4121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
75	17, 74	bitr4d 191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
76	1, 14, 75	3bitrd 214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
77	76	notbid 673	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
78	77	pm5.32da 452	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
79		znegcl 9608	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
80		1zzd 9604	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
81	79, 80	zsubcld 9705	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
82	81	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
83	78, 82	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
84		eldif 3220	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)))
85		bitsval 12629	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
86		3anass 1009	. . . 4 ⊢ (((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
87	85, 86	bitri 184	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
88	83, 84, 87	3bitr4g 223	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ 𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1))))
89	88	eqrdv 2230	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘(-𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ∖ cdif 3208   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  1c1 8128   + caddc 8130   · cmul 8132   < clt 8308   ≤ cle 8309   − cmin 8444  -cneg 8445   / cdiv 8946  ℕcn 9237  2c2 9288  ℕ₀cn0 9496  ℤcz 9577  ℚcq 9951  ⌊cfl 10628  ↑cexp 10900   ∥ cdvds 12473  bitscbits 12626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244  ax-pre-mulext 8245  ax-arch 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-xor 1421  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-div 8947  df-inn 9238  df-2 9296  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-q 9952  df-rp 9987  df-fl 10630  df-seqfrec 10810  df-exp 10901  df-dvds 12474  df-bits 12627

This theorem is referenced by:  m1bits  12646