Theorem bitscmp 12344

Description: The bit complement of 𝑁 is -𝑁 − 1. (Thus, by bitsfi 12343, all negative numbers have cofinite bits representations.) (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2016.)

Assertion

Ref	Expression
bitscmp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘(-𝑁 − 1)))

Proof of Theorem bitscmp

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		bitsval2 12330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
2		2z 9420	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 9	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℤ)
4		simpl 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
5		2nn 9218	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ
6	5	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 2 ∈ ℕ)
7		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑚 ∈ ℕ0)
8	6, 7	nnexpcld 10862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℕ)
9		znq 9765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℕ) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
10	4, 8, 9	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
11	10	flqcld 10442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
12		dvdsnegb 12194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
13	3, 11, 12	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
14	13	notbid 669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ ¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
15	11	znegcld 9517	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ)
16		oddm1even 12261	. . . . . . . . 9 ⊢ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
17	15, 16	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
18		flqltp1 10444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
19	10, 18	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1))
20	4	zred 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
21	20, 8	nndivred 9106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℝ)
22	11	zred 9515	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
23		1red 8107	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℝ)
24	22, 23	readdcld 8122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ∈ ℝ)
25	21, 24	ltnegd 8616	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((𝑁 / (2↑𝑚)) < ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) ↔ -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚))))
26	19, 25	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) < -(𝑁 / (2↑𝑚)))
27	22	recnd 8121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
28	23	recnd 8121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℂ)
29	27, 28	negdi2d 8417	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) + 1) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
30	20	recnd 8121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	8	nncnd 9070	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℂ)
32	8	nnap0d 9102	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) # 0)
33	30, 31, 32	divnegapd 8896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) = (-𝑁 / (2↑𝑚)))
34	26, 29, 33	3brtr3d 4082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < (-𝑁 / (2↑𝑚)))
35		1zzd 9419	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → 1 ∈ ℤ)
36	15, 35	zsubcld 9520	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ)
37	36	zred 9515	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℝ)
38	20	renegcld 8472	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℝ)
39	8	nnrpd 9836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℝ+)
40	37, 38, 39	ltmuldivd 9886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) < (-𝑁 / (2↑𝑚))))
41	34, 40	mpbird 167	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁)
42	8	nnzd 9514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2↑𝑚) ∈ ℤ)
43	36, 42	zmulcld 9521	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ)
44	4	znegcld 9517	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ∈ ℤ)
45		zltlem1 9450	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ∈ ℤ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1)))
46	43, 44, 45	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) < -𝑁 ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1)))
47	41, 46	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1))
48	38, 23	resubcld 8473	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) ∈ ℝ)
49	37, 48, 39	lemuldivd 9888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) · (2↑𝑚)) ≤ (-𝑁 − 1) ↔ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))
50	47, 49	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))
51		flqle 10443	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 / (2↑𝑚)) ∈ ℚ → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
52	10, 51	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)))
53	22, 21	lenegd 8617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ≤ (𝑁 / (2↑𝑚)) ↔ -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
54	52, 53	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
55	33, 54	eqbrtrrd 4075	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
56	22	renegcld 8472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℝ)
57	38, 56, 39	ledivmuld 9892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 / (2↑𝑚)) ≤ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
58	55, 57	mpbid 147	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
59	42, 15	zmulcld 9521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ)
60		zlem1lt 9449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ∈ ℤ) → (-𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
61	44, 59, 60	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 ≤ ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
62	58, 61	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚)))))
63	48, 56, 39	ltdivmuld 9890	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ (-𝑁 − 1) < ((2↑𝑚) · -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))))
64	62, 63	mpbird 167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
65	27	negcld 8390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ∈ ℂ)
66	65, 28	npcand 8407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1) = -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))))
67	64, 66	breqtrrd 4079	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))
68	44, 35	zsubcld 9520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
69		znq 9765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (2↑𝑚) ∈ ℕ) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
70	68, 8, 69	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℚ)
71		flqbi 10455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∈ ℚ ∧ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
72	70, 36, 71	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ↔ ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) ≤ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) ∧ ((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)) < ((-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1) + 1))))
73	50, 67, 72	mpbir2and 947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) = (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1))
74	73	breq2d 4063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (-(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) − 1)))
75	17, 74	bitr4d 191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 2 ∥ -(⌊‘(𝑁 / (2↑𝑚))) ↔ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
76	1, 14, 75	3bitrd 214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
77	76	notbid 669	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → (¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁) ↔ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
78	77	pm5.32da 452	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
79		znegcl 9423	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
80		1zzd 9419	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℤ)
81	79, 80	zsubcld 9520	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (-𝑁 − 1) ∈ ℤ)
82	81	biantrurd 305	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
83	78, 82	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))))
84		eldif 3179	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 𝑚 ∈ (bits‘𝑁)))
85		bitsval 12329	. . . 4 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))))
86		3anass 985	. . . 4 ⊢ (((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚)))) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
87	85, 86	bitri 184	. . 3 ⊢ (𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1)) ↔ ((-𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ ¬ 2 ∥ (⌊‘((-𝑁 − 1) / (2↑𝑚))))))
88	83, 84, 87	3bitr4g 223	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑚 ∈ (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) ↔ 𝑚 ∈ (bits‘(-𝑁 − 1))))
89	88	eqrdv 2204	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℕ0 ∖ (bits‘𝑁)) = (bits‘(-𝑁 − 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2177   ∖ cdif 3167   class class class wbr 4051  ‘cfv 5280  (class class class)co 5957  1c1 7946   + caddc 7948   · cmul 7950   < clt 8127   ≤ cle 8128   − cmin 8263  -cneg 8264   / cdiv 8765  ℕcn 9056  2c2 9107  ℕ₀cn0 9315  ℤcz 9392  ℚcq 9760  ⌊cfl 10433  ↑cexp 10705   ∥ cdvds 12173  bitscbits 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-nul 4178  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-iinf 4644  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-mulrcl 8044  ax-addcom 8045  ax-mulcom 8046  ax-addass 8047  ax-mulass 8048  ax-distr 8049  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-1rid 8052  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-precex 8055  ax-cnre 8056  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltwlin 8058  ax-pre-lttrn 8059  ax-pre-apti 8060  ax-pre-ltadd 8061  ax-pre-mulgt0 8062  ax-pre-mulext 8063  ax-arch 8064

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-xor 1396  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-tr 4151  df-id 4348  df-po 4351  df-iso 4352  df-iord 4421  df-on 4423  df-ilim 4424  df-suc 4426  df-iom 4647  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-1st 6239  df-2nd 6240  df-recs 6404  df-frec 6490  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-xr 8131  df-ltxr 8132  df-le 8133  df-sub 8265  df-neg 8266  df-reap 8668  df-ap 8675  df-div 8766  df-inn 9057  df-2 9115  df-n0 9316  df-z 9393  df-uz 9669  df-q 9761  df-rp 9796  df-fl 10435  df-seqfrec 10615  df-exp 10706  df-dvds 12174  df-bits 12327

This theorem is referenced by:  m1bits  12346