Theorem cntzmhm2 14174

Description: Centralizers in a monoid are preserved by monoid homomorphisms. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
cntzmhm.z	⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
cntzmhm.y	⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
cntzmhm2	⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇)))

Proof of Theorem cntzmhm2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cntzmhm.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (Cntz‘𝐺)
2		cntzmhm.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (Cntz‘𝐻)
3	1, 2	cntzmhm 14173	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑥 ∈ (𝑍‘𝑇)) → (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇)))
4	3	ralrimiva 2623	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → ∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑇)(𝐹‘𝑥) ∈ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇)))
5		ssralv 3312	. . 3 ⊢ (𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇) → (∀𝑥 ∈ (𝑍‘𝑇)(𝐹‘𝑥) ∈ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇))))
6	4, 5	mpan9 281	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇)))
7		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
8		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
9	7, 8	mhmf 13831	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
10	9	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → 𝐹:(Base‘𝐺)⟶(Base‘𝐻))
11	10	ffund 5540	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → Fun 𝐹)
12		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇))
13	7, 1	cntzssv 14160	. . . . 5 ⊢ (𝑍‘𝑇) ⊆ (Base‘𝐺)
14	12, 13	sstrdi 3260	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝐺))
15	10	fdmd 5543	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → dom 𝐹 = (Base‘𝐺))
16	14, 15	sseqtrrd 3287	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → 𝑆 ⊆ dom 𝐹)
17		funimass4 5756	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑆 ⊆ dom 𝐹) → ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇))))
18	11, 16, 17	syl2anc 415	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → ((𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 (𝐹‘𝑥) ∈ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇))))
19	6, 18	mpbird 167	1 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐺 MndHom 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ (𝑍‘𝑇)) → (𝐹 “ 𝑆) ⊆ (𝑌‘(𝐹 “ 𝑇)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528   ⊆ wss 3220  dom cdm 4776   “ cima 4779  Fun wfun 5374  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Basecbs 13410   MndHom cmhm 13823  Cntzccntz 14146

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1re 8279  ax-addrcl 8282

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-map 6928  df-inn 9314  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-mhm 13825  df-cntz 14148

This theorem is used by: (None)