Theorem fvdifsuppst 6478

Description: Function value is zero outside of its support. (Contributed by Thierry Arnoux, 21-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvdifsuppst.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fvdifsupp.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
fvdifsuppst.st	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 STAB 𝑥 = 𝑦)
fvdifsuppst.3	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
fvdifsupp.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))

Assertion

Ref	Expression
fvdifsuppst	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐹,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦   𝑥,𝑍,𝑦

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐴(𝑥,𝑦)   𝑉(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem fvdifsuppst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvdifsupp.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐴 ∖ (𝐹 supp 𝑍)))
2	1	eldifbd 3232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍))
3		df-ne 2421	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 ↔ ¬ (𝐹‘𝑋) = 𝑍)
4	1	eldifad 3231	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
5		fvdifsuppst.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	5	ffnd 5532	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐴)
7		fvdifsupp.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
8		fvdifsuppst.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
9		elsuppfn 6477	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
10	6, 7, 8, 9	syl3anc 1278	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍)))
11	4, 10	mpbirand 445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍) ↔ (𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍))
12	11	biimprd 158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋) ≠ 𝑍 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍)))
13	3, 12	biimtrrid 153	. . 3 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝐹‘𝑋) = 𝑍 → 𝑋 ∈ (𝐹 supp 𝑍)))
14	2, 13	mtod 673	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ ¬ (𝐹‘𝑋) = 𝑍)
15		fvdifsuppst.st	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 STAB 𝑥 = 𝑦)
16	5, 4	ffvelcdmd 5838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵)
17		eqeq12 2251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑋) ∧ 𝑦 = 𝑍) → (𝑥 = 𝑦 ↔ (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
18	17	stbid 844	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = (𝐹‘𝑋) ∧ 𝑦 = 𝑍) → (STAB 𝑥 = 𝑦 ↔ STAB (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
19	18	rspc2gv 2942	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 STAB 𝑥 = 𝑦 → STAB (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
20	16, 8, 19	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 STAB 𝑥 = 𝑦 → STAB (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
21	15, 20	mpd 13	. . 3 ⊢ (𝜑 → STAB (𝐹‘𝑋) = 𝑍)
22		df-stab 843	. . 3 ⊢ (STAB (𝐹‘𝑋) = 𝑍 ↔ (¬ ¬ (𝐹‘𝑋) = 𝑍 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
23	21, 22	sylib 122	. 2 ⊢ (𝜑 → (¬ ¬ (𝐹‘𝑋) = 𝑍 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍))
24	14, 23	mpd 13	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) = 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105  STAB wstab 842   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  ∀wral 2528   ∖ cdif 3217   Fn wfn 5370  ⟶wf 5371  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   supp csupp 6469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-supp 6470

This theorem is referenced by: (None)