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Theorem dvdsabseq 11534
Description: If two integers divide each other, they must be equal, up to a difference in sign. Theorem 1.1(j) in [ApostolNT] p. 14. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2014.) (Revised by AV, 7-Aug-2021.)
Assertion
Ref Expression
dvdsabseq ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))

Proof of Theorem dvdsabseq
StepHypRef Expression
1 dvdszrcl 11487 . . 3 (𝑀𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
2 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑁𝑀)
3 breq1 3927 . . . . . . . . 9 (𝑁 = 0 → (𝑁𝑀 ↔ 0 ∥ 𝑀))
4 0dvds 11502 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
54adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀𝑀 = 0))
6 zcn 9052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
76abs00ad 10830 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) = 0 ↔ 𝑀 = 0))
87bicomd 140 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
98adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
105, 9bitrd 187 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
113, 10sylan9bb 457 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = 0))
12 fveq2 5414 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = (abs‘0))
13 abs0 10823 . . . . . . . . . . 11 (abs‘0) = 0
1412, 13syl6eq 2186 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = 0 → (abs‘𝑁) = 0)
1514adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘𝑁) = 0)
1615eqeq2d 2149 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ (abs‘𝑀) = 0))
1711, 16bitr4d 190 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑀 ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
182, 17syl5ib 153 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
1918expd 256 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
2019expcom 115 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
21 simprl 520 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
22 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
2322adantl 275 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
24 neqne 2314 . . . . . . . 8 𝑁 = 0 → 𝑁 ≠ 0)
2524adantr 274 . . . . . . 7 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ≠ 0)
26 dvdsleabs2 11533 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑀𝑁 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)))
2721, 23, 25, 26syl3anc 1216 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)))
28 simpr 109 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁𝑀𝑀𝑁) → 𝑀𝑁)
29 breq1 3927 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
30 0dvds 11502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
31 eqcom 2139 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 0 = (abs‘𝑁))
32 zcn 9052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
3332abs00ad 10830 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
3431, 33syl5rbbr 194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
3530, 34bitrd 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
3635adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
3729, 36sylan9bb 457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
38 fveq2 5414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = (abs‘0))
3938, 13syl6eq 2186 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 = 0 → (abs‘𝑀) = 0)
4039adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (abs‘𝑀) = 0)
4140eqeq1d 2146 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ 0 = (abs‘𝑁)))
4237, 41bitr4d 190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 ↔ (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
4328, 42syl5ib 153 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀𝑀𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
4443a1dd 48 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀𝑀𝑁) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
4544expcomd 1417 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
4645expcom 115 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))))
4722adantl 275 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
48 simprl 520 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℤ)
49 neqne 2314 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑀 = 0 → 𝑀 ≠ 0)
5049adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → 𝑀 ≠ 0)
51 dvdsleabs2 11533 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀)))
5247, 48, 50, 51syl3anc 1216 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀)))
53 eqcom 2139 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ (abs‘𝑁) = (abs‘𝑀))
5432abscld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℤ → (abs‘𝑁) ∈ ℝ)
556abscld 10946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℝ)
56 letri3 7838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((abs‘𝑁) ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ) → ((abs‘𝑁) = (abs‘𝑀) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
5754, 55, 56syl2anr 288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = (abs‘𝑀) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
5853, 57syl5bb 191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) = (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁))))
5958biimprd 157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) ∧ (abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁)) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
6059expd 256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
6160adantl 275 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → ((abs‘𝑁) ≤ (abs‘𝑀) → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
6252, 61syld 45 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
6362a1d 22 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝑀 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
6463expcom 115 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑀 = 0 → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))))
65 0z 9058 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℤ
66 zdceq 9119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑀 = 0)
6765, 66mpan2 421 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ ℤ → DECID 𝑀 = 0)
68 exmiddc 821 . . . . . . . . . . 11 (DECID 𝑀 = 0 → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
6967, 68syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
7069adantr 274 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 ∨ ¬ 𝑀 = 0))
7146, 64, 70mpjaod 707 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
7271com34 83 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
7372adantl 275 . . . . . 6 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → ((abs‘𝑀) ≤ (abs‘𝑁) → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
7427, 73mpdd 41 . . . . 5 ((¬ 𝑁 = 0 ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
7574expcom 115 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ 𝑁 = 0 → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))))
76 zdceq 9119 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 = 0)
7765, 76mpan2 421 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → DECID 𝑁 = 0)
78 exmiddc 821 . . . . . 6 (DECID 𝑁 = 0 → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
7977, 78syl 14 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
8079adantl 275 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ∨ ¬ 𝑁 = 0))
8120, 75, 80mpjaod 707 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))))
821, 81mpcom 36 . 2 (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀 → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁)))
8382imp 123 1 ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → (abs‘𝑀) = (abs‘𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104  wo 697  DECID wdc 819   = wceq 1331  wcel 1480  wne 2306   class class class wbr 3924  cfv 5118  cr 7612  0cc0 7613  cle 7794  cz 9047  abscabs 10762  cdvds 11482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2119  ax-coll 4038  ax-sep 4041  ax-nul 4049  ax-pow 4093  ax-pr 4126  ax-un 4350  ax-setind 4447  ax-iinf 4497  ax-cnex 7704  ax-resscn 7705  ax-1cn 7706  ax-1re 7707  ax-icn 7708  ax-addcl 7709  ax-addrcl 7710  ax-mulcl 7711  ax-mulrcl 7712  ax-addcom 7713  ax-mulcom 7714  ax-addass 7715  ax-mulass 7716  ax-distr 7717  ax-i2m1 7718  ax-0lt1 7719  ax-1rid 7720  ax-0id 7721  ax-rnegex 7722  ax-precex 7723  ax-cnre 7724  ax-pre-ltirr 7725  ax-pre-ltwlin 7726  ax-pre-lttrn 7727  ax-pre-apti 7728  ax-pre-ltadd 7729  ax-pre-mulgt0 7730  ax-pre-mulext 7731  ax-arch 7732  ax-caucvg 7733
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2000  df-mo 2001  df-clab 2124  df-cleq 2130  df-clel 2133  df-nfc 2268  df-ne 2307  df-nel 2402  df-ral 2419  df-rex 2420  df-reu 2421  df-rmo 2422  df-rab 2423  df-v 2683  df-sbc 2905  df-csb 2999  df-dif 3068  df-un 3070  df-in 3072  df-ss 3079  df-nul 3359  df-if 3470  df-pw 3507  df-sn 3528  df-pr 3529  df-op 3531  df-uni 3732  df-int 3767  df-iun 3810  df-br 3925  df-opab 3985  df-mpt 3986  df-tr 4022  df-id 4210  df-po 4213  df-iso 4214  df-iord 4283  df-on 4285  df-ilim 4286  df-suc 4288  df-iom 4500  df-xp 4540  df-rel 4541  df-cnv 4542  df-co 4543  df-dm 4544  df-rn 4545  df-res 4546  df-ima 4547  df-iota 5083  df-fun 5120  df-fn 5121  df-f 5122  df-f1 5123  df-fo 5124  df-f1o 5125  df-fv 5126  df-riota 5723  df-ov 5770  df-oprab 5771  df-mpo 5772  df-1st 6031  df-2nd 6032  df-recs 6195  df-frec 6281  df-pnf 7795  df-mnf 7796  df-xr 7797  df-ltxr 7798  df-le 7799  df-sub 7928  df-neg 7929  df-reap 8330  df-ap 8337  df-div 8426  df-inn 8714  df-2 8772  df-3 8773  df-4 8774  df-n0 8971  df-z 9048  df-uz 9320  df-q 9405  df-rp 9435  df-seqfrec 10212  df-exp 10286  df-cj 10607  df-re 10608  df-im 10609  df-rsqrt 10763  df-abs 10764  df-dvds 11483
This theorem is referenced by:  dvdseq  11535
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