ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  uz11 GIF version

Theorem uz11 9010
Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
uz11 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11
StepHypRef Expression
1 uzid 9002 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
2 eleq2 2151 . . . . . 6 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
3 eluzel2 8993 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl6bi 161 . . . . 5 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ))
51, 4mpan9 275 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6 uzid 9002 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
7 eleq2 2151 . . . . . . . . . . 11 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ𝑁)))
86, 7syl5ibr 154 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
9 eluzle 9000 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
108, 9syl6 33 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑀𝑁))
111, 2syl5ib 152 . . . . . . . . . 10 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑁)))
12 eluzle 9000 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑀)
1311, 12syl6 33 . . . . . . . . 9 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁𝑀))
1410, 13anim12d 328 . . . . . . . 8 ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
1514impl 372 . . . . . . 7 ((((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
1615ancoms 264 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
1716anassrs 392 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑁𝑀))
18 zre 8724 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
19 zre 8724 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20 letri3 7545 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2118, 19, 20syl2an 283 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2221adantlr 461 . . . . 5 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
2317, 22mpbird 165 . . . 4 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
245, 23mpdan 412 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
2524ex 113 . 2 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26 fveq2 5289 . 2 (𝑀 = 𝑁 → (ℤ𝑀) = (ℤ𝑁))
2725, 26impbid1 140 1 (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ𝑀) = (ℤ𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103   = wceq 1289  wcel 1438   class class class wbr 3837  cfv 5002  cr 7328  cle 7502  cz 8720  cuz 8988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3949  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-cnex 7415  ax-resscn 7416  ax-pre-ltirr 7436  ax-pre-apti 7439
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-id 4111  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-fv 5010  df-ov 5637  df-pnf 7503  df-mnf 7504  df-xr 7505  df-ltxr 7506  df-le 7507  df-neg 7635  df-z 8721  df-uz 8989
This theorem is referenced by:  fzopth  9443
  Copyright terms: Public domain W3C validator