Theorem uz11 9615

Description: The upper integers function is one-to-one. (Contributed by NM, 12-Dec-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uz11	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Proof of Theorem uz11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uzid 9606	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
2		eleq2 2257	. . . . . 6 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
3		eluzel2 9597	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	biimtrdi 163	. . . . 5 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ))
5	1, 4	mpan9 281	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6		uzid 9606	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
7		eleq2 2257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
8	6, 7	imbitrrid 156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
9		eluzle 9604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
10	8, 9	syl6 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℤ → 𝑀 ≤ 𝑁))
11	1, 2	imbitrid 154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁)))
12		eluzle 9604	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → 𝑁 ≤ 𝑀)
13	11, 12	syl6 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ 𝑀))
14	10, 13	anim12d 335	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
15	14	impl 380	. . . . . . 7 ⊢ ((((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
16	15	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ℤ)) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
17	16	anassrs 400	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀))
18		zre 9321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
19		zre 9321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
20		letri3 8100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
21	18, 19, 20	syl2an 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
22	21	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑀)))
23	17, 22	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 = 𝑁)
24	5, 23	mpdan 421	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁)) → 𝑀 = 𝑁)
25	24	ex 115	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) → 𝑀 = 𝑁))
26		fveq2 5554	. 2 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁))
27	25, 26	impbid1 142	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑁) ↔ 𝑀 = 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5254  ℝcr 7871   ≤ cle 8055  ℤcz 9317  ℤ_≥cuz 9592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-apti 7987

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-fv 5262  df-ov 5921  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-neg 8193  df-z 9318  df-uz 9593

This theorem is referenced by:  fzopth  10127