Theorem lgsabs1 14479

Description: The Legendre symbol is nonzero (and hence equal to 1 or -1) precisely when the arguments are coprime. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsabs1	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Proof of Theorem lgsabs1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lgscl 14454	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ)
3	2	abscld 11192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℝ)
4		1re 7958	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
5		letri3 8040	. . 3 ⊢ (((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)))))
6	3, 4, 5	sylancl 413	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)))))
7		lgsle1 14455	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1)
8	7	biantrurd 305	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)))))
9		nnne0 8949	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0)
10		neneq 2369	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0 → ¬ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0)
11	10	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0)
12		nn0abscl 11096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0)
13	1, 12	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0)
14		elnn0 9180	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0 ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ∨ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0))
15	13, 14	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ∨ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0))
16	15	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ∨ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0))
17	11, 16	ecased 1349	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ)
18	17	ex 115	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0 → (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ))
19	9, 18	impbid2 143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ↔ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0))
20		elnnnn0c 9223	. . . . 5 ⊢ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ↔ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁))))
21	20	baib 919	. . . 4 ⊢ ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ↔ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁))))
22	13, 21	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ∈ ℕ ↔ 1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁))))
23		abs00 11075	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 0 ↔ (𝐴 /L 𝑁) = 0))
24	23	necon3bid 2388	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 /L 𝑁) ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0 ↔ (𝐴 /L 𝑁) ≠ 0))
25	2, 24	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0 ↔ (𝐴 /L 𝑁) ≠ 0))
26		lgsne0 14478	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 /L 𝑁) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
27	25, 26	bitrd 188	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ≠ 0 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
28	19, 22, 27	3bitr3d 218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 ≤ (abs‘(𝐴 /L 𝑁)) ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
29	6, 8, 28	3bitr2d 216	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝐴 /L 𝑁)) = 1 ↔ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 708   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ≠ wne 2347   class class class wbr 4005  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  ℝcr 7812  0cc0 7813  1c1 7814   ≤ cle 7995  ℕcn 8921  ℕ₀cn0 9178  ℤcz 9255  abscabs 11008   gcd cgcd 11945   /_L clgs 14437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-irdg 6373  df-frec 6394  df-1o 6419  df-2o 6420  df-oadd 6423  df-er 6537  df-en 6743  df-dom 6744  df-fin 6745  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-fz 10011  df-fzo 10145  df-fl 10272  df-mod 10325  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-ihash 10758  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-clim 11289  df-proddc 11561  df-dvds 11797  df-gcd 11946  df-prm 12110  df-phi 12213  df-pc 12287  df-lgs 14438

This theorem is referenced by:  lgssq  14480  lgssq2  14481