Theorem nn0pzuz 9642

Description: The sum of a nonnegative integer and an integer is an integer greater than or equal to that integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0pzuz	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ≥‘𝑍))

Proof of Theorem nn0pzuz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → 𝑍 ∈ ℤ)
2		nn0z 9327	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
3		zaddcl 9347	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ)
4	2, 3	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ)
5		zre 9311	. . . 4 ⊢ (𝑍 ∈ ℤ → 𝑍 ∈ ℝ)
6		nn0addge2 9277	. . . 4 ⊢ ((𝑍 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
7	5, 6	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑍 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
8	7	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍))
9		eluz2 9588	. 2 ⊢ ((𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ≥‘𝑍) ↔ (𝑍 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 𝑍) ∈ ℤ ∧ 𝑍 ≤ (𝑁 + 𝑍)))
10	1, 4, 8, 9	syl3anbrc 1183	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑍 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑍) ∈ (ℤ≥‘𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164   class class class wbr 4029  ‘cfv 5246  (class class class)co 5910  ℝcr 7861   + caddc 7865   ≤ cle 8045  ℕ₀cn0 9230  ℤcz 9307  ℤ_≥cuz 9582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4462  ax-setind 4565  ax-cnex 7953  ax-resscn 7954  ax-1cn 7955  ax-1re 7956  ax-icn 7957  ax-addcl 7958  ax-addrcl 7959  ax-mulcl 7960  ax-addcom 7962  ax-addass 7964  ax-distr 7966  ax-i2m1 7967  ax-0lt1 7968  ax-0id 7970  ax-rnegex 7971  ax-cnre 7973  ax-pre-ltirr 7974  ax-pre-ltwlin 7975  ax-pre-lttrn 7976  ax-pre-ltadd 7978

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4322  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-iota 5207  df-fun 5248  df-fn 5249  df-f 5250  df-fv 5254  df-riota 5865  df-ov 5913  df-oprab 5914  df-mpo 5915  df-pnf 8046  df-mnf 8047  df-xr 8048  df-ltxr 8049  df-le 8050  df-sub 8182  df-neg 8183  df-inn 8973  df-n0 9231  df-z 9308  df-uz 9583

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem6  15125