ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qden1elz GIF version

Theorem qden1elz 11896
Description: A rational is an integer iff it has denominator 1. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
qden1elz (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))

Proof of Theorem qden1elz
StepHypRef Expression
1 qeqnumdivden 11885 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
21adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)))
3 oveq2 5782 . . . . 5 ((denom‘𝐴) = 1 → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
43adantl 275 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / (denom‘𝐴)) = ((numer‘𝐴) / 1))
5 qnumcl 11879 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℚ → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
65adantr 274 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℤ)
76zcnd 9188 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → (numer‘𝐴) ∈ ℂ)
87div1d 8554 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → ((numer‘𝐴) / 1) = (numer‘𝐴))
92, 4, 83eqtrd 2176 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 = (numer‘𝐴))
109, 6eqeltrd 2216 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ (denom‘𝐴) = 1) → 𝐴 ∈ ℤ)
11 simpr 109 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
1211zcnd 9188 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
1312div1d 8554 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐴 / 1) = 𝐴)
1413fveq2d 5425 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) = (denom‘𝐴))
15 1nn 8745 . . . . 5 1 ∈ ℕ
16 divdenle 11888 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
1711, 15, 16sylancl 409 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘(𝐴 / 1)) ≤ 1)
1814, 17eqbrtrrd 3952 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ≤ 1)
19 qdencl 11880 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℚ → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
2019adantr 274 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) ∈ ℕ)
21 nnle1eq1 8758 . . . 4 ((denom‘𝐴) ∈ ℕ → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
2220, 21syl 14 . . 3 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → ((denom‘𝐴) ≤ 1 ↔ (denom‘𝐴) = 1))
2318, 22mpbid 146 . 2 ((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (denom‘𝐴) = 1)
2410, 23impbida 585 1 (𝐴 ∈ ℚ → ((denom‘𝐴) = 1 ↔ 𝐴 ∈ ℤ))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480   class class class wbr 3929  cfv 5123  (class class class)co 5774  1c1 7635  cle 7815   / cdiv 8446  cn 8734  cz 9068  cq 9425  numercnumer 11872  denomcdenom 11873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7725  ax-resscn 7726  ax-1cn 7727  ax-1re 7728  ax-icn 7729  ax-addcl 7730  ax-addrcl 7731  ax-mulcl 7732  ax-mulrcl 7733  ax-addcom 7734  ax-mulcom 7735  ax-addass 7736  ax-mulass 7737  ax-distr 7738  ax-i2m1 7739  ax-0lt1 7740  ax-1rid 7741  ax-0id 7742  ax-rnegex 7743  ax-precex 7744  ax-cnre 7745  ax-pre-ltirr 7746  ax-pre-ltwlin 7747  ax-pre-lttrn 7748  ax-pre-apti 7749  ax-pre-ltadd 7750  ax-pre-mulgt0 7751  ax-pre-mulext 7752  ax-arch 7753  ax-caucvg 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-sup 6871  df-pnf 7816  df-mnf 7817  df-xr 7818  df-ltxr 7819  df-le 7820  df-sub 7949  df-neg 7950  df-reap 8351  df-ap 8358  df-div 8447  df-inn 8735  df-2 8793  df-3 8794  df-4 8795  df-n0 8992  df-z 9069  df-uz 9341  df-q 9426  df-rp 9456  df-fz 9805  df-fzo 9934  df-fl 10057  df-mod 10110  df-seqfrec 10233  df-exp 10307  df-cj 10628  df-re 10629  df-im 10630  df-rsqrt 10784  df-abs 10785  df-dvds 11507  df-gcd 11649  df-numer 11874  df-denom 11875
This theorem is referenced by:  nn0sqrtelqelz  11897
  Copyright terms: Public domain W3C validator