Theorem gcd1 12619

Description: The gcd of a number with 1 is 1. Theorem 1.4(d)1 in [ApostolNT] p. 16. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Feb-2014.)

Assertion

Ref	Expression
gcd1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Proof of Theorem gcd1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1z 9548	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
2		gcddvds 12595	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
3	1, 2	mpan2 425	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 𝑀 ∧ (𝑀 gcd 1) ∥ 1))
4	3	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∥ 1)
5		1ne0 9254	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ≠ 0
6		simpr 110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 = 0 ∧ 1 = 0) → 1 = 0)
7	6	necon3ai 2452	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ≠ 0 → ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0))
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)
9		gcdn0cl 12594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∧ 1 = 0)) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
10	8, 9	mpan2 425	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
11	1, 10	mpan2 425	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 9644	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ∈ ℤ)
13		1nn 9197	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ
14		dvdsle 12466	. . . 4 ⊢ (((𝑀 gcd 1) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ) → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
15	12, 13, 14	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ∥ 1 → (𝑀 gcd 1) ≤ 1))
16	4, 15	mpd 13	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) ≤ 1)
17		nnle1eq1 9210	. . 3 ⊢ ((𝑀 gcd 1) ∈ ℕ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
18	11, 17	syl 14	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 gcd 1) ≤ 1 ↔ (𝑀 gcd 1) = 1))
19	16, 18	mpbid 147	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 gcd 1) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202   ≠ wne 2403   class class class wbr 4093  (class class class)co 6028  0cc0 8075  1c1 8076   ≤ cle 8258  ℕcn 9186  ℤcz 9522   ∥ cdvds 12409   gcd cgcd 12585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-nul 4220  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-iinf 4692  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-mulrcl 8174  ax-addcom 8175  ax-mulcom 8176  ax-addass 8177  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-1rid 8182  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-precex 8185  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-apti 8190  ax-pre-ltadd 8191  ax-pre-mulgt0 8192  ax-pre-mulext 8193  ax-arch 8194  ax-caucvg 8195

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-if 3608  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-tr 4193  df-id 4396  df-po 4399  df-iso 4400  df-iord 4469  df-on 4471  df-ilim 4472  df-suc 4474  df-iom 4695  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-recs 6514  df-frec 6600  df-sup 7226  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-reap 8798  df-ap 8805  df-div 8896  df-inn 9187  df-2 9245  df-3 9246  df-4 9247  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-q 9897  df-rp 9932  df-fz 10287  df-fzo 10421  df-fl 10574  df-mod 10629  df-seqfrec 10754  df-exp 10845  df-cj 11463  df-re 11464  df-im 11465  df-rsqrt 11619  df-abs 11620  df-dvds 12410  df-gcd 12586

This theorem is referenced by:  1gcd  12624  lcm1  12714  dfphi2  12853  pockthlem  12990  lgs1  15843  lgsquad2lem2  15881