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Theorem pockthlem 12308
Description: Lemma for pockthg 12309. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pockthg.1 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3 (𝜑𝐵 < 𝐴)
pockthg.4 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthlem.5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
pockthlem.6 (𝜑𝑃𝑁)
pockthlem.7 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
pockthlem.8 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
pockthlem.9 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
pockthlem.10 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
pockthlem.11 (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
Assertion
Ref Expression
pockthlem (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

Proof of Theorem pockthlem
StepHypRef Expression
1 pockthlem.7 . . . . . 6 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
2 prmnn 12064 . . . . . 6 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
31, 2syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ ℕ)
4 pockthlem.8 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
54nnnn0d 9188 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
63, 5nnexpcld 10631 . . . 4 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
76nnzd 9333 . . 3 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
8 pockthlem.5 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 12064 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
108, 9syl 14 . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
11 pockthlem.9 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℤ)
1210nnzd 9333 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
13 gcddvds 11918 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
1411, 12, 13syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
1514simpld 111 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶)
1611, 12gcdcld 11923 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ0)
1716nn0zd 9332 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
18 pockthg.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
19 pockthg.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
20 pockthg.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐵 ∈ ℕ)
2119, 20nnmulcld 8927 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
22 nnuz 9522 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
2321, 22eleqtrdi 2263 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1))
24 eluzp1p1 9512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
2618, 25eqeltrd 2247 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
27 df-2 8937 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
2827fveq2i 5499 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
2926, 28eleqtrrdi 2264 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘2))
30 eluz2b2 9562 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (ℤ‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
3129, 30sylib 121 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
3231simpld 111 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3332nnzd 9333 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
3414simprd 113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃)
35 pockthlem.6 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃𝑁)
3617, 12, 33, 34, 35dvdstrd 11792 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁)
3732nnne0d 8923 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ≠ 0)
38 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
3938necon3ai 2389 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
4037, 39syl 14 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
41 dvdslegcd 11919 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
4217, 11, 33, 40, 41syl31anc 1236 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
4315, 36, 42mp2and 431 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁))
44 pockthlem.10 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
4544oveq1d 5868 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
46 1z 9238 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℤ
47 eluzp1m1 9510 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
4846, 26, 47sylancr 412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘1))
4948, 22eleqtrrdi 2264 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
5049nnnn0d 9188 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ0)
51 zexpcl 10491 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
5211, 50, 51syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
53 modgcd 11946 . . . . . . . . . 10 (((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
5452, 32, 53syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
55 gcdcom 11928 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
5646, 33, 55sylancr 412 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
57 gcd1 11942 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
5833, 57syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
5956, 58eqtrd 2203 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
6045, 54, 593eqtr3d 2211 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1)
61 rpexp 12107 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
6211, 33, 49, 61syl3anc 1233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
6360, 62mpbid 146 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑁) = 1)
6443, 63breqtrd 4015 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1)
6510nnne0d 8923 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ≠ 0)
66 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0) → 𝑃 = 0)
6766necon3ai 2389 . . . . . . . . 9 (𝑃 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
6865, 67syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
69 gcdn0cl 11917 . . . . . . . 8 (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
7011, 12, 68, 69syl21anc 1232 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
71 nnle1eq1 8902 . . . . . . 7 ((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
7270, 71syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
7364, 72mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
74 odzcl 12197 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
7510, 11, 73, 74syl3anc 1233 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
7675nnzd 9333 . . 3 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ)
77 prmuz2 12085 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
788, 77syl 14 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘2))
7978, 28eleqtrdi 2263 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
80 eluzp1m1 9510 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ‘(1 + 1))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1))
8146, 79, 80sylancr 412 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ‘1))
8281, 22eleqtrrdi 2264 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
8382nnzd 9333 . . 3 (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
8419nnzd 9333 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℤ)
8549nnzd 9333 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
86 pcdvds 12268 . . . . . . 7 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
871, 19, 86syl2anc 409 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
8820nnzd 9333 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℤ)
89 dvdsmul1 11775 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
9084, 88, 89syl2anc 409 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
9118oveq1d 5868 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 − 1) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1))
9221nncnd 8892 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
93 ax-1cn 7867 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
94 pncan 8125 . . . . . . . . 9 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
9592, 93, 94sylancl 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
9691, 95eqtrd 2203 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑁 − 1) = (𝐴 · 𝐵))
9790, 96breqtrrd 4017 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∥ (𝑁 − 1))
987, 84, 85, 87, 97dvdstrd 11792 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1))
996nnne0d 8923 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
100 dvdsval2 11752 . . . . . 6 (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
1017, 99, 85, 100syl3anc 1233 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
10298, 101mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
103 peano2zm 9250 . . . . . . . 8 ((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
10452, 103syl 14 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
105 nnq 9592 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
10632, 105syl 14 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℚ)
10731simprd 113 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 < 𝑁)
108 q1mod 10312 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
109106, 107, 108syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 mod 𝑁) = 1)
11044, 109eqtr4d 2206 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
111 1zzd 9239 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
112 moddvds 11761 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
11332, 52, 111, 112syl3anc 1233 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
114110, 113mpbid 146 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
11512, 33, 104, 35, 114dvdstrd 11792 . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
116 odzdvds 12199 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
11710, 11, 73, 50, 116syl31anc 1236 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
118115, 117mpbid 146 . . . . 5 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1))
11949nncnd 8892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
1206nncnd 8892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
1216nnap0d 8924 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) # 0)
122119, 120, 121divcanap1d 8708 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) = (𝑁 − 1))
123118, 122breqtrrd 4017 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))))
124 nprmdvds1 12094 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
1258, 124syl 14 . . . . 5 (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
1263nnzd 9333 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
127 iddvdsexp 11777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
128126, 4, 127syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
129126, 7, 85, 128, 98dvdstrd 11792 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑄 ∥ (𝑁 − 1))
1303nnne0d 8923 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ≠ 0)
131 dvdsval2 11752 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
132126, 130, 85, 131syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
133129, 132mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ)
13450nn0ge0d 9191 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 1))
13549nnred 8891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
1363nnred 8891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 ∈ ℝ)
1373nngt0d 8922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < 𝑄)
138 ge0div 8787 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
139135, 136, 137, 138syl3anc 1233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
140134, 139mpbid 146 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄))
141 elnn0z 9225 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0 ↔ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
142133, 140, 141sylanbrc 415 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0)
143 zexpcl 10491 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0) → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
14411, 142, 143syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
145 peano2zm 9250 . . . . . . . . 9 ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
146144, 145syl 14 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
147 dvdsgcd 11967 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
14812, 146, 33, 147syl3anc 1233 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
14935, 148mpan2d 426 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
150 odzdvds 12199 . . . . . . . 8 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ0) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
15110, 11, 73, 142, 150syl31anc 1236 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
1523nncnd 8892 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℂ)
1533nnap0d 8924 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 # 0)
1544nnzd 9333 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
155152, 153, 154expm1apd 10619 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)) = ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄))
156155oveq2d 5869 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
157135, 6nndivred 8928 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
158157recnd 7948 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
159158, 120, 152, 153divassapd 8743 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
160122oveq1d 5868 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
161156, 159, 1603eqtr2d 2209 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
162161breq2d 4001 . . . . . . 7 (𝜑 → (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
163151, 162bitr4d 190 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)))))
164 pockthlem.11 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
165164breq2d 4001 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 1))
166149, 163, 1653imtr3d 201 . . . . 5 (𝜑 → (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) → 𝑃 ∥ 1))
167125, 166mtod 658 . . . 4 (𝜑 → ¬ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))
168 prmpwdvds 12307 . . . 4 (((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ ((od𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ) ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∧ ¬ ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶))
169102, 76, 1, 4, 123, 167, 168syl222anc 1249 . . 3 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od𝑃)‘𝐶))
170 odzphi 12200 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
17110, 11, 73, 170syl3anc 1233 . . . 4 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
172 phiprm 12177 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
1738, 172syl 14 . . . 4 (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
174171, 173breqtrd 4015 . . 3 (𝜑 → ((od𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1))
1757, 76, 83, 169, 174dvdstrd 11792 . 2 (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1))
176 pcdvdsb 12273 . . 3 ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
1771, 83, 5, 176syl3anc 1233 . 2 (𝜑 → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
178175, 177mpbird 166 1 (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1348  wcel 2141  wne 2340   class class class wbr 3989  cfv 5198  (class class class)co 5853  cc 7772  cr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954  cle 7955  cmin 8090   / cdiv 8589  cn 8878  2c2 8929  0cn0 9135  cz 9212  cuz 9487  cq 9578   mod cmo 10278  cexp 10475  cdvds 11749   gcd cgcd 11897  cprime 12061  odcodz 12162  ϕcphi 12163   pCnt cpc 12238
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892  ax-arch 7893  ax-caucvg 7894
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3527  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-iord 4351  df-on 4353  df-ilim 4354  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-isom 5207  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-frec 6370  df-1o 6395  df-2o 6396  df-oadd 6399  df-er 6513  df-en 6719  df-dom 6720  df-fin 6721  df-sup 6961  df-inf 6962  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-div 8590  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-4 8939  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-q 9579  df-rp 9611  df-fz 9966  df-fzo 10099  df-fl 10226  df-mod 10279  df-seqfrec 10402  df-exp 10476  df-ihash 10710  df-cj 10806  df-re 10807  df-im 10808  df-rsqrt 10962  df-abs 10963  df-clim 11242  df-proddc 11514  df-dvds 11750  df-gcd 11898  df-prm 12062  df-odz 12164  df-phi 12165  df-pc 12239
This theorem is referenced by:  pockthg  12309
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