pockthlem - Intuitionistic Logic Explorer

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Theorem pockthlem 13158

Description: Lemma for pockthg 13159. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Mar-2014.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
pockthg.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
pockthg.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
pockthg.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 < 𝐴)
pockthg.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
pockthlem.5	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
pockthlem.6	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
pockthlem.7	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
pockthlem.8	⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
pockthlem.9	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
pockthlem.10	⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
pockthlem.11	⊢ (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)

**Assertion**
Ref	Expression
pockthlem	⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

**Proof of Theorem pockthlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		pockthlem.7	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℙ)
2		prmnn 12907	. . . . . 6 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℕ)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℕ)
4		pockthlem.8	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ)
5	4	nnnn0d 9625	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀)
6	3, 5	nnexpcld 11148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
7	6	nnzd 9772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
8		pockthlem.5	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
9		prmnn 12907	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
10	8, 9	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℕ)
11		pockthlem.9	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℤ)
12	10	nnzd 9772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
13		gcddvds 12759	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
14	11, 12, 13	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃))
15	14	simpld 112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶)
16	11, 12	gcdcld 12764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ₀)
17	16	nn0zd 9771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ)
18		pockthg.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = ((𝐴 · 𝐵) + 1))
19		pockthg.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
20		pockthg.2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℕ)
21	19, 20	nnmulcld 9356	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℕ)
22		nnuz 9968	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
23	21, 22	eleqtrdi 2331	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1))
24		eluzp1p1 9958	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐴 · 𝐵) ∈ (ℤ_≥‘1) → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) + 1) ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
26	18, 25	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
27		df-2 9366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = (1 + 1)
28	27	fveq2i 5698	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ_≥‘2) = (ℤ_≥‘(1 + 1))
29	26, 28	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2))
30		eluz2b2 10013	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘2) ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ ℕ ∧ 1 < 𝑁))
32	31	simpld 112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
33	32	nnzd 9772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
34	14	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑃)
35		pockthlem.6	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ 𝑁)
36	17, 12, 33, 34, 35	dvdstrd 12616	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁)
37	32	nnne0d 9352	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ≠ 0)
38		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
39	38	necon3ai 2469	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
40	37, 39	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
41		dvdslegcd 12760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
42	17, 11, 33, 40, 41	syl31anc 1281	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝐶 ∧ (𝐶 gcd 𝑃) ∥ 𝑁) → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁)))
43	15, 36, 42	mp2and 437	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ (𝐶 gcd 𝑁))
44		pockthlem.10	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = 1)
45	44	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = (1 gcd 𝑁))
46		1z 9675	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ ℤ
47		eluzp1m1 9956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
48	46, 26, 47	sylancr 418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
49	48, 22	eleqtrrdi 2332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ)
50	49	nnnn0d 9625	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀)
51		zexpcl 11006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
52	11, 50, 51	syl2anc 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ)
53		modgcd 12787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
54	52, 32, 53	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) gcd 𝑁) = ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁))
55		gcdcom 12769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
56	46, 33, 55	sylancr 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 1))
57		gcd1 12783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 gcd 1) = 1)
58	33, 57	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 gcd 1) = 1)
59	56, 58	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 gcd 𝑁) = 1)
60	45, 54, 59	3eqtr3d 2279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1)
61		rpexp 12951	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
62	11, 33, 49, 61	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑁) = 1))
63	60, 62	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑁) = 1)
64	43, 63	breqtrd 4156	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1)
65	10	nnne0d 9352	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ≠ 0)
66		simpr 110	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0) → 𝑃 = 0)
67	66	necon3ai 2469	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ≠ 0 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
68	65, 67	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0))
69		gcdn0cl 12758	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐶 = 0 ∧ 𝑃 = 0)) → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
70	11, 12, 68, 69	syl21anc 1277	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ)
71		nnle1eq1 9331	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 gcd 𝑃) ∈ ℕ → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
72	70, 71	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 gcd 𝑃) ≤ 1 ↔ (𝐶 gcd 𝑃) = 1))
73	64, 72	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 gcd 𝑃) = 1)
74		odzcl 13045	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
75	10, 11, 73, 74	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℕ)
76	75	nnzd 9772	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ)
77		prmuz2 12929	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
78	8, 77	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘2))
79	78, 28	eleqtrdi 2331	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1)))
80		eluzp1m1 9956	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℤ_≥‘(1 + 1))) → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
81	46, 79, 80	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
82	81, 22	eleqtrrdi 2332	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
83	82	nnzd 9772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
84	19	nnzd 9772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℤ)
85	49	nnzd 9772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
86		pcdvds 13117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
87	1, 19, 86	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
88	20	nnzd 9772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℤ)
89		dvdsmul1 12599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
90	84, 88, 89	syl2anc 415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝐴 · 𝐵))
91	18	oveq1d 6100	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) = (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1))
92	21	nncnd 9321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
93		ax-1cn 8273	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℂ
94		pncan 8534	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
95	92, 93, 94	sylancl 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝐵) + 1) − 1) = (𝐴 · 𝐵))
96	91, 95	eqtrd 2271	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) = (𝐴 · 𝐵))
97	90, 96	breqtrrd 4158	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∥ (𝑁 − 1))
98	7, 84, 85, 87, 97	dvdstrd 12616	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1))
99	6	nnne0d 9352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0)
100		dvdsval2 12576	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ ∧ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
101	7, 99, 85, 100	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ))
102	98, 101	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ)
103		peano2zm 9687	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
104	52, 103	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
105		nnq 10043	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℚ)
106	32, 105	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℚ)
107	31	simprd 114	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 1 < 𝑁)
108		q1mod 10808	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℚ ∧ 1 < 𝑁) → (1 mod 𝑁) = 1)
109	106, 107, 108	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1 mod 𝑁) = 1)
110	44, 109	eqtr4d 2274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁))
111		1zzd 9676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
112		moddvds 12585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝐶↑(𝑁 − 1)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
113	32, 52, 111, 112	syl3anc 1278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1)))
114	110, 113	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
115	12, 33, 104, 35, 114	dvdstrd 12616	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1))
116		odzdvds 13047	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℕ₀) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
117	10, 11, 73, 50, 116	syl31anc 1281	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑(𝑁 − 1)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1)))
118	115, 117	mpbid 147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑁 − 1))
119	49	nncnd 9321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
120	6	nncnd 9321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∈ ℂ)
121	6	nnap0d 9353	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) # 0)
122	119, 120, 121	divcanap1d 9124	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) = (𝑁 − 1))
123	118, 122	breqtrrd 4158	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))))
124		nprmdvds1 12938	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → ¬ 𝑃 ∥ 1)
125	8, 124	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∥ 1)
126	3	nnzd 9772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
127		iddvdsexp 12601	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
128	126, 4, 127	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)))
129	126, 7, 85, 128, 98	dvdstrd 12616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∥ (𝑁 − 1))
130	3	nnne0d 9352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ 0)
131		dvdsval2 12576	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ≠ 0 ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ) → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
132	126, 130, 85, 131	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑄 ∥ (𝑁 − 1) ↔ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ))
133	129, 132	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ)
134	50	nn0ge0d 9628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑁 − 1))
135	49	nnred 9320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
136	3	nnred 9320	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℝ)
137	3	nngt0d 9351	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑄)
138		ge0div 9204	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑄 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑄) → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
139	135, 136, 137, 138	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑁 − 1) ↔ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
140	134, 139	mpbid 147	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄))
141		elnn0z 9662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀ ↔ (((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
142	133, 140, 141	sylanbrc 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀)
143		zexpcl 11006	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℤ ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀) → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
144	11, 142, 143	syl2anc 415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ)
145		peano2zm 9687	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) ∈ ℤ → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
146	144, 145	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ)
147		dvdsgcd 12808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
148	12, 146, 33, 147	syl3anc 1278	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ∧ 𝑃 ∥ 𝑁) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
149	35, 148	mpan2d 432	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) → 𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁)))
150		odzdvds 13047	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) ∧ ((𝑁 − 1) / 𝑄) ∈ ℕ₀) → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
151	10, 11, 73, 142, 150	syl31anc 1281	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
152	3	nncnd 9321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℂ)
153	3	nnap0d 9353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 # 0)
154	4	nnzd 9772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℤ)
155	152, 153, 154	expm1apd 11136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)) = ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄))
156	155	oveq2d 6101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
157	135, 6	nndivred 9357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℝ)
158	157	recnd 8355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℂ)
159	158, 120, 152, 153	divassapd 9159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · ((𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) / 𝑄)))
160	122	oveq1d 6100	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) / 𝑄) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
161	156, 159, 160	3eqtr2d 2277	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) = ((𝑁 − 1) / 𝑄))
162	161	breq2d 4142	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ ((𝑁 − 1) / 𝑄)))
163	151, 162	bitr4d 191	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ ((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) ↔ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1)))))
164		pockthlem.11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) = 1)
165	164	breq2d 4142	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∥ (((𝐶↑((𝑁 − 1) / 𝑄)) − 1) gcd 𝑁) ↔ 𝑃 ∥ 1))
166	149, 163, 165	3imtr3d 202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))) → 𝑃 ∥ 1))
167	125, 166	mtod 673	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))
168		prmpwdvds 13157	. . . 4 ⊢ (((((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∈ ℤ ∧ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∈ ℤ) ∧ (𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ) ∧ (((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) ∧ ¬ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (((𝑁 − 1) / (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴))) · (𝑄↑((𝑄 pCnt 𝐴) − 1))))) → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶))
169	102, 76, 1, 4, 123, 167, 168	syl222anc 1294	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶))
170		odzphi 13048	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝐶 ∈ ℤ ∧ (𝐶 gcd 𝑃) = 1) → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
171	10, 11, 73, 170	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (ϕ‘𝑃))
172		phiprm 13024	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
173	8, 172	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ϕ‘𝑃) = (𝑃 − 1))
174	171, 173	breqtrd 4156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((od_ℤ‘𝑃)‘𝐶) ∥ (𝑃 − 1))
175	7, 76, 83, 169, 174	dvdstrd 12616	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1))
176		pcdvdsb 13122	. . 3 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℤ ∧ (𝑄 pCnt 𝐴) ∈ ℕ₀) → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
177	1, 83, 5, 176	syl3anc 1278	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)) ↔ (𝑄↑(𝑄 pCnt 𝐴)) ∥ (𝑃 − 1)))
178	175, 177	mpbird 167	1 ⊢ (𝜑 → (𝑄 pCnt 𝐴) ≤ (𝑄 pCnt (𝑃 − 1)))

Colors of variables: wff set class

This proof depends on syntax axioms: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 104 ↔ wb 105 = wceq 1402 ∈ wcel 2209 ≠ wne 2420 class class class wbr 4130 ‘cfv 5377 (class class class)co 6085 ℂcc 8178 ℝcr 8179 0cc0 8180 1c1 8181 + caddc 8183 · cmul 8185 < clt 8361 ≤ cle 8362 − cmin 8499 / cdiv 9005 ℕcn 9307 2c2 9358 ℕ₀cn0 9568 ℤcz 9649 ℤ_≥cuz 9931 ℚcq 10029 mod cmo 10774 ↑cexp 10990 ∥ cdvds 12573 gcd cgcd 12749 ℙcprime 12904 od_ℤcodz 13009 ϕcphi 13010 pCnt cpc 13086

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 623 ax-in2 624 ax-io 721 ax-5 1500 ax-7 1501 ax-gen 1502 ax-ie1 1546 ax-ie2 1547 ax-8 1557 ax-10 1558 ax-11 1559 ax-i12 1560 ax-bndl 1562 ax-4 1563 ax-17 1579 ax-i9 1583 ax-ial 1587 ax-i5r 1588 ax-14 2212 ax-ext 2220 ax-coll 4246 ax-sep 4249 ax-nul 4259 ax-pow 4311 ax-pr 4346 ax-un 4578 ax-setind 4684 ax-iinf 4735 ax-cnex 8271 ax-resscn 8272 ax-1cn 8273 ax-1re 8274 ax-icn 8275 ax-addcl 8276 ax-addrcl 8277 ax-mulcl 8278 ax-mulrcl 8279 ax-addcom 8280 ax-mulcom 8281 ax-addass 8282 ax-mulass 8283 ax-distr 8284 ax-i2m1 8285 ax-0lt1 8286 ax-1rid 8287 ax-0id 8288 ax-rnegex 8289 ax-precex 8290 ax-cnre 8291 ax-pre-ltirr 8292 ax-pre-ltwlin 8293 ax-pre-lttrn 8294 ax-pre-apti 8295 ax-pre-ltadd 8296 ax-pre-mulgt0 8297 ax-pre-mulext 8298 ax-arch 8299 ax-caucvg 8300

This proof depends on definitions: df-bi 117 df-stab 843 df-dc 847 df-3or 1010 df-3an 1011 df-tru 1405 df-fal 1408 df-nf 1514 df-sb 1816 df-eu 2089 df-mo 2090 df-clab 2225 df-cleq 2231 df-clel 2234 df-nfc 2381 df-ne 2421 df-nel 2516 df-ral 2533 df-rex 2534 df-reu 2535 df-rmo 2536 df-rab 2537 df-v 2823 df-sbc 3052 df-csb 3148 df-dif 3222 df-un 3224 df-in 3226 df-ss 3233 df-nul 3521 df-if 3639 df-pw 3690 df-sn 3715 df-pr 3716 df-op 3718 df-uni 3936 df-int 3971 df-iun 4014 df-br 4131 df-opab 4193 df-mpt 4194 df-tr 4230 df-id 4438 df-po 4441 df-iso 4442 df-iord 4511 df-on 4513 df-ilim 4514 df-suc 4516 df-iom 4738 df-xp 4780 df-rel 4781 df-cnv 4782 df-co 4783 df-dm 4784 df-rn 4785 df-res 4786 df-ima 4787 df-iota 5337 df-fun 5379 df-fn 5380 df-f 5381 df-f1 5382 df-fo 5383 df-f1o 5384 df-fv 5385 df-isom 5386 df-riota 6038 df-ov 6088 df-oprab 6089 df-mpo 6090 df-1st 6374 df-2nd 6375 df-recs 6576 df-irdg 6641 df-frec 6662 df-1o 6687 df-2o 6688 df-oadd 6691 df-er 6807 df-en 7023 df-dom 7024 df-fin 7025 df-sup 7325 df-inf 7326 df-pnf 8363 df-mnf 8364 df-xr 8365 df-ltxr 8366 df-le 8367 df-sub 8501 df-neg 8502 df-reap 8906 df-ap 8913 df-div 9006 df-inn 9308 df-2 9366 df-3 9367 df-4 9368 df-n0 9569 df-z 9650 df-uz 9932 df-q 10030 df-rp 10066 df-fz 10423 df-fzo 10561 df-fl 10716 df-mod 10775 df-seqfrec 10900 df-exp 10991 df-ihash 11231 df-cj 11623 df-re 11624 df-im 11625 df-rsqrt 11780 df-abs 11781 df-clim 12064 df-proddc 12337 df-dvds 12574 df-gcd 12750 df-prm 12905 df-odz 13011 df-phi 13012 df-pc 13087

This theorem is used by: pockthg 13159

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