Theorem rngass 13310

Description: Associative law for the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngass	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2189	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	rngmgp 13307	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
4		simpr1 1005	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		rngass.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 13297	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8	4, 7	eleqtrd 2268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9		simpr2 1006	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9, 7	eleqtrd 2268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11		simpr3 1007	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	11, 7	eleqtrd 2268	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2189	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
15	13, 14	sgrpass 12886	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
16	3, 8, 10, 12, 15	syl13anc 1251	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
17		rngass.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpplusgg 13295	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 5914	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
20	18	oveqd 5914	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	20	oveq1d 5912	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
22	19, 21	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
23	18	oveqd 5914	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)))
24	18	oveqd 5914	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑌 · 𝑍) = (𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
25	24	oveq2d 5913	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
26	23, 25	eqtrd 2222	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
27	22, 26	eqeq12d 2204	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) ↔ ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))))
28	27	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) ↔ ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))))
29	16, 28	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5235  (class class class)co 5897  Basecbs 12515  +_gcplusg 12592  ._rcmulr 12593  Smgrpcsgrp 12879  mulGrpcmgp 13291  Rngcrng 13303

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-addcom 7942  ax-addass 7944  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltadd 7958

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-ltxr 8028  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-sgrp 12880  df-mgp 13292  df-rng 13304

This theorem is referenced by:  rngressid  13325  imasrng  13327  opprrng  13444  issubrng2  13574