Theorem rngass 14083

Description: Associative law for the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngass	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	rngmgp 14080	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
4		simpr1 1030	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		rngass.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 14070	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8	4, 7	eleqtrd 2311	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9		simpr2 1031	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9, 7	eleqtrd 2311	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11		simpr3 1032	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	11, 7	eleqtrd 2311	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2232	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
15	13, 14	sgrpass 13621	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
16	3, 8, 10, 12, 15	syl13anc 1276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
17		rngass.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpplusgg 14068	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 6067	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
20	18	oveqd 6067	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	20	oveq1d 6065	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
22	19, 21	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
23	18	oveqd 6067	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)))
24	18	oveqd 6067	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑌 · 𝑍) = (𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
25	24	oveq2d 6066	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
26	23, 25	eqtrd 2265	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
27	22, 26	eqeq12d 2247	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) ↔ ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))))
28	27	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) ↔ ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))))
29	16, 28	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Basecbs 13212  +_gcplusg 13290  ._rcmulr 13291  Smgrpcsgrp 13614  mulGrpcmgp 14064  Rngcrng 14076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-3 9297  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-plusg 13303  df-mulr 13304  df-sgrp 13615  df-mgp 14065  df-rng 14077

This theorem is referenced by:  rngressid  14098  imasrng  14100  opprrng  14221  issubrng2  14355