Theorem rngass 13435

Description: Associative law for the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngass	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	rngmgp 13432	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
4		simpr1 1005	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		rngass.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 13422	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8	4, 7	eleqtrd 2272	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9		simpr2 1006	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9, 7	eleqtrd 2272	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11		simpr3 1007	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	11, 7	eleqtrd 2272	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2193	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
15	13, 14	sgrpass 12991	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
16	3, 8, 10, 12, 15	syl13anc 1251	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
17		rngass.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpplusgg 13420	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 5935	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
20	18	oveqd 5935	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	20	oveq1d 5933	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
22	19, 21	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
23	18	oveqd 5935	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)))
24	18	oveqd 5935	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑌 · 𝑍) = (𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
25	24	oveq2d 5934	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
26	23, 25	eqtrd 2226	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
27	22, 26	eqeq12d 2208	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) ↔ ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))))
28	27	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) ↔ ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))))
29	16, 28	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  Smgrpcsgrp 12984  mulGrpcmgp 13416  Rngcrng 13428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-sgrp 12985  df-mgp 13417  df-rng 13429

This theorem is referenced by:  rngressid  13450  imasrng  13452  opprrng  13573  issubrng2  13706