Theorem rngass 13701

Description: Associative law for the multiplication operation of a non-unital ring. (Contributed by NM, 27-Aug-2011.) (Revised by AV, 13-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngass.t	⊢ · = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngass	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Proof of Theorem rngass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2205	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
2	1	rngmgp 13698	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
3	2	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
4		simpr1 1006	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		rngass.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
6	1, 5	mgpbasg 13688	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
8	4, 7	eleqtrd 2284	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
9		simpr2 1007	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	9, 7	eleqtrd 2284	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
11		simpr3 1008	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ 𝐵)
12	11, 7	eleqtrd 2284	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
13		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
14		eqid 2205	. . . 4 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
15	13, 14	sgrpass 13240	. . 3 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)) ∧ 𝑍 ∈ (Base‘(mulGrp‘𝑅)))) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
16	3, 8, 10, 12, 15	syl13anc 1252	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
17		rngass.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
18	1, 17	mgpplusgg 13686	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → · = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
19	18	oveqd 5961	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
20	18	oveqd 5961	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌))
21	20	oveq1d 5959	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
22	19, 21	eqtrd 2238	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
23	18	oveqd 5961	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)))
24	18	oveqd 5961	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑌 · 𝑍) = (𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))
25	24	oveq2d 5960	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
26	23, 25	eqtrd 2238	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍)))
27	22, 26	eqeq12d 2220	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) ↔ ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))))
28	27	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)) ↔ ((𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑌)(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍) = (𝑋(+g‘(mulGrp‘𝑅))(𝑌(+g‘(mulGrp‘𝑅))𝑍))))
29	16, 28	mpbird 167	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · 𝑌) · 𝑍) = (𝑋 · (𝑌 · 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 981   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  ‘cfv 5271  (class class class)co 5944  Basecbs 12832  +_gcplusg 12909  ._rcmulr 12910  Smgrpcsgrp 13233  mulGrpcmgp 13682  Rngcrng 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-fv 5279  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-sgrp 13234  df-mgp 13683  df-rng 13695

This theorem is referenced by:  rngressid  13716  imasrng  13718  opprrng  13839  issubrng2  13972