Theorem rngmneg2 13967

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg2 8575 analog). In contrast to ringmneg2 14073, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 13957	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grplinvd 13643	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq2d 6034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
11		rngneglmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rngrz 13965	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2264	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 13963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 11, 8, 16	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 13637	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 13963	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 11, 18, 19	syl3anc 1273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid2 13641	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1273	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdi 13959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
25	5, 11, 18, 8, 24	syl13anc 1275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
26	25	eqeq1d 2240	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)))
29	28	eqcomd 2237	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1004   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ‘cfv 5326  (class class class)co 6018  Basecbs 13087  +_gcplusg 13165  ._rcmulr 13166  0_gc0g 13344  Grpcgrp 13588  inv_gcminusg 13589  Rngcrng 13951

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1cn 8125  ax-1re 8126  ax-icn 8127  ax-addcl 8128  ax-addrcl 8129  ax-mulcl 8130  ax-addcom 8132  ax-addass 8134  ax-i2m1 8137  ax-0lt1 8138  ax-0id 8140  ax-rnegex 8141  ax-pre-ltirr 8144  ax-pre-ltadd 8148

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5971  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-pnf 8216  df-mnf 8217  df-ltxr 8219  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-ndx 13090  df-slot 13091  df-base 13093  df-sets 13094  df-plusg 13178  df-mulr 13179  df-0g 13346  df-mgm 13444  df-sgrp 13490  df-mnd 13505  df-grp 13591  df-minusg 13592  df-abl 13879  df-mgp 13940  df-rng 13952

This theorem is referenced by:  rngm2neg  13968  rngsubdi  13970