Theorem rngmneg2 13681

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg2 8467 analog). In contrast to ringmneg2 13787, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 13671	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grplinvd 13358	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq2d 5959	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
11		rngneglmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rngrz 13679	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2237	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 13677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 11, 8, 16	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 13352	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 13677	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 11, 18, 19	syl3anc 1249	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid2 13356	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdi 13673	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
25	5, 11, 18, 8, 24	syl13anc 1251	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
26	25	eqeq1d 2213	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)))
29	28	eqcomd 2210	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ‘cfv 5270  (class class class)co 5943  Basecbs 12803  +_gcplusg 12880  ._rcmulr 12881  0_gc0g 13059  Grpcgrp 13303  inv_gcminusg 13304  Rngcrng 13665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-addcom 8024  ax-addass 8026  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltadd 8040

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-ltxr 8111  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-ndx 12806  df-slot 12807  df-base 12809  df-sets 12810  df-plusg 12893  df-mulr 12894  df-0g 13061  df-mgm 13159  df-sgrp 13205  df-mnd 13220  df-grp 13306  df-minusg 13307  df-abl 13594  df-mgp 13654  df-rng 13666

This theorem is referenced by:  rngm2neg  13682  rngsubdi  13684