Theorem rngmneg2 14331

Description: Negation of a product in a non-unital ring (mulneg2 8725 analog). In contrast to ringmneg2 14443, the proof does not (and cannot) make use of the existence of a ring unity. (Contributed by AV, 17-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngneglmul.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngneglmul.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngneglmul.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
rngneglmul.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngneglmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
rngneglmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
rngmneg2	⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem rngmneg2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngneglmul.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4		rngneglmul.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
5		rngneglmul.r	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
6		rnggrp 14321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
7	5, 6	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
8		rngneglmul.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 7, 8	grplinvd 13913	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌) = (0g‘𝑅))
10	9	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (𝑋 · (0g‘𝑅)))
11		rngneglmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
12		rngneglmul.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.r‘𝑅)
13	1, 12, 3	rngrz 14329	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
14	5, 11, 13	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
15	10, 14	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅))
16	1, 12	rngcl 14327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
17	5, 11, 8, 16	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵)
18	1, 4, 7, 8	grpinvcld 13907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵)
19	1, 12	rngcl 14327	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
20	5, 11, 18, 19	syl3anc 1278	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵)
21	1, 2, 3, 4	grpinvid2 13911	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋 · 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
22	7, 17, 20, 21	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅)))
23	1, 2, 12	rngdi 14323	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)))
24	23	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
25	5, 11, 18, 8, 24	syl13anc 1280	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)))
26	25	eqeq1d 2247	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 · (𝑁‘𝑌))(+g‘𝑅)(𝑋 · 𝑌)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
27	22, 26	bitrd 188	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) ↔ (𝑋 · ((𝑁‘𝑌)(+g‘𝑅)𝑌)) = (0g‘𝑅)))
28	15, 27	mpbird 167	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)) = (𝑋 · (𝑁‘𝑌)))
29	28	eqcomd 2244	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · (𝑁‘𝑌)) = (𝑁‘(𝑋 · 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  Basecbs 13404  +_gcplusg 13484  ._rcmulr 13485  0_gc0g 13663  Grpcgrp 13858  inv_gcminusg 13859  Rngcrng 14315

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-addcom 8280  ax-addass 8282  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltadd 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-ltxr 8366  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-0g 13665  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-abl 14174  df-mgp 14302  df-rng 14316

This theorem is used by:  rngm2neg  14332  rngsubdi  14334