Theorem 1exp 10802

Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 8152	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 3697	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		1ap0 8748	. . 3 ⊢ 1 # 0
4		ax-1cn 8103	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 3812	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 3684	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 3684	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 6016	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 9274	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		eleq1 2292	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
14	1, 13	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ V)
15		elsng 3681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
17	16	ibir 177	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
18	12, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
19	7	oveq2d 6023	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
20		1div1e1 8862	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2278	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
22		eleq1 2292	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
23	1, 22	mpbiri 168	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ V)
24		elsng 3681	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ V → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
26	25	ibir 177	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1})
27	21, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
28	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
29	6, 18, 2, 28	expcl2lemap 10785	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
30	2, 3, 29	mp3an12 1361	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
31		elsni 3684	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
32	30, 31	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  {csn 3666   class class class wbr 4083  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  0cc0 8010  1c1 8011   · cmul 8015   # cap 8739   / cdiv 8830  ℤcz 9457  ↑cexp 10772

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-mulrcl 8109  ax-addcom 8110  ax-mulcom 8111  ax-addass 8112  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-1rid 8117  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-precex 8120  ax-cnre 8121  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltwlin 8123  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-apti 8125  ax-pre-ltadd 8126  ax-pre-mulgt0 8127  ax-pre-mulext 8128

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-if 3603  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-iord 4457  df-on 4459  df-ilim 4460  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-recs 6457  df-frec 6543  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-xr 8196  df-ltxr 8197  df-le 8198  df-sub 8330  df-neg 8331  df-reap 8733  df-ap 8740  df-div 8831  df-inn 9122  df-n0 9381  df-z 9458  df-uz 9734  df-seqfrec 10682  df-exp 10773

This theorem is referenced by:  exprecap  10814  sq1  10867  iexpcyc  10878  binom1p  12011  binom11  12012  esum  12188  ege2le3  12197  eirraplem  12303  odzdvds  12783  ef2kpi  15495  lgseisenlem1  15764  lgseisenlem4  15767  lgseisen  15768  lgsquadlem1  15771  lgsquad2lem1  15775  m1lgs  15779