Theorem 1exp 10642

Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 8016	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 3650	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		1ap0 8611	. . 3 ⊢ 1 # 0
4		ax-1cn 7967	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 3763	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 3637	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 3637	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 5928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 9137	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		eleq1 2256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
14	1, 13	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ V)
15		elsng 3634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
17	16	ibir 177	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
18	12, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
19	7	oveq2d 5935	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
20		1div1e1 8725	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2242	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
22		eleq1 2256	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
23	1, 22	mpbiri 168	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ V)
24		elsng 3634	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ V → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
26	25	ibir 177	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1})
27	21, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
28	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
29	6, 18, 2, 28	expcl2lemap 10625	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
30	2, 3, 29	mp3an12 1338	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
31		elsni 3637	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
32	30, 31	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ⊆ wss 3154  {csn 3619   class class class wbr 4030  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  0cc0 7874  1c1 7875   · cmul 7879   # cap 8602   / cdiv 8693  ℤcz 9320  ↑cexp 10612

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-pre-mulext 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-po 4328  df-iso 4329  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-recs 6360  df-frec 6446  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-ap 8603  df-div 8694  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-seqfrec 10522  df-exp 10613

This theorem is referenced by:  exprecap  10654  sq1  10707  iexpcyc  10718  binom1p  11631  binom11  11632  esum  11808  ege2le3  11817  eirraplem  11923  odzdvds  12386  ef2kpi  14982  lgseisenlem1  15227  lgseisenlem4  15230  lgseisen  15231  lgsquadlem1  15234  lgsquad2lem1  15238  m1lgs  15242