Theorem 1exp 10480

Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 7890	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 3606	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		1ap0 8484	. . 3 ⊢ 1 # 0
4		ax-1cn 7842	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 3716	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 3593	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 3593	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 5850	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 9005	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2214	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 287	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		eleq1 2228	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
14	1, 13	mpbiri 167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ V)
15		elsng 3590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
17	16	ibir 176	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
18	12, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
19	7	oveq2d 5857	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
20		1div1e1 8596	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2214	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
22		eleq1 2228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
23	1, 22	mpbiri 167	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ V)
24		elsng 3590	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ V → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
26	25	ibir 176	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1})
27	21, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
28	27	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
29	6, 18, 2, 28	expcl2lemap 10463	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
30	2, 3, 29	mp3an12 1317	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
31		elsni 3593	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
32	30, 31	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  Vcvv 2725   ⊆ wss 3115  {csn 3575   class class class wbr 3981  (class class class)co 5841  ℂcc 7747  0cc0 7749  1c1 7750   · cmul 7754   # cap 8475   / cdiv 8564  ℤcz 9187  ↑cexp 10450

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4096  ax-sep 4099  ax-nul 4107  ax-pow 4152  ax-pr 4186  ax-un 4410  ax-setind 4513  ax-iinf 4564  ax-cnex 7840  ax-resscn 7841  ax-1cn 7842  ax-1re 7843  ax-icn 7844  ax-addcl 7845  ax-addrcl 7846  ax-mulcl 7847  ax-mulrcl 7848  ax-addcom 7849  ax-mulcom 7850  ax-addass 7851  ax-mulass 7852  ax-distr 7853  ax-i2m1 7854  ax-0lt1 7855  ax-1rid 7856  ax-0id 7857  ax-rnegex 7858  ax-precex 7859  ax-cnre 7860  ax-pre-ltirr 7861  ax-pre-ltwlin 7862  ax-pre-lttrn 7863  ax-pre-apti 7864  ax-pre-ltadd 7865  ax-pre-mulgt0 7866  ax-pre-mulext 7867

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2296  df-ne 2336  df-nel 2431  df-ral 2448  df-rex 2449  df-reu 2450  df-rmo 2451  df-rab 2452  df-v 2727  df-sbc 2951  df-csb 3045  df-dif 3117  df-un 3119  df-in 3121  df-ss 3128  df-nul 3409  df-if 3520  df-pw 3560  df-sn 3581  df-pr 3582  df-op 3584  df-uni 3789  df-int 3824  df-iun 3867  df-br 3982  df-opab 4043  df-mpt 4044  df-tr 4080  df-id 4270  df-po 4273  df-iso 4274  df-iord 4343  df-on 4345  df-ilim 4346  df-suc 4348  df-iom 4567  df-xp 4609  df-rel 4610  df-cnv 4611  df-co 4612  df-dm 4613  df-rn 4614  df-res 4615  df-ima 4616  df-iota 5152  df-fun 5189  df-fn 5190  df-f 5191  df-f1 5192  df-fo 5193  df-f1o 5194  df-fv 5195  df-riota 5797  df-ov 5844  df-oprab 5845  df-mpo 5846  df-1st 6105  df-2nd 6106  df-recs 6269  df-frec 6355  df-pnf 7931  df-mnf 7932  df-xr 7933  df-ltxr 7934  df-le 7935  df-sub 8067  df-neg 8068  df-reap 8469  df-ap 8476  df-div 8565  df-inn 8854  df-n0 9111  df-z 9188  df-uz 9463  df-seqfrec 10377  df-exp 10451

This theorem is referenced by:  exprecap  10492  sq1  10544  iexpcyc  10555  binom1p  11422  binom11  11423  esum  11599  ege2le3  11608  eirraplem  11713  odzdvds  12173  ef2kpi  13327