Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1exp GIF version

Theorem 1exp 10441
 Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 7867 . . . 4 1 ∈ V
21snid 3591 . . 3 1 ∈ {1}
3 1ap0 8459 . . 3 1 # 0
4 ax-1cn 7819 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 snssi 3700 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
64, 5ax-mp 5 . . . 4 {1} ⊆ ℂ
7 elsni 3578 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8 elsni 3578 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9 oveq12 5830 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10 1t1e1 8979 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
119, 10eqtrdi 2206 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
127, 8, 11syl2an 287 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13 eleq1 2220 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
141, 13mpbiri 167 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ V)
15 elsng 3575 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
1614, 15syl 14 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
1716ibir 176 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
1812, 17syl 14 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
197oveq2d 5837 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
20 1div1e1 8571 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
2119, 20eqtrdi 2206 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
22 eleq1 2220 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
231, 22mpbiri 167 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ V)
24 elsng 3575 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑥) ∈ V → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
2523, 24syl 14 . . . . . . 7 ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
2625ibir 176 . . . . . 6 ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2721, 26syl 14 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2827adantr 274 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
296, 18, 2, 28expcl2lemap 10424 . . 3 ((1 ∈ {1} ∧ 1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
302, 3, 29mp3an12 1309 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
31 elsni 3578 . 2 ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
3230, 31syl 14 1 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712   ⊆ wss 3102  {csn 3560   class class class wbr 3965  (class class class)co 5821  ℂcc 7724  0cc0 7726  1c1 7727   · cmul 7731   # cap 8450   / cdiv 8539  ℤcz 9161  ↑cexp 10411 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-nul 4090  ax-pow 4135  ax-pr 4169  ax-un 4393  ax-setind 4495  ax-iinf 4546  ax-cnex 7817  ax-resscn 7818  ax-1cn 7819  ax-1re 7820  ax-icn 7821  ax-addcl 7822  ax-addrcl 7823  ax-mulcl 7824  ax-mulrcl 7825  ax-addcom 7826  ax-mulcom 7827  ax-addass 7828  ax-mulass 7829  ax-distr 7830  ax-i2m1 7831  ax-0lt1 7832  ax-1rid 7833  ax-0id 7834  ax-rnegex 7835  ax-precex 7836  ax-cnre 7837  ax-pre-ltirr 7838  ax-pre-ltwlin 7839  ax-pre-lttrn 7840  ax-pre-apti 7841  ax-pre-ltadd 7842  ax-pre-mulgt0 7843  ax-pre-mulext 7844 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rmo 2443  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3395  df-if 3506  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-int 3808  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-tr 4063  df-id 4253  df-po 4256  df-iso 4257  df-iord 4326  df-on 4328  df-ilim 4329  df-suc 4331  df-iom 4549  df-xp 4591  df-rel 4592  df-cnv 4593  df-co 4594  df-dm 4595  df-rn 4596  df-res 4597  df-ima 4598  df-iota 5134  df-fun 5171  df-fn 5172  df-f 5173  df-f1 5174  df-fo 5175  df-f1o 5176  df-fv 5177  df-riota 5777  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpo 5826  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-recs 6249  df-frec 6335  df-pnf 7908  df-mnf 7909  df-xr 7910  df-ltxr 7911  df-le 7912  df-sub 8042  df-neg 8043  df-reap 8444  df-ap 8451  df-div 8540  df-inn 8828  df-n0 9085  df-z 9162  df-uz 9434  df-seqfrec 10338  df-exp 10412 This theorem is referenced by:  exprecap  10453  sq1  10505  iexpcyc  10516  binom1p  11375  binom11  11376  esum  11552  ege2le3  11561  eirraplem  11666  ef2kpi  13098
 Copyright terms: Public domain W3C validator