ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  1exp GIF version

Theorem 1exp 10209
Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
1exp (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1ex 7679 . . . 4 1 ∈ V
21snid 3520 . . 3 1 ∈ {1}
3 1ap0 8264 . . 3 1 # 0
4 ax-1cn 7632 . . . . 5 1 ∈ ℂ
5 snssi 3628 . . . . 5 (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
64, 5ax-mp 7 . . . 4 {1} ⊆ ℂ
7 elsni 3509 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8 elsni 3509 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9 oveq12 5735 . . . . . . 7 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10 1t1e1 8770 . . . . . . 7 (1 · 1) = 1
119, 10syl6eq 2161 . . . . . 6 ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
127, 8, 11syl2an 285 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13 eleq1 2175 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
141, 13mpbiri 167 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ V)
15 elsng 3506 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
1614, 15syl 14 . . . . . 6 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
1716ibir 176 . . . . 5 ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
1812, 17syl 14 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
197oveq2d 5742 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
20 1div1e1 8371 . . . . . . 7 (1 / 1) = 1
2119, 20syl6eq 2161 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
22 eleq1 2175 . . . . . . . . 9 ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
231, 22mpbiri 167 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ V)
24 elsng 3506 . . . . . . . 8 ((1 / 𝑥) ∈ V → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
2523, 24syl 14 . . . . . . 7 ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
2625ibir 176 . . . . . 6 ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2721, 26syl 14 . . . . 5 (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
2827adantr 272 . . . 4 ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
296, 18, 2, 28expcl2lemap 10192 . . 3 ((1 ∈ {1} ∧ 1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
302, 3, 29mp3an12 1286 . 2 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
31 elsni 3509 . 2 ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
3230, 31syl 14 1 (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1312  wcel 1461  Vcvv 2655  wss 3035  {csn 3491   class class class wbr 3893  (class class class)co 5726  cc 7539  0cc0 7541  1c1 7542   · cmul 7546   # cap 8255   / cdiv 8339  cz 8952  cexp 10179
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-coll 4001  ax-sep 4004  ax-nul 4012  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-iinf 4460  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-mulrcl 7638  ax-addcom 7639  ax-mulcom 7640  ax-addass 7641  ax-mulass 7642  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-1rid 7646  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-precex 7649  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-apti 7654  ax-pre-ltadd 7655  ax-pre-mulgt0 7656  ax-pre-mulext 7657
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 803  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rmo 2396  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-if 3439  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-po 4176  df-iso 4177  df-iord 4246  df-on 4248  df-ilim 4249  df-suc 4251  df-iom 4463  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-f1 5084  df-fo 5085  df-f1o 5086  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-recs 6154  df-frec 6240  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-reap 8249  df-ap 8256  df-div 8340  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-seqfrec 10106  df-exp 10180
This theorem is referenced by:  exprecap  10221  sq1  10273  iexpcyc  10284  binom1p  11140  binom11  11141  esum  11213  ege2le3  11222  eirraplem  11325
  Copyright terms: Public domain W3C validator