Theorem 1exp 10567

Description: Value of one raised to a nonnegative integer power. (Contributed by NM, 15-Dec-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
1exp	⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Proof of Theorem 1exp

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ex 7970	. . . 4 ⊢ 1 ∈ V
2	1	snid 3638	. . 3 ⊢ 1 ∈ {1}
3		1ap0 8565	. . 3 ⊢ 1 # 0
4		ax-1cn 7922	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		snssi 3751	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℂ → {1} ⊆ ℂ)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {1} ⊆ ℂ
7		elsni 3625	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → 𝑥 = 1)
8		elsni 3625	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {1} → 𝑦 = 1)
9		oveq12 5900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = (1 · 1))
10		1t1e1 9089	. . . . . . 7 ⊢ (1 · 1) = 1
11	9, 10	eqtrdi 2238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 1 ∧ 𝑦 = 1) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
12	7, 8, 11	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) = 1)
13		eleq1 2252	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
14	1, 13	mpbiri 168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ V)
15		elsng 3622	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) ∈ V → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
16	14, 15	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → ((𝑥 · 𝑦) ∈ {1} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 1))
17	16	ibir 177	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 · 𝑦) = 1 → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
18	12, 17	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑦 ∈ {1}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {1})
19	7	oveq2d 5907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = (1 / 1))
20		1div1e1 8679	. . . . . . 7 ⊢ (1 / 1) = 1
21	19, 20	eqtrdi 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) = 1)
22		eleq1 2252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ V ↔ 1 ∈ V))
23	1, 22	mpbiri 168	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ V)
24		elsng 3622	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 / 𝑥) ∈ V → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
25	23, 24	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → ((1 / 𝑥) ∈ {1} ↔ (1 / 𝑥) = 1))
26	25	ibir 177	. . . . . 6 ⊢ ((1 / 𝑥) = 1 → (1 / 𝑥) ∈ {1})
27	21, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ {1} → (1 / 𝑥) ∈ {1})
28	27	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ {1} ∧ 𝑥 # 0) → (1 / 𝑥) ∈ {1})
29	6, 18, 2, 28	expcl2lemap 10550	. . 3 ⊢ ((1 ∈ {1} ∧ 1 # 0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (1↑𝑁) ∈ {1})
30	2, 3, 29	mp3an12 1338	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) ∈ {1})
31		elsni 3625	. 2 ⊢ ((1↑𝑁) ∈ {1} → (1↑𝑁) = 1)
32	30, 31	syl 14	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   ⊆ wss 3144  {csn 3607   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  ℂcc 7827  0cc0 7829  1c1 7830   · cmul 7834   # cap 8556   / cdiv 8647  ℤcz 9271  ↑cexp 10537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7920  ax-resscn 7921  ax-1cn 7922  ax-1re 7923  ax-icn 7924  ax-addcl 7925  ax-addrcl 7926  ax-mulcl 7927  ax-mulrcl 7928  ax-addcom 7929  ax-mulcom 7930  ax-addass 7931  ax-mulass 7932  ax-distr 7933  ax-i2m1 7934  ax-0lt1 7935  ax-1rid 7936  ax-0id 7937  ax-rnegex 7938  ax-precex 7939  ax-cnre 7940  ax-pre-ltirr 7941  ax-pre-ltwlin 7942  ax-pre-lttrn 7943  ax-pre-apti 7944  ax-pre-ltadd 7945  ax-pre-mulgt0 7946  ax-pre-mulext 7947

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-riota 5847  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-frec 6410  df-pnf 8012  df-mnf 8013  df-xr 8014  df-ltxr 8015  df-le 8016  df-sub 8148  df-neg 8149  df-reap 8550  df-ap 8557  df-div 8648  df-inn 8938  df-n0 9195  df-z 9272  df-uz 9547  df-seqfrec 10464  df-exp 10538

This theorem is referenced by:  exprecap  10579  sq1  10632  iexpcyc  10643  binom1p  11511  binom11  11512  esum  11688  ege2le3  11697  eirraplem  11802  odzdvds  12263  ef2kpi  14624  lgseisenlem1  14847  m1lgs  14849