Theorem npcan 8381

Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
npcan	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subcl 8371	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℂ)
2		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3	1, 2	addcomd 8323	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)))
4		pncan3 8380	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
5	4	ancoms 268	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴 − 𝐵)) = 𝐴)
6	3, 5	eqtrd 2262	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴 − 𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  ℂcc 8023   + caddc 8028   − cmin 8343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-setind 4633  ax-resscn 8117  ax-1cn 8118  ax-icn 8120  ax-addcl 8121  ax-addrcl 8122  ax-mulcl 8123  ax-addcom 8125  ax-addass 8127  ax-distr 8129  ax-i2m1 8130  ax-0id 8133  ax-rnegex 8134  ax-cnre 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-opab 4149  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-sub 8345

This theorem is referenced by:  addsubass  8382  npncan  8393  nppcan  8394  nnpcan  8395  subcan2  8397  nnncan  8407  npcand  8487  nn1suc  9155  zlem1lt  9529  zltlem1  9530  peano5uzti  9581  nummac  9648  uzp1  9783  peano2uzr  9812  fz01en  10281  fzsuc2  10307  fseq1m1p1  10323  fzoss2  10402  fzoaddel2  10428  fzosplitsnm1  10447  fzosplitprm1  10473  modfzo0difsn  10650  seq3m1  10728  monoord2  10741  ser3mono  10742  seqf1oglem1  10774  seqf1oglem2  10775  expm1t  10822  expubnd  10851  bcm1k  11015  bcn2  11019  hashfzo  11079  seq3coll  11099  swrdfv2  11237  swrdspsleq  11241  swrdlsw  11243  ccatpfx  11275  shftlem  11370  shftfvalg  11372  shftfval  11375  iserex  11893  serf0  11906  fsumm1  11970  mptfzshft  11996  binomlem  12037  binom1dif  12041  isumsplit  12045  dvdssub2  12389  4sqlem19  12975  perfect1  15715  lgsquad2lem1  15803  clwwlknonex2lem2  16247  clwwlknonex2  16248