ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  npcan GIF version

Theorem npcan 7978
Description: Cancellation law for subtraction. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
npcan ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)

Proof of Theorem npcan
StepHypRef Expression
1 subcl 7968 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐵) ∈ ℂ)
2 simpr 109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
31, 2addcomd 7920 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = (𝐵 + (𝐴𝐵)))
4 pncan3 7977 . . 3 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
54ancoms 266 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + (𝐴𝐵)) = 𝐴)
63, 5eqtrd 2172 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐴𝐵) + 𝐵) = 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  (class class class)co 5774  cc 7625   + caddc 7630  cmin 7940
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-setind 4452  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-sub 7942
This theorem is referenced by:  addsubass  7979  npncan  7990  nppcan  7991  nnpcan  7992  subcan2  7994  nnncan  8004  npcand  8084  nn1suc  8746  zlem1lt  9117  zltlem1  9118  peano5uzti  9166  nummac  9233  uzp1  9366  peano2uzr  9387  fz01en  9840  fzsuc2  9866  fseq1m1p1  9882  fzoss2  9956  fzoaddel2  9977  fzosplitsnm1  9993  fzosplitprm1  10018  modfzo0difsn  10175  seq3m1  10248  monoord2  10257  ser3mono  10258  expm1t  10328  expubnd  10357  bcm1k  10513  bcn2  10517  hashfzo  10575  seq3coll  10592  shftlem  10595  shftfvalg  10597  shftfval  10600  iserex  11115  serf0  11128  fsumm1  11192  mptfzshft  11218  binomlem  11259  binom1dif  11263  isumsplit  11267  dvdssub2  11541
  Copyright terms: Public domain W3C validator