Theorem zringsubgval 13872

Description: Subtraction in the ring of integers. (Contributed by AV, 3-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
zringsubgval.m	⊢ − = (-g‘ℤring)

Assertion

Ref	Expression
zringsubgval	⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 − 𝑌))

Proof of Theorem zringsubgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsubrg 13852	. . 3 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
2		subrgsubg 13542	. . 3 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld)
4		cnfldsub 13846	. . 3 ⊢ − = (-g‘ℂfld)
5		df-zring 13858	. . 3 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
6		zringsubgval.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘ℤring)
7	4, 5, 6	subgsub 13098	. 2 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 − 𝑌))
8	3, 7	mp3an1 1335	1 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋 − 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ‘cfv 5232  (class class class)co 5892   − cmin 8148  ℤcz 9273  -_gcsg 12920  SubGrpcsubg 13079  SubRingcsubrg 13532  ℂ_fldccnfld 13832  ℤ_ringczring 13857

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-addf 7953  ax-mulf 7954

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-5 9001  df-6 9002  df-7 9003  df-8 9004  df-9 9005  df-n0 9197  df-z 9274  df-dec 9405  df-uz 9549  df-fz 10029  df-cj 10871  df-struct 12489  df-ndx 12490  df-slot 12491  df-base 12493  df-sets 12494  df-iress 12495  df-plusg 12575  df-mulr 12576  df-starv 12577  df-0g 12736  df-mgm 12805  df-sgrp 12838  df-mnd 12851  df-grp 12921  df-minusg 12922  df-sbg 12923  df-subg 13082  df-cmn 13193  df-mgp 13243  df-ur 13282  df-ring 13320  df-cring 13321  df-subrg 13534  df-icnfld 13833  df-zring 13858

This theorem is referenced by: (None)