Theorem zndvds 14967

Description: Express equality of equivalence classes in ℤ / 𝑛ℤ in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zncyg.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zndvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem zndvds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2240	. 2 ⊢ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ (𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴))
2		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
4		zncyg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		zndvds.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
6	2, 3, 4, 5	znzrhval 14965	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
7	6	3adant2 1047	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
8	2, 3, 4, 5	znzrhval 14965	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
9	8	3adant3 1048	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
10	7, 9	eqeq12d 2253	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴) ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
11		zringring 14911	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
12		nn0z 9647	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	3ad2ant1 1049	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	snssd 3858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑁} ⊆ ℤ)
15		zringbas 14914	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
16		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
17	2, 15, 16	rspcl 14811	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
18	11, 14, 17	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
19	16	lidlsubg 14806	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
20	11, 18, 19	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
21	15, 3	eqger 14010	. . . . 5 ⊢ (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
23		simp3 1030	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	22, 23	erth 6847	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
25		zringabl 14912	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Abel
26	15, 16	lidlss 14796	. . . . . 6 ⊢ (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
27	18, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
28		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
29	15, 28, 3	eqgabl 14117	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Abel ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
30	25, 27, 29	sylancr 418	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
31		simp2 1029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
32	23, 31	jca 306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
33	32	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
34		df-3an 1011	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
35	33, 34	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
36		zsubrg 14901	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
37		subrgsubg 14518	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39		cnfldsub 14895	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘ℂfld)
40		df-zring 14909	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
41	39, 40, 28	subgsub 13972	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
42	38, 41	syld3an1 1324	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
43	42	eqcomd 2244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
44		dvdsrzring 14921	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
45	15, 2, 44	rspsn 14854	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
46	11, 13, 45	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
47	43, 46	eleq12d 2309	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
48	31, 23	zsubcld 9756	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
49		breq2 4132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 − 𝐵) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
50	49	elabg 2972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
51	48, 50	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
52	47, 51	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
53	30, 35, 52	3bitr2d 216	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
54	10, 24, 53	3bitr2d 216	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
55	1, 54	bitrid 192	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  {cab 2224   ⊆ wss 3220  {csn 3708   class class class wbr 4128  ‘cfv 5375  (class class class)co 6079   Er wer 6798  [cec 6799   − cmin 8491  ℕ₀cn0 9546  ℤcz 9627   ∥ cdvds 12537  -_gcsg 13790  SubGrpcsubg 13953   ~_QG cqg 13955  Abelcabl 14071  Ringcrg 14283  SubRingcsubrg 14508  LIdealclidl 14787  RSpancrsp 14788  ℂ_fldccnfld 14876  ℤ_ringczring 14908  ℤRHomczrh 14929  ℤ/nℤczn 14931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-mulrcl 8272  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-precex 8283  ax-cnre 8284  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltwlin 8286  ax-pre-lttrn 8287  ax-pre-apti 8288  ax-pre-ltadd 8289  ax-pre-mulgt0 8290  ax-addf 8295  ax-mulf 8296

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-tp 3716  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-ilim 4512  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-tpos 6510  df-recs 6570  df-frec 6656  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-map 6918  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360  df-sub 8493  df-neg 8494  df-reap 8897  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-z 9628  df-dec 9761  df-uz 9905  df-rp 10038  df-fz 10395  df-fzo 10533  df-seqfrec 10868  df-cj 11590  df-abs 11748  df-dvds 12538  df-struct 13337  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-starv 13429  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-tset 13433  df-ple 13434  df-ds 13436  df-unif 13437  df-0g 13595  df-topgen 13597  df-iimas 13607  df-qus 13608  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mhm 13749  df-grp 13791  df-minusg 13792  df-sbg 13793  df-mulg 13906  df-subg 13956  df-nsg 13957  df-eqg 13958  df-ghm 14027  df-cmn 14072  df-abl 14073  df-mgp 14201  df-rng 14215  df-ur 14246  df-srg 14251  df-ring 14285  df-cring 14286  df-oppr 14356  df-dvdsr 14378  df-rhm 14442  df-subrg 14510  df-lmod 14608  df-lssm 14673  df-lsp 14707  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789  df-rsp 14790  df-2idl 14820  df-bl 14866  df-mopn 14867  df-fg 14869  df-metu 14870  df-cnfld 14877  df-zring 14909  df-zrh 14932  df-zn 14934

This theorem is referenced by:  zndvds0  14968  znf1o  14969  znunit  14977  lgseisenlem3  16174  lgseisenlem4  16175