Theorem zndvds 14784

Description: Express equality of equivalence classes in ℤ / 𝑛ℤ in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zncyg.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zndvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem zndvds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2234	. 2 ⊢ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ (𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴))
2		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
4		zncyg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		zndvds.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
6	2, 3, 4, 5	znzrhval 14782	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
7	6	3adant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
8	2, 3, 4, 5	znzrhval 14782	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
9	8	3adant3 1044	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
10	7, 9	eqeq12d 2247	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴) ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
11		zringring 14728	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
12		nn0z 9593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	3ad2ant1 1045	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	snssd 3838	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑁} ⊆ ℤ)
15		zringbas 14731	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
16		eqid 2232	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
17	2, 15, 16	rspcl 14626	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
18	11, 14, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
19	16	lidlsubg 14621	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
20	11, 18, 19	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
21	15, 3	eqger 13930	. . . . 5 ⊢ (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
23		simp3 1026	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	22, 23	erth 6812	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
25		zringabl 14729	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Abel
26	15, 16	lidlss 14611	. . . . . 6 ⊢ (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
27	18, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
28		eqid 2232	. . . . . 6 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
29	15, 28, 3	eqgabl 14036	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Abel ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
30	25, 27, 29	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
31		simp2 1025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
32	23, 31	jca 306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
33	32	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
34		df-3an 1007	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
35	33, 34	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
36		zsubrg 14716	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
37		subrgsubg 14361	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39		cnfldsub 14710	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘ℂfld)
40		df-zring 14726	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
41	39, 40, 28	subgsub 13892	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
42	38, 41	syld3an1 1320	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
43	42	eqcomd 2238	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
44		dvdsrzring 14738	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
45	15, 2, 44	rspsn 14669	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
46	11, 13, 45	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
47	43, 46	eleq12d 2303	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
48	31, 23	zsubcld 9701	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
49		breq2 4112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 − 𝐵) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
50	49	elabg 2962	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
51	48, 50	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
52	47, 51	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
53	30, 35, 52	3bitr2d 216	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
54	10, 24, 53	3bitr2d 216	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
55	1, 54	bitrid 192	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  {cab 2218   ⊆ wss 3210  {csn 3688   class class class wbr 4108  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049   Er wer 6763  [cec 6764   − cmin 8440  ℕ₀cn0 9492  ℤcz 9573   ∥ cdvds 12466  -_gcsg 13704  SubGrpcsubg 13873   ~_QG cqg 13875  Abelcabl 13991  Ringcrg 14129  SubRingcsubrg 14351  LIdealclidl 14602  RSpancrsp 14603  ℂ_fldccnfld 14691  ℤ_ringczring 14725  ℤRHomczrh 14746  ℤ/nℤczn 14748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-mulrcl 8222  ax-addcom 8223  ax-mulcom 8224  ax-addass 8225  ax-mulass 8226  ax-distr 8227  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-1rid 8230  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-precex 8233  ax-cnre 8234  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-ltwlin 8236  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-apti 8238  ax-pre-ltadd 8239  ax-pre-mulgt0 8240  ax-addf 8245  ax-mulf 8246

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-recs 6535  df-frec 6621  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-map 6883  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-xr 8308  df-ltxr 8309  df-le 8310  df-sub 8442  df-neg 8443  df-reap 8845  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-n0 9493  df-z 9574  df-dec 9706  df-uz 9850  df-rp 9983  df-fz 10339  df-fzo 10473  df-seqfrec 10806  df-cj 11520  df-abs 11677  df-dvds 12467  df-struct 13203  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-plusg 13292  df-mulr 13293  df-starv 13294  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-tset 13298  df-ple 13299  df-ds 13301  df-unif 13302  df-0g 13460  df-topgen 13462  df-iimas 13504  df-qus 13505  df-mgm 13558  df-sgrp 13604  df-mnd 13619  df-mhm 13661  df-grp 13705  df-minusg 13706  df-sbg 13707  df-mulg 13826  df-subg 13876  df-nsg 13877  df-eqg 13878  df-ghm 13947  df-cmn 13992  df-abl 13993  df-mgp 14054  df-rng 14066  df-ur 14093  df-srg 14097  df-ring 14131  df-cring 14132  df-oppr 14201  df-dvdsr 14222  df-rhm 14286  df-subrg 14353  df-lmod 14424  df-lssm 14488  df-lsp 14522  df-sra 14570  df-rgmod 14571  df-lidl 14604  df-rsp 14605  df-2idl 14635  df-bl 14681  df-mopn 14682  df-fg 14684  df-metu 14685  df-cnfld 14692  df-zring 14726  df-zrh 14749  df-zn 14751

This theorem is referenced by:  zndvds0  14785  znf1o  14786  znunit  14794  lgseisenlem3  15932  lgseisenlem4  15933