Theorem zndvds 14205

Description: Express equality of equivalence classes in ℤ / 𝑛ℤ in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
zncyg.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
zndvds.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)

Assertion

Ref	Expression
zndvds	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Proof of Theorem zndvds

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2198	. 2 ⊢ ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ (𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴))
2		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))
4		zncyg.y	. . . . . 6 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
5		zndvds.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
6	2, 3, 4, 5	znzrhval 14203	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
7	6	3adant2 1018	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐵) = [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
8	2, 3, 4, 5	znzrhval 14203	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
9	8	3adant3 1019	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐿‘𝐴) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
10	7, 9	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴) ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
11		zringring 14149	. . . . . 6 ⊢ ℤring ∈ Ring
12		nn0z 9346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
13	12	3ad2ant1 1020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
14	13	snssd 3767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → {𝑁} ⊆ ℤ)
15		zringbas 14152	. . . . . . . 8 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
16		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (LIdeal‘ℤring) = (LIdeal‘ℤring)
17	2, 15, 16	rspcl 14047	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ {𝑁} ⊆ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
18	11, 14, 17	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring))
19	16	lidlsubg 14042	. . . . . 6 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring)) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
20	11, 18, 19	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring))
21	15, 3	eqger 13354	. . . . 5 ⊢ (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (SubGrp‘ℤring) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
22	20, 21	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) Er ℤ)
23		simp3 1001	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐵 ∈ ℤ)
24	22, 23	erth 6638	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ [𝐵](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) = [𝐴](ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
25		zringabl 14150	. . . . 5 ⊢ ℤring ∈ Abel
26	15, 16	lidlss 14032	. . . . . 6 ⊢ (((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ∈ (LIdeal‘ℤring) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
27	18, 26	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ)
28		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (-g‘ℤring) = (-g‘ℤring)
29	15, 28, 3	eqgabl 13460	. . . . 5 ⊢ ((ℤring ∈ Abel ∧ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ⊆ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
30	25, 27, 29	sylancr 414	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
31		simp2 1000	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℤ)
32	23, 31	jca 306	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ))
33	32	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
34		df-3an 982	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})) ↔ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
35	33, 34	bitr4di 198	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))
36		zsubrg 14137	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld)
37		subrgsubg 13783	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℤ ∈ (SubRing‘ℂfld) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
38	36, 37	mp1i 10	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld))
39		cnfldsub 14131	. . . . . . . . 9 ⊢ − = (-g‘ℂfld)
40		df-zring 14147	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤring = (ℂfld ↾s ℤ)
41	39, 40, 28	subgsub 13316	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℤ ∈ (SubGrp‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
42	38, 41	syld3an1 1295	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) = (𝐴(-g‘ℤring)𝐵))
43	42	eqcomd 2202	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴(-g‘ℤring)𝐵) = (𝐴 − 𝐵))
44		dvdsrzring 14159	. . . . . . . 8 ⊢ ∥ = (∥r‘ℤring)
45	15, 2, 44	rspsn 14090	. . . . . . 7 ⊢ ((ℤring ∈ Ring ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
46	11, 13, 45	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) = {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥})
47	43, 46	eleq12d 2267	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ (𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥}))
48	31, 23	zsubcld 9453	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
49		breq2 4037	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐴 − 𝐵) → (𝑁 ∥ 𝑥 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
50	49	elabg 2910	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ → ((𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
51	48, 50	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 − 𝐵) ∈ {𝑥 ∣ 𝑁 ∥ 𝑥} ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
52	47, 51	bitrd 188	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴(-g‘ℤring)𝐵) ∈ ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
53	30, 35, 52	3bitr2d 216	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵(ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))𝐴 ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
54	10, 24, 53	3bitr2d 216	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐵) = (𝐿‘𝐴) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
55	1, 54	bitrid 192	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐿‘𝐴) = (𝐿‘𝐵) ↔ 𝑁 ∥ (𝐴 − 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  {cab 2182   ⊆ wss 3157  {csn 3622   class class class wbr 4033  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922   Er wer 6589  [cec 6590   − cmin 8197  ℕ₀cn0 9249  ℤcz 9326   ∥ cdvds 11952  -_gcsg 13134  SubGrpcsubg 13297   ~_QG cqg 13299  Abelcabl 13415  Ringcrg 13552  SubRingcsubrg 13773  LIdealclidl 14023  RSpancrsp 14024  ℂ_fldccnfld 14112  ℤ_ringczring 14146  ℤRHomczrh 14167  ℤ/nℤczn 14169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-recs 6363  df-frec 6449  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-cj 11007  df-abs 11164  df-dvds 11953  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-topgen 12931  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-mulg 13250  df-subg 13300  df-nsg 13301  df-eqg 13302  df-ghm 13371  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-rng 13489  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-cring 13555  df-oppr 13624  df-dvdsr 13645  df-rhm 13708  df-subrg 13775  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025  df-rsp 14026  df-2idl 14056  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-zring 14147  df-zrh 14170  df-zn 14172

This theorem is referenced by:  zndvds0  14206  znf1o  14207  znunit  14215  lgseisenlem3  15313  lgseisenlem4  15314