ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subrgacl GIF version

Theorem subrgacl 13452
Description: A subring is closed under addition. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
subrgacl.p + = (+g𝑅)
Assertion
Ref Expression
subrgacl ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem subrgacl
StepHypRef Expression
1 subrgsubg 13447 . 2 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅))
2 subrgacl.p . . 3 + = (+g𝑅)
32subgcl 13076 . 2 ((𝐴 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐴)
41, 3syl3an1 1281 1 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌𝐴) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 979   = wceq 1363  wcel 2158  cfv 5228  (class class class)co 5888  +gcplusg 12551  SubGrpcsubg 13059  SubRingcsubrg 13437
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-iress 12484  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-grp 12902  df-subg 13062  df-ring 13250  df-subrg 13439
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator