Theorem acsmred 17671

Description: An algebraic closure system is also a Moore system. Deduction form of acsmre 17667. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsmred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
acsmred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsmre 17667	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  Moorecmre 17593  ACScacs 17596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-acs 17600

This theorem is referenced by:  mreacs  17673  acsficl2d  18567  acsfiindd  18568  acsmapd  18569  acsmap2d  18570  acsinfdimd  18573  acsexdimd  18574  mndind  18845  gsumwspan  18863  cycsubg2  19234  cycsubg2cl  19235  cntzspan  19867  dprdz  20055  pgpfac1lem2  20100  pgpfac1lem3a  20101  pgpfaclem1  20106  lidlincl  33577  lvecdimfi  33854  isnacs3  43255