Theorem acsmred 17835

Description: An algebraic closure system is also a Moore system. Deduction form of acsmre 17831. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsmred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
acsmred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsmre 17831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  Moorecmre 17757  ACScacs 17760

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-acs 17764

This theorem is used by:  mreacs  17837  acsficl2d  18731  acsfiindd  18732  acsmapd  18733  acsmap2d  18734  acsinfdimd  18737  acsexdimd  18738  mndind  19029  gsumwspan  19047  cycsubg2  19430  cycsubg2cl  19431  cntzspan  20063  dprdz  20251  pgpfac1lem2  20296  pgpfac1lem3a  20297  pgpfaclem1  20302  lidlincl  34026  lvecdimfi  34274  isnacs3  43814