Theorem acsmred 17737

Description: An algebraic closure system is also a Moore system. Deduction form of acsmre 17733. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsmred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
acsmred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsmre 17733	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6543  Moorecmre 17659  ACScacs 17662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-acs 17666

This theorem is used by:  mreacs  17739  acsficl2d  18633  acsfiindd  18634  acsmapd  18635  acsmap2d  18636  acsinfdimd  18639  acsexdimd  18640  mndind  18918  gsumwspan  18936  cycsubg2  19312  cycsubg2cl  19313  cntzspan  19945  dprdz  20133  pgpfac1lem2  20178  pgpfac1lem3a  20179  pgpfaclem1  20184  lidlincl  33769  lvecdimfi  34017  isnacs3  43482