Theorem acsmred 17699

Description: An algebraic closure system is also a Moore system. Deduction form of acsmre 17695. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
acsmred.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))

Assertion

Ref	Expression
acsmred	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmred.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2		acsmre 17695	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  Moorecmre 17625  ACScacs 17628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-acs 17632

This theorem is referenced by:  mreacs  17701  acsficl2d  18597  acsfiindd  18598  acsmapd  18599  acsmap2d  18600  acsinfdimd  18603  acsexdimd  18604  mndind  18841  gsumwspan  18859  cycsubg2  19228  cycsubg2cl  19229  cntzspan  19862  dprdz  20050  pgpfac1lem2  20095  pgpfac1lem3a  20096  pgpfaclem1  20101  lidlincl  33458  lvecdimfi  33646  isnacs3  42721