Theorem dprdz 20051

Description: A family consisting entirely of trivial groups is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprd0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dprdz

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2		dprd0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	2	0subg 19170	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	7	fmpttd 7134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9, 2	grpidcl 18984	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	snssd 4808	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
13	9, 1	cntzsubg 19358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	2	subg0cl 19153	. . . . . . 7 ⊢ (((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
17	16	snssd 4808	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
19		simpr1 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → { 0 } = { 0 })
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
22		snex 5435	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt3i 7020	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
25		simpr2 1195	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
26		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → { 0 } = { 0 })
27	26, 21, 22	fvmpt3i 7020	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
29	28	fveq2d 6909	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)) = ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
30	18, 24, 29	3sstr4d 4038	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)))
31	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
32	31	ineq1d 4218	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))))
33	9	subgacs 19180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
35	34	acsmred 17700	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
36		imassrn 6088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
37	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
38	37	frnd 6743	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
39		mresspw 17636	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
41	38, 40	sstrd 3993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
42	36, 41	sstrid 3994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
43		sspwuni 5099	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
44	42, 43	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
45	3	mrccl 17655	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
46	35, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	2	subg0cl 19153	. . . . . . . 8 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
49	48	snssd 4808	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
50		dfss2 3968	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ↔ ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
51	49, 50	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
52	32, 51	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
53		eqimss 4041	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 } → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
55	1, 2, 3, 4, 5, 8, 30, 54	dmdprdd 20020	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }))
56	21, 7	dmmptd 6712	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = 𝐼)
57	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
58		eqimss 4041	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 } → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
59	31, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
60	55, 56, 57, 59	dprdlub 20047	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ⊆ { 0 })
61		dprdsubg 20045	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺))
62	2	subg0cl 19153	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
63	55, 61, 62	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
64	63	snssd 4808	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
65	60, 64	eqssd 4000	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 })
66	55, 65	jca 511	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   ∖ cdif 3947   ∩ cin 3949   ⊆ wss 3950  𝒫 cpw 4599  {csn 4625  ∪ cuni 4906   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224  dom cdm 5684  ran crn 5685   “ cima 5687  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  0_gc0g 17485  Moorecmre 17626  mrClscmrc 17627  ACScacs 17629  Grpcgrp 18952  SubGrpcsubg 19139  Cntzccntz 19334   DProd cdprd 20014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-gim 19278  df-cntz 19336  df-oppg 19365  df-cmn 19801  df-dprd 20016

This theorem is referenced by:  dprd0  20052