Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdz 19220
 Description: A family consisting entirely of trivial groups is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprd0.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdz ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dprdz
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2758 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 dprd0.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2758 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 simpl 486 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simpr 488 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
620subg 18371 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
76ad2antrr 725 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
87fmpttd 6870 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9 eqid 2758 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109, 2grpidcl 18198 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
1110adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
1211snssd 4699 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
139, 1cntzsubg 18534 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1412, 13syldan 594 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
152subg0cl 18354 . . . . . . 7 (((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
1716snssd 4699 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
1817adantr 484 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
19 simpr1 1191 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → 𝑦𝐼)
20 eqidd 2759 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → { 0 } = { 0 })
21 eqid 2758 . . . . . 6 (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) = (𝑥𝐼 ↦ { 0 })
22 snex 5300 . . . . . 6 { 0 } ∈ V
2320, 21, 22fvmpt3i 6764 . . . . 5 (𝑦𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
2419, 23syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
25 simpr2 1192 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → 𝑧𝐼)
26 eqidd 2759 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → { 0 } = { 0 })
2726, 21, 22fvmpt3i 6764 . . . . . 6 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
2825, 27syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
2928fveq2d 6662 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)) = ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
3018, 24, 293sstr4d 3939 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)))
3123adantl 485 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
3231ineq1d 4116 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))))
339subgacs 18380 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
3433ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
3534acsmred 16985 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
36 imassrn 5912 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝐼 ↦ { 0 })
378adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3837frnd 6505 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ran (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
39 mresspw 16921 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
4035, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
4138, 40sstrd 3902 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ran (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
4236, 41sstrid 3903 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
43 sspwuni 4987 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
4442, 43sylib 221 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
453mrccl 16940 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4635, 44, 45syl2anc 587 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
472subg0cl 18354 . . . . . . . 8 (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
4948snssd 4699 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → { 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
50 df-ss 3875 . . . . . 6 ({ 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ↔ ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
5149, 50sylib 221 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
5232, 51eqtrd 2793 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
53 eqimss 3948 . . . 4 ((((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 } → (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
5452, 53syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
551, 2, 3, 4, 5, 8, 30, 54dmdprdd 19189 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝐺dom DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 }))
5621, 7dmmptd 6476 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → dom (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) = 𝐼)
576adantr 484 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
58 eqimss 3948 . . . . 5 (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 } → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
5931, 58syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
6055, 56, 57, 59dprdlub 19216 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) ⊆ { 0 })
61 dprdsubg 19214 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) → (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺))
622subg0cl 18354 . . . . 5 ((𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })))
6355, 61, 623syl 18 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })))
6463snssd 4699 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → { 0 } ⊆ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })))
6560, 64eqssd 3909 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 })
6655, 65jca 515 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   ∖ cdif 3855   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  {csn 4522  ∪ cuni 4798   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  dom cdm 5524  ran crn 5525   “ cima 5527  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Basecbs 16541  0gc0g 16771  Moorecmre 16911  mrClscmrc 16912  ACScacs 16914  Grpcgrp 18169  SubGrpcsubg 18340  Cntzccntz 18512   DProd cdprd 19183 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7405  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-supp 7836  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-ixp 8480  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-fsupp 8867  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-seq 13419  df-hash 13741  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-0g 16773  df-gsum 16774  df-mre 16915  df-mrc 16916  df-acs 16918  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-mhm 18022  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-ghm 18423  df-gim 18466  df-cntz 18514  df-oppg 18541  df-cmn 18975  df-dprd 19185 This theorem is referenced by:  dprd0  19221
 Copyright terms: Public domain W3C validator