MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdz Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dprdz 19894
Description: A family consisting entirely of trivial groups is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprd0.0 0 = (0gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
dprdz ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺dom DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))
Distinct variable groups:   π‘₯, 0   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝑉
Proof of Theorem dprdz
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (Cntzβ€˜πΊ) = (Cntzβ€˜πΊ)
2 dprd0.0 . . 3 0 = (0gβ€˜πΊ)
3 eqid 2732 . . 3 (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ)) = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
4 simpl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
5 simpr 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
620subg 19025 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ { 0 } ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
76ad2antrr 724 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ { 0 } ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
87fmpttd 7111 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
9 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
109, 2grpidcl 18846 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
1211snssd 4811 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
139, 1cntzsubg 19197 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{ 0 }) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
1412, 13syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{ 0 }) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
152subg0cl 19008 . . . . . . 7 (((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{ 0 }) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{ 0 }))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{ 0 }))
1716snssd 4811 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ { 0 } βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{ 0 }))
1817adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) β†’ { 0 } βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{ 0 }))
19 simpr1 1194 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐼)
20 eqidd 2733 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑦 β†’ { 0 } = { 0 })
21 eqid 2732 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
22 snex 5430 . . . . . 6 { 0 } ∈ V
2320, 21, 22fvmpt3i 7000 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) = { 0 })
2419, 23syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) = { 0 })
25 simpr2 1195 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
26 eqidd 2733 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑧 β†’ { 0 } = { 0 })
2726, 21, 22fvmpt3i 7000 . . . . . 6 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘§) = { 0 })
2825, 27syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘§) = { 0 })
2928fveq2d 6892 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) β†’ ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘§)) = ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜{ 0 }))
3018, 24, 293sstr4d 4028 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 β‰  𝑧)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) βŠ† ((Cntzβ€˜πΊ)β€˜((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘§)))
3123adantl 482 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) = { 0 })
3231ineq1d 4210 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})))) = ({ 0 } ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})))))
339subgacs 19035 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
3433ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
3534acsmred 17596 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)))
36 imassrn 6068 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})) βŠ† ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
378adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟢(SubGrpβ€˜πΊ))
3837frnd 6722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) βŠ† (SubGrpβ€˜πΊ))
39 mresspw 17532 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
4035, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
4138, 40sstrd 3991 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ran (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
4236, 41sstrid 3992 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ))
43 sspwuni 5102 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})) βŠ† 𝒫 (Baseβ€˜πΊ) ↔ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
4442, 43sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
453mrccl 17551 . . . . . . . . 9 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜(Baseβ€˜πΊ)) ∧ βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
4635, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
472subg0cl 19008 . . . . . . . 8 (((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦}))) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦}))))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦}))))
4948snssd 4811 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ { 0 } βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦}))))
50 df-ss 3964 . . . . . 6 ({ 0 } βŠ† ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦}))) ↔ ({ 0 } ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})))) = { 0 })
5149, 50sylib 217 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ({ 0 } ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})))) = { 0 })
5232, 51eqtrd 2772 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})))) = { 0 })
53 eqimss 4039 . . . 4 ((((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})))) = { 0 } β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})))) βŠ† { 0 })
5452, 53syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) ∩ ((mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))β€˜βˆͺ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β€œ (𝐼 βˆ– {𝑦})))) βŠ† { 0 })
551, 2, 3, 4, 5, 8, 30, 54dmdprdd 19863 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺dom DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }))
5621, 7dmmptd 6692 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = 𝐼)
576adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ { 0 } ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
58 eqimss 4039 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) = { 0 } β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) βŠ† { 0 })
5931, 58syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })β€˜π‘¦) βŠ† { 0 })
6055, 56, 57, 59dprdlub 19890 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) βŠ† { 0 })
61 dprdsubg 19888 . . . . 5 (𝐺dom DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) β†’ (𝐺 DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
622subg0cl 19008 . . . . 5 ((𝐺 DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) β†’ 0 ∈ (𝐺 DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
6355, 61, 623syl 18 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ 0 ∈ (𝐺 DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
6463snssd 4811 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ { 0 } βŠ† (𝐺 DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
6560, 64eqssd 3998 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺 DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 })
6655, 65jca 512 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐺dom DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3944   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Moorecmre 17522  mrClscmrc 17523  ACScacs 17525  Grpcgrp 18815  SubGrpcsubg 18994  Cntzccntz 19173   DProd cdprd 19857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-cmn 19644  df-dprd 19859
This theorem is referenced by:  dprd0  19895
  Copyright terms: Public domain W3C validator