Theorem dprdz 19938

Description: A family consisting entirely of trivial groups is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprd0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dprdz

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2		dprd0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	2	0subg 19059	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	7	fmpttd 7069	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9, 2	grpidcl 18873	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	snssd 4769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
13	9, 1	cntzsubg 19247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	2	subg0cl 19042	. . . . . . 7 ⊢ (((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
17	16	snssd 4769	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
19		simpr1 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		eqidd 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → { 0 } = { 0 })
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
22		snex 5386	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt3i 6955	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
25		simpr2 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
26		eqidd 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → { 0 } = { 0 })
27	26, 21, 22	fvmpt3i 6955	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
29	28	fveq2d 6844	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)) = ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
30	18, 24, 29	3sstr4d 3999	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)))
31	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
32	31	ineq1d 4178	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))))
33	9	subgacs 19069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
35	34	acsmred 17593	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
36		imassrn 6031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
37	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
38	37	frnd 6678	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
39		mresspw 17529	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
41	38, 40	sstrd 3954	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
42	36, 41	sstrid 3955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
43		sspwuni 5059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
44	42, 43	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
45	3	mrccl 17548	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
46	35, 44, 45	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	2	subg0cl 19042	. . . . . . . 8 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
49	48	snssd 4769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
50		dfss2 3929	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ↔ ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
51	49, 50	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
52	32, 51	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
53		eqimss 4002	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 } → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
55	1, 2, 3, 4, 5, 8, 30, 54	dmdprdd 19907	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }))
56	21, 7	dmmptd 6645	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = 𝐼)
57	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
58		eqimss 4002	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 } → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
59	31, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
60	55, 56, 57, 59	dprdlub 19934	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ⊆ { 0 })
61		dprdsubg 19932	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺))
62	2	subg0cl 19042	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
63	55, 61, 62	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
64	63	snssd 4769	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
65	60, 64	eqssd 3961	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 })
66	55, 65	jca 511	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∖ cdif 3908   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  𝒫 cpw 4559  {csn 4585  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631  ran crn 5632   “ cima 5634  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  0_gc0g 17378  Moorecmre 17519  mrClscmrc 17520  ACScacs 17522  Grpcgrp 18841  SubGrpcsubg 19028  Cntzccntz 19223   DProd cdprd 19901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-supp 8117  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-er 8648  df-map 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9289  df-oi 9439  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-seq 13943  df-hash 14272  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-gsum 17381  df-mre 17523  df-mrc 17524  df-acs 17526  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-submnd 18687  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-subg 19031  df-ghm 19121  df-gim 19167  df-cntz 19225  df-oppg 19254  df-cmn 19688  df-dprd 19903

This theorem is referenced by:  dprd0  19939