MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dprdz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dprdz 19728
Description: A family consisting entirely of trivial groups is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
dprd0.0 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
dprdz ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))
Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dprdz
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2 dprd0.0 . . 3 0 = (0g𝐺)
3 eqid 2736 . . 3 (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4 simpl 483 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
5 simpr 485 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝐼𝑉)
620subg 18876 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
76ad2antrr 723 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑥𝐼) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
87fmpttd 7045 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝑥𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
109, 2grpidcl 18703 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
1110adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
1211snssd 4756 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
139, 1cntzsubg 19039 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1412, 13syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
152subg0cl 18859 . . . . . . 7 (((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
1716snssd 4756 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
1817adantr 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
19 simpr1 1193 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → 𝑦𝐼)
20 eqidd 2737 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → { 0 } = { 0 })
21 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) = (𝑥𝐼 ↦ { 0 })
22 snex 5376 . . . . . 6 { 0 } ∈ V
2320, 21, 22fvmpt3i 6936 . . . . 5 (𝑦𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
2419, 23syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
25 simpr2 1194 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → 𝑧𝐼)
26 eqidd 2737 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑧 → { 0 } = { 0 })
2726, 21, 22fvmpt3i 6936 . . . . . 6 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
2825, 27syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
2928fveq2d 6829 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)) = ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
3018, 24, 293sstr4d 3979 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ (𝑦𝐼𝑧𝐼𝑦𝑧)) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)))
3123adantl 482 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
3231ineq1d 4158 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))))
339subgacs 18885 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
3433ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
3534acsmred 17462 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
36 imassrn 6010 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ ran (𝑥𝐼 ↦ { 0 })
378adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
3837frnd 6659 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ran (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
39 mresspw 17398 . . . . . . . . . . . . 13 ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
4035, 39syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
4138, 40sstrd 3942 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ran (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
4236, 41sstrid 3943 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
43 sspwuni 5047 . . . . . . . . . 10 (((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
4442, 43sylib 217 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
453mrccl 17417 . . . . . . . . 9 (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
4635, 44, 45syl2anc 584 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
472subg0cl 18859 . . . . . . . 8 (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
4948snssd 4756 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → { 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
50 df-ss 3915 . . . . . 6 ({ 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ↔ ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
5149, 50sylib 217 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
5232, 51eqtrd 2776 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
53 eqimss 3988 . . . 4 ((((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 } → (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
5452, 53syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘ ((𝑥𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
551, 2, 3, 4, 5, 8, 30, 54dmdprdd 19697 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 𝐺dom DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 }))
5621, 7dmmptd 6629 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → dom (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) = 𝐼)
576adantr 481 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
58 eqimss 3988 . . . . 5 (((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 } → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
5931, 58syl 17 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) ∧ 𝑦𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
6055, 56, 57, 59dprdlub 19724 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) ⊆ { 0 })
61 dprdsubg 19722 . . . . 5 (𝐺dom DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) → (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺))
622subg0cl 18859 . . . . 5 ((𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })))
6355, 61, 623syl 18 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })))
6463snssd 4756 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → { 0 } ⊆ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })))
6560, 64eqssd 3949 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 })
6655, 65jca 512 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2940  cdif 3895  cin 3897  wss 3898  𝒫 cpw 4547  {csn 4573   cuni 4852   class class class wbr 5092  cmpt 5175  dom cdm 5620  ran crn 5621  cima 5623  wf 6475  cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  0gc0g 17247  Moorecmre 17388  mrClscmrc 17389  ACScacs 17391  Grpcgrp 18673  SubGrpcsubg 18845  Cntzccntz 19017   DProd cdprd 19691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-supp 8048  df-tpos 8112  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-ixp 8757  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-fsupp 9227  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-seq 13823  df-hash 14146  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-0g 17249  df-gsum 17250  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-gim 18971  df-cntz 19019  df-oppg 19046  df-cmn 19483  df-dprd 19693
This theorem is referenced by:  dprd0  19729
  Copyright terms: Public domain W3C validator