Theorem dprdz 20097

Description: A family consisting entirely of trivial groups is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprd0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dprdz

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2		dprd0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2763	. . 3 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4		simpl 487	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	2	0subg 19213	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	7	fmpttd 7110	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9, 2	grpidcl 19027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	10	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	snssd 4752	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
13	9, 1	cntzsubg 19404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	2	subg0cl 19195	. . . . . . 7 ⊢ (((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
16	14, 15	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
17	16	snssd 4752	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
18	17	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
19		simpr1 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		eqidd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → { 0 } = { 0 })
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
22		snex 5410	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt3i 6995	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
24	19, 23	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
25		simpr2 1214	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
26		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → { 0 } = { 0 })
27	26, 21, 22	fvmpt3i 6995	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
28	25, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
29	28	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)) = ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
30	18, 24, 29	3sstr4d 3992	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)))
31	23	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
32	31	ineq1d 4172	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))))
33	9	subgacs 19222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
34	33	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
35	34	acsmred 17707	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
36		imassrn 6073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
37	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
38	37	frnd 6714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
39		mresspw 17639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
40	35, 39	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
41	38, 40	sstrd 3947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
42	36, 41	sstrid 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
43		sspwuni 5066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
44	42, 43	sylib 221	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
45	3	mrccl 17662	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
46	35, 44, 45	syl2anc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	2	subg0cl 19195	. . . . . . . 8 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
48	46, 47	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
49	48	snssd 4752	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
50		dfss2 3923	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ↔ ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
51	49, 50	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
52	32, 51	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
53		eqimss 3995	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 } → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
54	52, 53	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
55	1, 2, 3, 4, 5, 8, 30, 54	dmdprdd 20066	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }))
56	21, 7	dmmptd 6680	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = 𝐼)
57	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
58		eqimss 3995	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 } → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
59	31, 58	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
60	55, 56, 57, 59	dprdlub 20093	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ⊆ { 0 })
61		dprdsubg 20091	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺))
62	2	subg0cl 19195	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
63	55, 61, 62	3syl 19	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
64	63	snssd 4752	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
65	60, 64	eqssd 3954	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 })
66	55, 65	jca 520	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   ∖ cdif 3902   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4562  {csn 4589  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  0_gc0g 17487  Moorecmre 17629  mrClscmrc 17630  ACScacs 17632  Grpcgrp 18995  SubGrpcsubg 19181  Cntzccntz 19380   DProd cdprd 20060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-oi 9468  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-seq 14034  df-hash 14363  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-gsum 17490  df-mre 17633  df-mrc 17634  df-acs 17636  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-mhm 18836  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-ghm 19279  df-gim 19324  df-cntz 19382  df-oppg 19411  df-cmn 19847  df-dprd 20062

This theorem is referenced by:  dprd0  20098