Theorem dprdz 20001

Description: A family consisting entirely of trivial groups is an internal direct product, the product of which is the trivial subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Apr-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
dprd0.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
dprdz	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Distinct variable groups:   𝑥, 0   𝑥,𝐺   𝑥,𝐼   𝑥,𝑉

Proof of Theorem dprdz

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Cntz‘𝐺) = (Cntz‘𝐺)
2		dprd0.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (mrCls‘(SubGrp‘𝐺)) = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
4		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ Grp)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐼 ∈ 𝑉)
6	2	0subg 19121	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
7	6	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	7	fmpttd 7062	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
9		eqid 2737	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
10	9, 2	grpidcl 18935	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 0 ∈ (Base‘𝐺))
11	10	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (Base‘𝐺))
12	11	snssd 4753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (Base‘𝐺))
13	9, 1	cntzsubg 19308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ { 0 } ⊆ (Base‘𝐺)) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
14	12, 13	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺))
15	2	subg0cl 19104	. . . . . . 7 ⊢ (((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
16	14, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
17	16	snssd 4753	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
18	17	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → { 0 } ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
19		simpr1 1196	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		eqidd 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → { 0 } = { 0 })
21		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
22		snex 5377	. . . . . 6 ⊢ { 0 } ∈ V
23	20, 21, 22	fvmpt3i 6948	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
24	19, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
25		simpr2 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → 𝑧 ∈ 𝐼)
26		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → { 0 } = { 0 })
27	26, 21, 22	fvmpt3i 6948	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
28	25, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧) = { 0 })
29	28	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)) = ((Cntz‘𝐺)‘{ 0 }))
30	18, 24, 29	3sstr4d 3978	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ (𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ 𝑦 ≠ 𝑧)) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ ((Cntz‘𝐺)‘((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑧)))
31	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 })
32	31	ineq1d 4160	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))))
33	9	subgacs 19130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
34	33	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘(Base‘𝐺)))
35	34	acsmred 17616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)))
36		imassrn 6031	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })
37	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }):𝐼⟶(SubGrp‘𝐺))
38	37	frnd 6671	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ (SubGrp‘𝐺))
39		mresspw 17548	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
40	35, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (SubGrp‘𝐺) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
41	38, 40	sstrd 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ran (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
42	36, 41	sstrid 3934	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺))
43		sspwuni 5043	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ 𝒫 (Base‘𝐺) ↔ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
44	42, 43	sylib 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺))
45	3	mrccl 17571	. . . . . . . . 9 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘(Base‘𝐺)) ∧ ∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})) ⊆ (Base‘𝐺)) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
46	35, 44, 45	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺))
47	2	subg0cl 19104	. . . . . . . 8 ⊢ (((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → 0 ∈ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
49	48	snssd 4753	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → { 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))))
50		dfss2 3908	. . . . . 6 ⊢ ({ 0 } ⊆ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦}))) ↔ ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
51	49, 50	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ({ 0 } ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
52	32, 51	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 })
53		eqimss 3981	. . . 4 ⊢ ((((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) = { 0 } → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
54	52, 53	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ∩ ((mrCls‘(SubGrp‘𝐺))‘∪ ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) “ (𝐼 ∖ {𝑦})))) ⊆ { 0 })
55	1, 2, 3, 4, 5, 8, 30, 54	dmdprdd 19970	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }))
56	21, 7	dmmptd 6638	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → dom (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) = 𝐼)
57	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
58		eqimss 3981	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) = { 0 } → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
59	31, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) ∧ 𝑦 ∈ 𝐼) → ((𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })‘𝑦) ⊆ { 0 })
60	55, 56, 57, 59	dprdlub 19997	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ⊆ { 0 })
61		dprdsubg 19995	. . . . 5 ⊢ (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺))
62	2	subg0cl 19104	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) ∈ (SubGrp‘𝐺) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
63	55, 61, 62	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → 0 ∈ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
64	63	snssd 4753	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → { 0 } ⊆ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })))
65	60, 64	eqssd 3940	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 })
66	55, 65	jca 511	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝐺dom DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 }) ∧ (𝐺 DProd (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ { 0 })) = { 0 }))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3887   ∩ cin 3889   ⊆ wss 3890  𝒫 cpw 4542  {csn 4568  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5625  ran crn 5626   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17173  0_gc0g 17396  Moorecmre 17538  mrClscmrc 17539  ACScacs 17541  Grpcgrp 18903  SubGrpcsubg 19090  Cntzccntz 19284   DProd cdprd 19964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-nn 12169  df-2 12238  df-n0 12432  df-z 12519  df-uz 12783  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-hash 14287  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-gim 19228  df-cntz 19286  df-oppg 19315  df-cmn 19751  df-dprd 19966

This theorem is referenced by:  dprd0  20002