MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubg2 19179
Description: The subgroup generated by an element is exhausted by its multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
cycsubg2.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
cycsubg2.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
cycsubg2.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
cycsubg2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran 𝐹)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐺   π‘₯, Β·   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem cycsubg2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 snssg 4792 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ {𝐴} βŠ† 𝑦))
21bicomd 222 . . . . 5 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ ({𝐴} βŠ† 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
32adantl 480 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ({𝐴} βŠ† 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
43rabbidv 3438 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ {𝑦 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ {𝐴} βŠ† 𝑦} = {𝑦 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
54inteqd 4958 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ∩ {𝑦 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ {𝐴} βŠ† 𝑦} = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
6 cycsubg2.x . . . . 5 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
76subgacs 19130 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
87acsmred 17645 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
9 snssi 4816 . . 3 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ {𝐴} βŠ† 𝑋)
10 cycsubg2.k . . . 4 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
1110mrcval 17599 . . 3 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ {𝐴} βŠ† 𝑋) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ {𝐴} βŠ† 𝑦})
128, 9, 11syl2an 594 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ {𝐴} βŠ† 𝑦})
13 cycsubg2.t . . 3 Β· = (.gβ€˜πΊ)
14 cycsubg2.f . . 3 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€ ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
156, 13, 14cycsubg 19177 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ ran 𝐹 = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
165, 12, 153eqtr4d 2778 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) = ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3430   βŠ† wss 3949  {csn 4632  βˆ© cint 4953   ↦ cmpt 5235  ran crn 5683  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„€cz 12598  Basecbs 17189  Moorecmre 17571  mrClscmrc 17572  Grpcgrp 18904  .gcmg 19037  SubGrpcsubg 19089
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-fin 8976  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-fz 13527  df-seq 14009  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-base 17190  df-ress 17219  df-plusg 17255  df-0g 17432  df-mre 17575  df-mrc 17576  df-acs 17578  df-mgm 18609  df-sgrp 18688  df-mnd 18704  df-submnd 18750  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19092
This theorem is referenced by:  odf1o1  19541  odf1o2  19542  cycsubgcyg2  19871  pgpfac1lem2  20046  pgpfac1lem3  20048  pgpfac1lem4  20049
  Copyright terms: Public domain W3C validator