Theorem cycsubg2 18356

Description: The subgroup generated by an element is exhausted by its multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg2.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubg2.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
cycsubg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cycsubg2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssg 4720	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
2	1	bicomd 225	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ({𝐴} ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
3	2	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({𝐴} ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
4	3	rabbidv 3483	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦} = {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
5	4	inteqd 4884	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦} = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
6		cycsubg2.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgacs 18316	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
8	7	acsmred 16930	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
9		snssi 4744	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
10		cycsubg2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
11	10	mrcval 16884	. . 3 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦})
12	8, 9, 11	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦})
13		cycsubg2.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
14		cycsubg2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
15	6, 13, 14	cycsubg 18354	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
16	5, 12, 15	3eqtr4d 2869	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  {crab 3145   ⊆ wss 3939  {csn 4570  ∩ cint 4879   ↦ cmpt 5149  ran crn 5559  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  ℤcz 11984  Basecbs 16486  Moorecmre 16856  mrClscmrc 16857  Grpcgrp 18106  ._gcmg 18227  SubGrpcsubg 18276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-seq 13373  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-0g 16718  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-minusg 18110  df-mulg 18228  df-subg 18279

This theorem is referenced by:  odf1o1  18700  odf1o2  18701  cycsubgcyg2  19025  pgpfac1lem2  19200  pgpfac1lem3  19202  pgpfac1lem4  19203