Theorem cycsubg2 19086

Description: The subgroup generated by an element is exhausted by its multiples. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg2.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg2.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg2.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubg2.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
cycsubg2	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran 𝐹)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐺   𝑥, ·   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem cycsubg2

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssg 4787	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∈ 𝑦 ↔ {𝐴} ⊆ 𝑦))
2	1	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ({𝐴} ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
3	2	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ({𝐴} ⊆ 𝑦 ↔ 𝐴 ∈ 𝑦))
4	3	rabbidv 3440	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦} = {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
5	4	inteqd 4955	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦} = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
6		cycsubg2.x	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7	6	subgacs 19040	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
8	7	acsmred 17599	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
9		snssi 4811	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → {𝐴} ⊆ 𝑋)
10		cycsubg2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
11	10	mrcval 17553	. . 3 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦})
12	8, 9, 11	syl2an 596	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ {𝐴} ⊆ 𝑦})
13		cycsubg2.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
14		cycsubg2.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ ↦ (𝑥 · 𝐴))
15	6, 13, 14	cycsubg 19084	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ran 𝐹 = ∩ {𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∣ 𝐴 ∈ 𝑦})
16	5, 12, 15	3eqtr4d 2782	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) = ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ⊆ wss 3948  {csn 4628  ∩ cint 4950   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℤcz 12557  Basecbs 17143  Moorecmre 17525  mrClscmrc 17526  Grpcgrp 18818  ._gcmg 18949  SubGrpcsubg 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-seq 13966  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-0g 17386  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-mulg 18950  df-subg 19002

This theorem is referenced by:  odf1o1  19439  odf1o2  19440  cycsubgcyg2  19769  pgpfac1lem2  19944  pgpfac1lem3  19946  pgpfac1lem4  19947