Theorem lvecdimfi 33587

Description: Finite version of lvecdim 21132 which does not require the axiom of choice. The axiom of choice is used in acsmapd 18573, which is required in the infinite case. Suggested by Gérard Lang. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecdimfi.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lvecdimfi.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecdimfi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐽)
lvecdimfi.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐽)
lvecdimfi.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
lvecdimfi	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Proof of Theorem lvecdimfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecdimfi.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (mrCls‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrCls‘(LSubSp‘𝑊))
4		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5	2, 3, 4	lssacsex 21119	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)))
8	7	acsmred 17675	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
9		eqid 2734	. 2 ⊢ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrInd‘(LSubSp‘𝑊))
10	6	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
11		lvecdimfi.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐽)
12		lvecdimfi.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
13	2, 3, 4, 9, 12	lbsacsbs 21131	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
14	13	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
15	1, 11, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
16	15	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
17		lvecdimfi.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐽)
18	2, 3, 4, 9, 12	lbsacsbs 21131	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑇 ∈ 𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
19	18	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
20	1, 17, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
21	20	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
22		lvecdimfi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
23	15	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))
24	20	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))
25	23, 24	eqtr4d 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇))
26	8, 3, 9, 10, 16, 21, 22, 25	mreexfidimd 17669	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∀wral 3050   ∖ cdif 3930   ∪ cun 3931  𝒫 cpw 4582  {csn 4608   class class class wbr 5125  ‘cfv 6542   ≈ cen 8965  Fincfn 8968  Basecbs 17230  mrClscmrc 17602  mrIndcmri 17603  ACScacs 17604  LSubSpclss 20902  LBasisclbs 21046  LVecclvec 21074

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-int 4929  df-iun 4975  df-iin 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-tpos 8234  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-2o 8490  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-2 12312  df-3 12313  df-sets 17184  df-slot 17202  df-ndx 17214  df-base 17231  df-ress 17257  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-0g 17462  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-mri 17607  df-acs 17608  df-mgm 18627  df-sgrp 18706  df-mnd 18722  df-submnd 18771  df-grp 18928  df-minusg 18929  df-sbg 18930  df-subg 19115  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-oppr 20307  df-dvdsr 20330  df-unit 20331  df-invr 20361  df-drng 20704  df-lmod 20833  df-lss 20903  df-lsp 20943  df-lbs 21047  df-lvec 21075

This theorem is referenced by:  dimvalfi  33593