Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvecdimfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecdimfi 32359
Description: Finite version of lvecdim 20663 which does not require the axiom of choice. The axiom of choice is used in acsmapd 18451, which is required in the infinite case. Suggested by Gรฉrard Lang. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecdimfi.j ๐ฝ = (LBasisโ€˜๐‘Š)
lvecdimfi.w (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ LVec)
lvecdimfi.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐ฝ)
lvecdimfi.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ฝ)
lvecdimfi.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
Assertion
Ref Expression
lvecdimfi (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰ˆ ๐‘‡)

Proof of Theorem lvecdimfi
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lvecdimfi.w . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Š โˆˆ LVec)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (LSubSpโ€˜๐‘Š) = (LSubSpโ€˜๐‘Š)
3 eqid 2733 . . . . . 6 (mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)) = (mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))
4 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘Š) = (Baseโ€˜๐‘Š)
52, 3, 4lssacsex 20650 . . . . 5 (๐‘Š โˆˆ LVec โ†’ ((LSubSpโ€˜๐‘Š) โˆˆ (ACSโ€˜(Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜(๐‘ฅ โˆช {๐‘ฆ})) โˆ– ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘ฅ))๐‘ฆ โˆˆ ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜(๐‘ฅ โˆช {๐‘ง}))))
61, 5syl 17 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((LSubSpโ€˜๐‘Š) โˆˆ (ACSโ€˜(Baseโ€˜๐‘Š)) โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜(๐‘ฅ โˆช {๐‘ฆ})) โˆ– ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘ฅ))๐‘ฆ โˆˆ ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜(๐‘ฅ โˆช {๐‘ง}))))
76simpld 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (LSubSpโ€˜๐‘Š) โˆˆ (ACSโ€˜(Baseโ€˜๐‘Š)))
87acsmred 17544 . 2 (๐œ‘ โ†’ (LSubSpโ€˜๐‘Š) โˆˆ (Mooreโ€˜(Baseโ€˜๐‘Š)))
9 eqid 2733 . 2 (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)) = (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))
106simprd 497 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ฆ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Š)โˆ€๐‘ง โˆˆ (((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜(๐‘ฅ โˆช {๐‘ฆ})) โˆ– ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘ฅ))๐‘ฆ โˆˆ ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜(๐‘ฅ โˆช {๐‘ง})))
11 lvecdimfi.s . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ ๐ฝ)
12 lvecdimfi.j . . . . . 6 ๐ฝ = (LBasisโ€˜๐‘Š)
132, 3, 4, 9, 12lbsacsbs 20662 . . . . 5 (๐‘Š โˆˆ LVec โ†’ (๐‘† โˆˆ ๐ฝ โ†” (๐‘† โˆˆ (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)) โˆง ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘†) = (Baseโ€˜๐‘Š))))
1413biimpa 478 . . . 4 ((๐‘Š โˆˆ LVec โˆง ๐‘† โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (๐‘† โˆˆ (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)) โˆง ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘†) = (Baseโ€˜๐‘Š)))
151, 11, 14syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆˆ (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)) โˆง ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘†) = (Baseโ€˜๐‘Š)))
1615simpld 496 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)))
17 lvecdimfi.t . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ ๐ฝ)
182, 3, 4, 9, 12lbsacsbs 20662 . . . . 5 (๐‘Š โˆˆ LVec โ†’ (๐‘‡ โˆˆ ๐ฝ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)) โˆง ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘‡) = (Baseโ€˜๐‘Š))))
1918biimpa 478 . . . 4 ((๐‘Š โˆˆ LVec โˆง ๐‘‡ โˆˆ ๐ฝ) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)) โˆง ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘‡) = (Baseโ€˜๐‘Š)))
201, 17, 19syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)) โˆง ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘‡) = (Baseโ€˜๐‘Š)))
2120simpld 496 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (mrIndโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š)))
22 lvecdimfi.f . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ Fin)
2315simprd 497 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘†) = (Baseโ€˜๐‘Š))
2420simprd 497 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘‡) = (Baseโ€˜๐‘Š))
2523, 24eqtr4d 2776 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘†) = ((mrClsโ€˜(LSubSpโ€˜๐‘Š))โ€˜๐‘‡))
268, 3, 9, 10, 16, 21, 22, 25mreexfidimd 17538 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โ‰ˆ ๐‘‡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061   โˆ– cdif 3911   โˆช cun 3912  ๐’ซ cpw 4564  {csn 4590   class class class wbr 5109  โ€˜cfv 6500   โ‰ˆ cen 8886  Fincfn 8889  Basecbs 17091  mrClscmrc 17471  mrIndcmri 17472  ACScacs 17473  LSubSpclss 20436  LBasisclbs 20579  LVecclvec 20607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-mri 17476  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lbs 20580  df-lvec 20608
This theorem is referenced by:  dimvalfi  32363
  Copyright terms: Public domain W3C validator