Theorem lvecdimfi 33295

Description: Finite version of lvecdim 21045 which does not require the axiom of choice. The axiom of choice is used in acsmapd 18546, which is required in the infinite case. Suggested by Gérard Lang. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecdimfi.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lvecdimfi.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecdimfi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐽)
lvecdimfi.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐽)
lvecdimfi.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
lvecdimfi	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Proof of Theorem lvecdimfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecdimfi.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (mrCls‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrCls‘(LSubSp‘𝑊))
4		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5	2, 3, 4	lssacsex 21032	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)))
8	7	acsmred 17636	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
9		eqid 2728	. 2 ⊢ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrInd‘(LSubSp‘𝑊))
10	6	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
11		lvecdimfi.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐽)
12		lvecdimfi.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
13	2, 3, 4, 9, 12	lbsacsbs 21044	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
14	13	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
15	1, 11, 14	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
16	15	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
17		lvecdimfi.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐽)
18	2, 3, 4, 9, 12	lbsacsbs 21044	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑇 ∈ 𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
19	18	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
20	1, 17, 19	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
21	20	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
22		lvecdimfi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
23	15	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))
24	20	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))
25	23, 24	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇))
26	8, 3, 9, 10, 16, 21, 22, 25	mreexfidimd 17630	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945  𝒫 cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5148  ‘cfv 6548   ≈ cen 8961  Fincfn 8964  Basecbs 17180  mrClscmrc 17563  mrIndcmri 17564  ACScacs 17565  LSubSpclss 20815  LBasisclbs 20959  LVecclvec 20987

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-0g 17423  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-mri 17568  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lbs 20960  df-lvec 20988

This theorem is referenced by:  dimvalfi  33299