Theorem lvecdimfi 33599

Description: Finite version of lvecdim 21073 which does not require the axiom of choice. The axiom of choice is used in acsmapd 18519, which is required in the infinite case. Suggested by Gérard Lang. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecdimfi.j	⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lvecdimfi.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecdimfi.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐽)
lvecdimfi.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐽)
lvecdimfi.f	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
lvecdimfi	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Proof of Theorem lvecdimfi

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecdimfi.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
2		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (mrCls‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrCls‘(LSubSp‘𝑊))
4		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
5	2, 3, 4	lssacsex 21060	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
7	6	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)))
8	7	acsmred 17623	. 2 ⊢ (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
9		eqid 2730	. 2 ⊢ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrInd‘(LSubSp‘𝑊))
10	6	simprd 495	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
11		lvecdimfi.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐽)
12		lvecdimfi.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
13	2, 3, 4, 9, 12	lbsacsbs 21072	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑆 ∈ 𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
14	13	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝐽) → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
15	1, 11, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
16	15	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
17		lvecdimfi.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐽)
18	2, 3, 4, 9, 12	lbsacsbs 21072	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → (𝑇 ∈ 𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
19	18	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐽) → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
20	1, 17, 19	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
21	20	simpld 494	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
22		lvecdimfi.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Fin)
23	15	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))
24	20	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))
25	23, 24	eqtr4d 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇))
26	8, 3, 9, 10, 16, 21, 22, 25	mreexfidimd 17617	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3046   ∖ cdif 3919   ∪ cun 3920  𝒫 cpw 4571  {csn 4597   class class class wbr 5115  ‘cfv 6519   ≈ cen 8919  Fincfn 8922  Basecbs 17185  mrClscmrc 17550  mrIndcmri 17551  ACScacs 17552  LSubSpclss 20843  LBasisclbs 20987  LVecclvec 21015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5242  ax-sep 5259  ax-nul 5269  ax-pow 5328  ax-pr 5395  ax-un 7718  ax-cnex 11142  ax-resscn 11143  ax-1cn 11144  ax-icn 11145  ax-addcl 11146  ax-addrcl 11147  ax-mulcl 11148  ax-mulrcl 11149  ax-mulcom 11150  ax-addass 11151  ax-mulass 11152  ax-distr 11153  ax-i2m1 11154  ax-1ne0 11155  ax-1rid 11156  ax-rnegex 11157  ax-rrecex 11158  ax-cnre 11159  ax-pre-lttri 11160  ax-pre-lttrn 11161  ax-pre-ltadd 11162  ax-pre-mulgt0 11163

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2880  df-ne 2928  df-nel 3032  df-ral 3047  df-rex 3056  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3412  df-v 3457  df-sbc 3762  df-csb 3871  df-dif 3925  df-un 3927  df-in 3929  df-ss 3939  df-pss 3942  df-nul 4305  df-if 4497  df-pw 4573  df-sn 4598  df-pr 4600  df-op 4604  df-uni 4880  df-int 4919  df-iun 4965  df-iin 4966  df-br 5116  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5541  df-eprel 5546  df-po 5554  df-so 5555  df-fr 5599  df-we 5601  df-xp 5652  df-rel 5653  df-cnv 5654  df-co 5655  df-dm 5656  df-rn 5657  df-res 5658  df-ima 5659  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6472  df-fun 6521  df-fn 6522  df-f 6523  df-f1 6524  df-fo 6525  df-f1o 6526  df-fv 6527  df-riota 7351  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7851  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8214  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8349  df-rdg 8387  df-1o 8443  df-2o 8444  df-er 8682  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9910  df-pnf 11228  df-mnf 11229  df-xr 11230  df-ltxr 11231  df-le 11232  df-sub 11425  df-neg 11426  df-nn 12198  df-2 12260  df-3 12261  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-ress 17207  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-0g 17410  df-mre 17553  df-mrc 17554  df-mri 17555  df-acs 17556  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18717  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-sbg 18876  df-subg 19061  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-oppr 20252  df-dvdsr 20272  df-unit 20273  df-invr 20303  df-drng 20646  df-lmod 20774  df-lss 20844  df-lsp 20884  df-lbs 20988  df-lvec 21016

This theorem is referenced by:  dimvalfi  33605