Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lvecdimfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecdimfi 30897
Description: Finite version of lvecdim 19858 which does not require the axiom of choice. The axiom of choice is used in acsmapd 17776, which is required in the infinite case. Suggested by Gérard Lang. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-May-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecdimfi.j 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
lvecdimfi.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecdimfi.s (𝜑𝑆𝐽)
lvecdimfi.t (𝜑𝑇𝐽)
lvecdimfi.f (𝜑𝑆 ∈ Fin)
Assertion
Ref Expression
lvecdimfi (𝜑𝑆𝑇)

Proof of Theorem lvecdimfi
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lvecdimfi.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
2 eqid 2818 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
3 eqid 2818 . . . . . 6 (mrCls‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrCls‘(LSubSp‘𝑊))
4 eqid 2818 . . . . . 6 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
52, 3, 4lssacsex 19845 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
61, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧}))))
76simpld 495 . . 3 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ∈ (ACS‘(Base‘𝑊)))
87acsmred 16915 . 2 (𝜑 → (LSubSp‘𝑊) ∈ (Moore‘(Base‘𝑊)))
9 eqid 2818 . 2 (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) = (mrInd‘(LSubSp‘𝑊))
106simprd 496 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝒫 (Base‘𝑊)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑧 ∈ (((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑦})) ∖ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑥))𝑦 ∈ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘(𝑥 ∪ {𝑧})))
11 lvecdimfi.s . . . 4 (𝜑𝑆𝐽)
12 lvecdimfi.j . . . . . 6 𝐽 = (LBasis‘𝑊)
132, 3, 4, 9, 12lbsacsbs 19857 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝑆𝐽 ↔ (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))))
1413biimpa 477 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑆𝐽) → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
151, 11, 14syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊)))
1615simpld 495 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
17 lvecdimfi.t . . . 4 (𝜑𝑇𝐽)
182, 3, 4, 9, 12lbsacsbs 19857 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → (𝑇𝐽 ↔ (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))))
1918biimpa 477 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝑇𝐽) → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
201, 17, 19syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)) ∧ ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊)))
2120simpld 495 . 2 (𝜑𝑇 ∈ (mrInd‘(LSubSp‘𝑊)))
22 lvecdimfi.f . 2 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
2315simprd 496 . . 3 (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = (Base‘𝑊))
2420simprd 496 . . 3 (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇) = (Base‘𝑊))
2523, 24eqtr4d 2856 . 2 (𝜑 → ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑆) = ((mrCls‘(LSubSp‘𝑊))‘𝑇))
268, 3, 9, 10, 16, 21, 22, 25mreexfidimd 16909 1 (𝜑𝑆𝑇)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wral 3135  cdif 3930  cun 3931  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   class class class wbr 5057  cfv 6348  cen 8494  Fincfn 8497  Basecbs 16471  mrClscmrc 16842  mrIndcmri 16843  ACScacs 16844  LSubSpclss 19632  LBasisclbs 19775  LVecclvec 19803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-mri 16847  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lbs 19776  df-lvec 19804
This theorem is referenced by:  dimvalfi  30901
  Copyright terms: Public domain W3C validator