Theorem cycsubg2cl 17982

Description: Any multiple of an element is contained in the generated cyclic subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg2cl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg2cl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg2cl.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
cycsubg2cl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))

Proof of Theorem cycsubg2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubg2cl.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2	1	subgacs 17979	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
3	2	acsmred 16668	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1169	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
5		simp2 1173	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6	5	snssd 4557	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
7		cycsubg2cl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	7	mrccl 16623	. . 3 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4, 6, 8	syl2anc 581	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		simp3 1174	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 7, 6	mrcssidd 16637	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
12		snssg 4533	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ↔ {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴})))
13	12	3ad2ant2 1170	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ↔ {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴})))
14	11, 13	mpbird 249	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}))
15		cycsubg2cl.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16	15	subgmulgcl 17957	. 2 ⊢ (((𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴})) → (𝑁 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
17	9, 10, 14, 16	syl3anc 1496	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ⊆ wss 3797  {csn 4396  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  ℤcz 11703  Basecbs 16221  Moorecmre 16594  mrClscmrc 16595  Grpcgrp 17775  ._gcmg 17893  SubGrpcsubg 17938

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-n0 11618  df-z 11704  df-uz 11968  df-fz 12619  df-seq 13095  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-0g 16454  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-mulg 17894  df-subg 17941

This theorem is referenced by:  odngen  18342