Theorem cycsubg2cl 19152

Description: Any multiple of an element is contained in the generated cyclic subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubg2cl.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
cycsubg2cl.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubg2cl.k	⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
cycsubg2cl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))

Proof of Theorem cycsubg2cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubg2cl.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2	1	subgacs 19102	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (ACS‘𝑋))
3	2	acsmred 17591	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
4	3	3ad2ant1 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋))
5		simp2 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6	5	snssd 4767	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ 𝑋)
7		cycsubg2cl.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (mrCls‘(SubGrp‘𝐺))
8	7	mrccl 17546	. . 3 ⊢ (((SubGrp‘𝐺) ∈ (Moore‘𝑋) ∧ {𝐴} ⊆ 𝑋) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
9	4, 6, 8	syl2anc 585	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺))
10		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
11	4, 7, 6	mrcssidd 17560	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴}))
12		snssg 4742	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ↔ {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴})))
13	12	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}) ↔ {𝐴} ⊆ (𝐾‘{𝐴})))
14	11, 13	mpbird 257	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴}))
15		cycsubg2cl.t	. . 3 ⊢ · = (.g‘𝐺)
16	15	subgmulgcl 19081	. 2 ⊢ (((𝐾‘{𝐴}) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ (𝐾‘{𝐴})) → (𝑁 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))
17	9, 10, 14, 16	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ (𝐾‘{𝐴}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℤcz 12500  Basecbs 17148  Moorecmre 17513  mrClscmrc 17514  Grpcgrp 18875  ._gcmg 19009  SubGrpcsubg 19062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-seq 13937  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-mulg 19010  df-subg 19065

This theorem is referenced by:  odngen  19518