MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubg2cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubg2cl 19083
Description: Any multiple of an element is contained in the generated cyclic subgroup. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubg2cl.x 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
cycsubg2cl.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
cycsubg2cl.k 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
Assertion
Ref Expression
cycsubg2cl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 Β· 𝐴) ∈ (πΎβ€˜{𝐴}))

Proof of Theorem cycsubg2cl
StepHypRef Expression
1 cycsubg2cl.x . . . . . 6 𝑋 = (Baseβ€˜πΊ)
21subgacs 19036 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
32acsmred 17597 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
433ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
5 simp2 1138 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
65snssd 4812 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ {𝐴} βŠ† 𝑋)
7 cycsubg2cl.k . . . 4 𝐾 = (mrClsβ€˜(SubGrpβ€˜πΊ))
87mrccl 17552 . . 3 (((SubGrpβ€˜πΊ) ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ {𝐴} βŠ† 𝑋) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
94, 6, 8syl2anc 585 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
10 simp3 1139 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
114, 7, 6mrcssidd 17566 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ {𝐴} βŠ† (πΎβ€˜{𝐴}))
12 snssg 4787 . . . 4 (𝐴 ∈ 𝑋 β†’ (𝐴 ∈ (πΎβ€˜{𝐴}) ↔ {𝐴} βŠ† (πΎβ€˜{𝐴})))
13123ad2ant2 1135 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 ∈ (πΎβ€˜{𝐴}) ↔ {𝐴} βŠ† (πΎβ€˜{𝐴})))
1411, 13mpbird 257 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ (πΎβ€˜{𝐴}))
15 cycsubg2cl.t . . 3 Β· = (.gβ€˜πΊ)
1615subgmulgcl 19014 . 2 (((πΎβ€˜{𝐴}) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝐴 ∈ (πΎβ€˜{𝐴})) β†’ (𝑁 Β· 𝐴) ∈ (πΎβ€˜{𝐴}))
179, 10, 14, 16syl3anc 1372 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 Β· 𝐴) ∈ (πΎβ€˜{𝐴}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406  β„€cz 12555  Basecbs 17141  Moorecmre 17523  mrClscmrc 17524  Grpcgrp 18816  .gcmg 18945  SubGrpcsubg 18995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-seq 13964  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-0g 17384  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-mulg 18946  df-subg 18998
This theorem is referenced by:  odngen  19440
  Copyright terms: Public domain W3C validator