Theorem acsmre 16624

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 16623	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 492	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 385  ∃wex 1875   ∈ wcel 2157  ∀wral 3087   ∩ cin 3766   ⊆ wss 3767  𝒫 cpw 4347  ∪ cuni 4626   “ cima 5313  ⟶wf 6095  ‘cfv 6099  Fincfn 8193  Moorecmre 16554  ACScacs 16557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ral 3092  df-rex 3093  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-op 4373  df-uni 4627  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-id 5218  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-fv 6107  df-acs 16561

This theorem is referenced by:  acsfiel  16626  acsmred  16628  mreacs  16630  isacs3lem  17478  symggen  18199  odf1o1  18297  lsmmod  18398  gsumzsplit  18639  gsumzoppg  18656  gsumpt  18673  dmdprdd  18711  dprdfeq0  18734  dprdspan  18739  dprdres  18740  dprdss  18741  subgdmdprd  18746  subgdprd  18747  dprdsn  18748  dprd2dlem1  18753  dprd2da  18754  dmdprdsplit2lem  18757  ablfac1b  18782  pgpfac1lem1  18786  pgpfac1lem3  18789  pgpfac1lem4  18790  pgpfac1lem5  18791  pgpfaclem1  18793  pgpfaclem2  18794  isnacs2  38043  proot1mul  38550  proot1hash  38551