Theorem acsmre 17361

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17360	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 498	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  𝒫 cpw 4533  ∪ cuni 4839   “ cima 5592  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  Fincfn 8733  Moorecmre 17291  ACScacs 17294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-acs 17298

This theorem is referenced by:  acsfiel  17363  acsmred  17365  mreacs  17367  isacs3lem  18260  symggen  19078  odf1o1  19177  lsmmod  19281  gsumzsplit  19528  gsumzoppg  19545  gsumpt  19563  dmdprdd  19602  dprdfeq0  19625  dprdspan  19630  dprdres  19631  dprdss  19632  subgdmdprd  19637  subgdprd  19638  dprdsn  19639  dprd2dlem1  19644  dprd2da  19645  dmdprdsplit2lem  19648  ablfac1b  19673  pgpfac1lem1  19677  pgpfac1lem3  19680  pgpfac1lem4  19681  pgpfac1lem5  19682  pgpfaclem2  19685  isnacs2  40528  proot1mul  41024  proot1hash  41025