Theorem acsmre 17730

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17729	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081   ∩ cin 3905   ⊆ wss 3906  𝒫 cpw 4564  ∪ cuni 4874   “ cima 5666  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  Fincfn 8949  Moorecmre 17656  ACScacs 17659

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-acs 17663

This theorem is used by:  acsfiel  17732  acsmred  17734  mreacs  17736  isacs3lem  18620  symggen  19584  odf1o1  19686  lsmmod  19789  gsumzsplit  20041  gsumzoppg  20058  gsumpt  20076  dmdprdd  20115  dprdfeq0  20138  dprdspan  20143  dprdres  20144  dprdss  20145  subgdmdprd  20150  subgdprd  20151  dprdsn  20152  dprd2dlem1  20157  dprd2da  20158  dmdprdsplit2lem  20161  ablfac1b  20186  pgpfac1lem1  20190  pgpfac1lem3  20193  pgpfac1lem4  20194  pgpfac1lem5  20195  pgpfaclem2  20198  isnacs2  43495  proot1mul  43979  proot1hash  43980