Theorem acsmre 16981

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 16980	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070   ∩ cin 3857   ⊆ wss 3858  𝒫 cpw 4494  ∪ cuni 4798   “ cima 5527  ⟶wf 6331  ‘cfv 6335  Fincfn 8527  Moorecmre 16911  ACScacs 16914

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pr 5298

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-op 4529  df-uni 4799  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-id 5430  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-fv 6343  df-acs 16918

This theorem is referenced by:  acsfiel  16983  acsmred  16985  mreacs  16987  isacs3lem  17842  symggen  18665  odf1o1  18764  lsmmod  18868  gsumzsplit  19115  gsumzoppg  19132  gsumpt  19150  dmdprdd  19189  dprdfeq0  19212  dprdspan  19217  dprdres  19218  dprdss  19219  subgdmdprd  19224  subgdprd  19225  dprdsn  19226  dprd2dlem1  19231  dprd2da  19232  dmdprdsplit2lem  19235  ablfac1b  19260  pgpfac1lem1  19264  pgpfac1lem3  19267  pgpfac1lem4  19268  pgpfac1lem5  19269  pgpfaclem2  19272  isnacs2  40020  proot1mul  40516  proot1hash  40517