Theorem acsmre 17618

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17617	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 496	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  𝒫 cpw 4541  ∪ cuni 4850   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  Fincfn 8893  Moorecmre 17544  ACScacs 17547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-acs 17551

This theorem is referenced by:  acsfiel  17620  acsmred  17622  mreacs  17624  isacs3lem  18508  symggen  19445  odf1o1  19547  lsmmod  19650  gsumzsplit  19902  gsumzoppg  19919  gsumpt  19937  dmdprdd  19976  dprdfeq0  19999  dprdspan  20004  dprdres  20005  dprdss  20006  subgdmdprd  20011  subgdprd  20012  dprdsn  20013  dprd2dlem1  20018  dprd2da  20019  dmdprdsplit2lem  20022  ablfac1b  20047  pgpfac1lem1  20051  pgpfac1lem3  20054  pgpfac1lem4  20055  pgpfac1lem5  20056  pgpfaclem2  20059  isnacs2  43138  proot1mul  43622  proot1hash  43623