MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsmre 17539
Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
acsmre (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))

Proof of Theorem acsmre
Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isacs 17538 . 2 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) ↔ (𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹) ∧ βˆƒπ‘“(𝑓:𝒫 π‘‹βŸΆπ’« 𝑋 ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐢 ↔ βˆͺ (𝑓 β€œ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) βŠ† 𝑠))))
21simplbi 499 1 (𝐢 ∈ (ACSβ€˜π‘‹) β†’ 𝐢 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  Fincfn 8890  Moorecmre 17469  ACScacs 17472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-acs 17476
This theorem is referenced by:  acsfiel  17541  acsmred  17543  mreacs  17545  isacs3lem  18438  symggen  19259  odf1o1  19361  lsmmod  19464  gsumzsplit  19711  gsumzoppg  19728  gsumpt  19746  dmdprdd  19785  dprdfeq0  19808  dprdspan  19813  dprdres  19814  dprdss  19815  subgdmdprd  19820  subgdprd  19821  dprdsn  19822  dprd2dlem1  19827  dprd2da  19828  dmdprdsplit2lem  19831  ablfac1b  19856  pgpfac1lem1  19860  pgpfac1lem3  19863  pgpfac1lem4  19864  pgpfac1lem5  19865  pgpfaclem2  19868  isnacs2  41058  proot1mul  41555  proot1hash  41556
  Copyright terms: Public domain W3C validator