Theorem acsmre 17558

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17557	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  ∪ cuni 4856   “ cima 5617  ⟶wf 6477  ‘cfv 6481  Fincfn 8869  Moorecmre 17484  ACScacs 17487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-fv 6489  df-acs 17491

This theorem is referenced by:  acsfiel  17560  acsmred  17562  mreacs  17564  isacs3lem  18448  symggen  19382  odf1o1  19484  lsmmod  19587  gsumzsplit  19839  gsumzoppg  19856  gsumpt  19874  dmdprdd  19913  dprdfeq0  19936  dprdspan  19941  dprdres  19942  dprdss  19943  subgdmdprd  19948  subgdprd  19949  dprdsn  19950  dprd2dlem1  19955  dprd2da  19956  dmdprdsplit2lem  19959  ablfac1b  19984  pgpfac1lem1  19988  pgpfac1lem3  19991  pgpfac1lem4  19992  pgpfac1lem5  19993  pgpfaclem2  19996  isnacs2  42747  proot1mul  43235  proot1hash  43236