Theorem acsmre 17573

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17572	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  𝒫 cpw 4552  ∪ cuni 4861   “ cima 5625  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  Fincfn 8881  Moorecmre 17499  ACScacs 17502

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-fv 6498  df-acs 17506

This theorem is referenced by:  acsfiel  17575  acsmred  17577  mreacs  17579  isacs3lem  18463  symggen  19397  odf1o1  19499  lsmmod  19602  gsumzsplit  19854  gsumzoppg  19871  gsumpt  19889  dmdprdd  19928  dprdfeq0  19951  dprdspan  19956  dprdres  19957  dprdss  19958  subgdmdprd  19963  subgdprd  19964  dprdsn  19965  dprd2dlem1  19970  dprd2da  19971  dmdprdsplit2lem  19974  ablfac1b  19999  pgpfac1lem1  20003  pgpfac1lem3  20006  pgpfac1lem4  20007  pgpfac1lem5  20008  pgpfaclem2  20011  isnacs2  42890  proot1mul  43378  proot1hash  43379