Theorem acsmre 16672

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 16671	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 493	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386  ∃wex 1878   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117   ∩ cin 3797   ⊆ wss 3798  𝒫 cpw 4380  ∪ cuni 4660   “ cima 5349  ⟶wf 6123  ‘cfv 6127  Fincfn 8228  Moorecmre 16602  ACScacs 16605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-fv 6135  df-acs 16609

This theorem is referenced by:  acsfiel  16674  acsmred  16676  mreacs  16678  isacs3lem  17526  symggen  18247  odf1o1  18345  lsmmod  18446  gsumzsplit  18687  gsumzoppg  18704  gsumpt  18721  dmdprdd  18759  dprdfeq0  18782  dprdspan  18787  dprdres  18788  dprdss  18789  subgdmdprd  18794  subgdprd  18795  dprdsn  18796  dprd2dlem1  18801  dprd2da  18802  dmdprdsplit2lem  18805  ablfac1b  18830  pgpfac1lem1  18834  pgpfac1lem3  18837  pgpfac1lem4  18838  pgpfac1lem5  18839  pgpfaclem1  18841  pgpfaclem2  18842  isnacs2  38112  proot1mul  38619  proot1hash  38620