Theorem acsmre 17835

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17834	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 502	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088  𝒫 cpw 4556  ∪ cuni 4866   “ cima 5654  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Fincfn 8980  Moorecmre 17761  ACScacs 17764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-acs 17768

This theorem is used by:  acsfiel  17837  acsmred  17839  mreacs  17841  isacs3lem  18725  symggen  19693  odf1o1  19795  lsmmod  19898  gsumzsplit  20150  gsumzoppg  20167  gsumpt  20185  dmdprdd  20224  dprdfeq0  20247  dprdspan  20252  dprdres  20253  dprdss  20254  subgdmdprd  20259  subgdprd  20260  dprdsn  20261  dprd2dlem1  20266  dprd2da  20267  dmdprdsplit2lem  20270  ablfac1b  20295  pgpfac1lem1  20299  pgpfac1lem3  20302  pgpfac1lem4  20303  pgpfac1lem5  20304  pgpfaclem2  20307  isnacs2  43826  proot1mul  44305  proot1hash  44306