Theorem acsmre 17631

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17630	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4603  ∪ cuni 4908   “ cima 5681  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  Fincfn 8963  Moorecmre 17561  ACScacs 17564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-acs 17568

This theorem is referenced by:  acsfiel  17633  acsmred  17635  mreacs  17637  isacs3lem  18533  symggen  19424  odf1o1  19526  lsmmod  19629  gsumzsplit  19881  gsumzoppg  19898  gsumpt  19916  dmdprdd  19955  dprdfeq0  19978  dprdspan  19983  dprdres  19984  dprdss  19985  subgdmdprd  19990  subgdprd  19991  dprdsn  19992  dprd2dlem1  19997  dprd2da  19998  dmdprdsplit2lem  20001  ablfac1b  20026  pgpfac1lem1  20030  pgpfac1lem3  20033  pgpfac1lem4  20034  pgpfac1lem5  20035  pgpfaclem2  20038  isnacs2  42126  proot1mul  42622  proot1hash  42623