Theorem acsmre 17620

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17619	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917  𝒫 cpw 4566  ∪ cuni 4874   “ cima 5644  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  Fincfn 8921  Moorecmre 17550  ACScacs 17553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522  df-acs 17557

This theorem is referenced by:  acsfiel  17622  acsmred  17624  mreacs  17626  isacs3lem  18508  symggen  19407  odf1o1  19509  lsmmod  19612  gsumzsplit  19864  gsumzoppg  19881  gsumpt  19899  dmdprdd  19938  dprdfeq0  19961  dprdspan  19966  dprdres  19967  dprdss  19968  subgdmdprd  19973  subgdprd  19974  dprdsn  19975  dprd2dlem1  19980  dprd2da  19981  dmdprdsplit2lem  19984  ablfac1b  20009  pgpfac1lem1  20013  pgpfac1lem3  20016  pgpfac1lem4  20017  pgpfac1lem5  20018  pgpfaclem2  20021  isnacs2  42701  proot1mul  43190  proot1hash  43191