Theorem acsmre 16915

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 16914	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 501	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ∩ cin 3880   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800   “ cima 5522  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  Fincfn 8492  Moorecmre 16845  ACScacs 16848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-fv 6332  df-acs 16852

This theorem is referenced by:  acsfiel  16917  acsmred  16919  mreacs  16921  isacs3lem  17768  symggen  18590  odf1o1  18689  lsmmod  18793  gsumzsplit  19040  gsumzoppg  19057  gsumpt  19075  dmdprdd  19114  dprdfeq0  19137  dprdspan  19142  dprdres  19143  dprdss  19144  subgdmdprd  19149  subgdprd  19150  dprdsn  19151  dprd2dlem1  19156  dprd2da  19157  dmdprdsplit2lem  19160  ablfac1b  19185  pgpfac1lem1  19189  pgpfac1lem3  19192  pgpfac1lem4  19193  pgpfac1lem5  19194  pgpfaclem2  19197  isnacs2  39647  proot1mul  40143  proot1hash  40144