Theorem acsmre 17613

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17612	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  𝒫 cpw 4563  ∪ cuni 4871   “ cima 5641  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  Fincfn 8918  Moorecmre 17543  ACScacs 17546

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-fv 6519  df-acs 17550

This theorem is referenced by:  acsfiel  17615  acsmred  17617  mreacs  17619  isacs3lem  18501  symggen  19400  odf1o1  19502  lsmmod  19605  gsumzsplit  19857  gsumzoppg  19874  gsumpt  19892  dmdprdd  19931  dprdfeq0  19954  dprdspan  19959  dprdres  19960  dprdss  19961  subgdmdprd  19966  subgdprd  19967  dprdsn  19968  dprd2dlem1  19973  dprd2da  19974  dmdprdsplit2lem  19977  ablfac1b  20002  pgpfac1lem1  20006  pgpfac1lem3  20009  pgpfac1lem4  20010  pgpfac1lem5  20011  pgpfaclem2  20014  isnacs2  42694  proot1mul  43183  proot1hash  43184