Theorem acsmre 17596

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17595	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 499	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397  ∃wex 1782   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  𝒫 cpw 4603  ∪ cuni 4909   “ cima 5680  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  Fincfn 8939  Moorecmre 17526  ACScacs 17529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-fv 6552  df-acs 17533

This theorem is referenced by:  acsfiel  17598  acsmred  17600  mreacs  17602  isacs3lem  18495  symggen  19338  odf1o1  19440  lsmmod  19543  gsumzsplit  19795  gsumzoppg  19812  gsumpt  19830  dmdprdd  19869  dprdfeq0  19892  dprdspan  19897  dprdres  19898  dprdss  19899  subgdmdprd  19904  subgdprd  19905  dprdsn  19906  dprd2dlem1  19911  dprd2da  19912  dmdprdsplit2lem  19915  ablfac1b  19940  pgpfac1lem1  19944  pgpfac1lem3  19947  pgpfac1lem4  19948  pgpfac1lem5  19949  pgpfaclem2  19952  isnacs2  41444  proot1mul  41941  proot1hash  41942