Theorem acsmre 17632

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17631	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1774   ∈ wcel 2099  ∀wral 3058   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  𝒫 cpw 4603  ∪ cuni 4908   “ cima 5681  ⟶wf 6544  ‘cfv 6548  Fincfn 8964  Moorecmre 17562  ACScacs 17565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-fv 6556  df-acs 17569

This theorem is referenced by:  acsfiel  17634  acsmred  17636  mreacs  17638  isacs3lem  18534  symggen  19425  odf1o1  19527  lsmmod  19630  gsumzsplit  19882  gsumzoppg  19899  gsumpt  19917  dmdprdd  19956  dprdfeq0  19979  dprdspan  19984  dprdres  19985  dprdss  19986  subgdmdprd  19991  subgdprd  19992  dprdsn  19993  dprd2dlem1  19998  dprd2da  19999  dmdprdsplit2lem  20002  ablfac1b  20027  pgpfac1lem1  20031  pgpfac1lem3  20034  pgpfac1lem4  20035  pgpfac1lem5  20036  pgpfaclem2  20039  isnacs2  42126  proot1mul  42622  proot1hash  42623