Theorem acsmre 17603

Description: Algebraic closure systems are closure systems. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
acsmre	⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Proof of Theorem acsmre

Dummy variables 𝑓 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isacs 17602	. 2 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) ↔ (𝐶 ∈ (Moore‘𝑋) ∧ ∃𝑓(𝑓:𝒫 𝑋⟶𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋(𝑠 ∈ 𝐶 ↔ ∪ (𝑓 “ (𝒫 𝑠 ∩ Fin)) ⊆ 𝑠))))
2	1	simplbi 497	1 ⊢ (𝐶 ∈ (ACS‘𝑋) → 𝐶 ∈ (Moore‘𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395  ∃wex 1773   ∈ wcel 2098  ∀wral 3055   ∩ cin 3942   ⊆ wss 3943  𝒫 cpw 4597  ∪ cuni 4902   “ cima 5672  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  Fincfn 8938  Moorecmre 17533  ACScacs 17536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pr 5420

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-acs 17540

This theorem is referenced by:  acsfiel  17605  acsmred  17607  mreacs  17609  isacs3lem  18505  symggen  19388  odf1o1  19490  lsmmod  19593  gsumzsplit  19845  gsumzoppg  19862  gsumpt  19880  dmdprdd  19919  dprdfeq0  19942  dprdspan  19947  dprdres  19948  dprdss  19949  subgdmdprd  19954  subgdprd  19955  dprdsn  19956  dprd2dlem1  19961  dprd2da  19962  dmdprdsplit2lem  19965  ablfac1b  19990  pgpfac1lem1  19994  pgpfac1lem3  19997  pgpfac1lem4  19998  pgpfac1lem5  19999  pgpfaclem2  20002  isnacs2  42003  proot1mul  42499  proot1hash  42500