Theorem acsexdimd 18513

Description: In an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure, they are equinumerous. See mreexfidimd 17592 for the finite case and acsinfdimd 18512 for the infinite case. This is a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsexdimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsexdimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsexdimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsexdimd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
acsexdimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsexdimd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
acsexdimd.7	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
acsexdimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem acsexdimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsexdimd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2	1	acsmred 17598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		acsexdimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5		acsexdimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6		acsexdimd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
8		acsexdimd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ 𝐼)
10		acsexdimd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ 𝐼)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
13		acsexdimd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
15	3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14	mreexfidimd 17592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ 𝑇)
16	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
17	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ 𝐼)
18	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ 𝐼)
19	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
20		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
21	16, 4, 5, 17, 18, 19, 20	acsinfdimd 18512	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ 𝑇)
22	15, 21	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3053   ∖ cdif 3937   ∪ cun 3938  𝒫 cpw 4594  {csn 4620   class class class wbr 5138  ‘cfv 6533   ≈ cen 8931  Fincfn 8934  Moorecmre 17524  mrClscmrc 17525  mrIndcmri 17526  ACScacs 17527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-reg 9582  ax-inf2 9631  ax-ac2 10453  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-oi 9500  df-r1 9754  df-rank 9755  df-card 9929  df-acn 9932  df-ac 10106  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-tset 17214  df-ple 17215  df-ocomp 17216  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-mri 17530  df-acs 17531  df-proset 18249  df-drs 18250  df-poset 18267  df-ipo 18482

This theorem is referenced by:  lvecdim  20997