Theorem acsexdimd 17543

Description: In an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure, they are equinumerous. See mreexfidimd 16670 for the finite case and acsinfdimd 17542 for the infinite case. This is a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsexdimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsexdimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsexdimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsexdimd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
acsexdimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsexdimd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
acsexdimd.7	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
acsexdimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem acsexdimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsexdimd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2	1	acsmred 16676	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	2	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		acsexdimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5		acsexdimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6		acsexdimd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
7	6	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
8		acsexdimd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
9	8	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ 𝐼)
10		acsexdimd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
11	10	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ 𝐼)
12		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
13		acsexdimd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
14	13	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
15	3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14	mreexfidimd 16670	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ 𝑇)
16	1	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
17	8	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ 𝐼)
18	10	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ 𝐼)
19	13	adantr 474	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
20		simpr 479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
21	16, 4, 5, 17, 18, 19, 20	acsinfdimd 17542	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ 𝑇)
22	15, 21	pm2.61dan 847	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  ∀wral 3117   ∖ cdif 3795   ∪ cun 3796  𝒫 cpw 4380  {csn 4399   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127   ≈ cen 8225  Fincfn 8228  Moorecmre 16602  mrClscmrc 16603  mrIndcmri 16604  ACScacs 16605

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-reg 8773  ax-inf2 8822  ax-ac2 9607  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-oi 8691  df-r1 8911  df-rank 8912  df-card 9085  df-acn 9088  df-ac 9259  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ocomp 16333  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-mri 16608  df-acs 16609  df-proset 17288  df-drs 17289  df-poset 17306  df-ipo 17512

This theorem is referenced by:  lvecdim  19525