Theorem acsexdimd 18523

Description: In an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure, they are equinumerous. See mreexfidimd 17614 for the finite case and acsinfdimd 18522 for the infinite case. This is a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsexdimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsexdimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsexdimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsexdimd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
acsexdimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsexdimd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
acsexdimd.7	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
acsexdimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem acsexdimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsexdimd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2	1	acsmred 17620	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	2	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		acsexdimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5		acsexdimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6		acsexdimd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
7	6	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
8		acsexdimd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
9	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ 𝐼)
10		acsexdimd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
11	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ 𝐼)
12		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
13		acsexdimd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
14	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
15	3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14	mreexfidimd 17614	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ 𝑇)
16	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
17	8	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ 𝐼)
18	10	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ 𝐼)
19	13	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
20		simpr 485	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
21	16, 4, 5, 17, 18, 19, 20	acsinfdimd 18522	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ 𝑇)
22	15, 21	pm2.61dan 818	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054   ∖ cdif 3887   ∪ cun 3888  𝒫 cpw 4536  {csn 4562   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492   ≈ cen 8887  Fincfn 8890  Moorecmre 17542  mrClscmrc 17543  mrIndcmri 17544  ACScacs 17545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-reg 9504  ax-inf2 9560  ax-ac2 10383  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9422  df-r1 9686  df-rank 9687  df-card 9861  df-acn 9864  df-ac 10036  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ocomp 17239  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-mri 17548  df-acs 17549  df-proset 18258  df-drs 18259  df-poset 18277  df-ipo 18492

This theorem is referenced by:  lvecdim  21157