Theorem acsexdimd 18457

Description: In an algebraic closure system whose closure operator has the exchange property, if two independent sets have equal closure, they are equinumerous. See mreexfidimd 17548 for the finite case and acsinfdimd 18456 for the infinite case. This is a special case of Theorem 4.2.2 in [FaureFrolicher] p. 87. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsexdimd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsexdimd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsexdimd.3	⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
acsexdimd.4	⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
acsexdimd.5	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
acsexdimd.6	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
acsexdimd.7	⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))

Assertion

Ref	Expression
acsexdimd	⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Distinct variable groups:   𝑆,𝑠,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑦,𝑧   𝜑,𝑠,𝑦,𝑧   𝐼,𝑠,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦,𝑧,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem acsexdimd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsexdimd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2	1	acsmred 17554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
3	2	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
4		acsexdimd.2	. . 3 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
5		acsexdimd.3	. . 3 ⊢ 𝐼 = (mrInd‘𝐴)
6		acsexdimd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → ∀𝑠 ∈ 𝒫 𝑋∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ ((𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑦})) ∖ (𝑁‘𝑠))𝑦 ∈ (𝑁‘(𝑠 ∪ {𝑧})))
8		acsexdimd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐼)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ 𝐼)
10		acsexdimd.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ 𝐼)
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ 𝐼)
12		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ Fin)
13		acsexdimd.7	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
14	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
15	3, 4, 5, 7, 9, 11, 12, 14	mreexfidimd 17548	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ 𝑇)
16	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
17	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ∈ 𝐼)
18	10	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑇 ∈ 𝐼)
19	13	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → (𝑁‘𝑆) = (𝑁‘𝑇))
20		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → ¬ 𝑆 ∈ Fin)
21	16, 4, 5, 17, 18, 19, 20	acsinfdimd 18456	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑆 ∈ Fin) → 𝑆 ≈ 𝑇)
22	15, 21	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ≈ 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  ∀wral 3045   ∖ cdif 3897   ∪ cun 3898  𝒫 cpw 4548  {csn 4574   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477   ≈ cen 8861  Fincfn 8864  Moorecmre 17476  mrClscmrc 17477  mrIndcmri 17478  ACScacs 17479

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-reg 9473  ax-inf2 9526  ax-ac2 10346  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-isom 6486  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-oi 9391  df-r1 9649  df-rank 9650  df-card 9824  df-acn 9827  df-ac 9999  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ocomp 17174  df-mre 17480  df-mrc 17481  df-mri 17482  df-acs 17483  df-proset 18192  df-drs 18193  df-poset 18211  df-ipo 18426

This theorem is referenced by:  lvecdim  21087