MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsmapd 17776
Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 17774 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3 (𝜑𝑆𝑋)
acsmapd.4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
Assertion
Ref Expression
acsmapd (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
2 fvex 6676 . . . . 5 (𝑁𝑆) ∈ V
32ssex 5216 . . . 4 (𝑇 ⊆ (𝑁𝑆) → 𝑇 ∈ V)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
51sseld 3963 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁𝑆)))
6 acsmapd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7 acsmapd.2 . . . . . 6 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8 acsmapd.3 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑋)
96, 7, 8acsficl2d 17774 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
105, 9sylibd 240 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
1110ralrimiv 3178 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦))
12 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑁𝑦) = (𝑁‘(𝑓𝑥)))
1312eleq2d 2895 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
1413ac6sg 9898 . . 3 (𝑇 ∈ V → (∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))))
154, 11, 14sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
16 simprl 767 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17 nfv 1906 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
18 nfv 1906 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19 nfra1 3216 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))
2018, 19nfan 1891 . . . . . . . 8 𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
2117, 20nfan 1891 . . . . . . 7 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
226ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2322acsmred 16915 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
2524ffnd 6508 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
26 fnfvelrn 6840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 Fn 𝑇𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2725, 26sylancom 588 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2827snssd 4734 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
2928unissd 4854 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
30 frn 6513 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3130unissd 4854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32 unifpw 8815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
3331, 32sseqtrdi 4014 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓𝑆)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑆)
358ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑆𝑋)
3634, 35sstrd 3974 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑋)
3723, 7, 29, 36mrcssd 16883 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑁 {(𝑓𝑥)}) ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
38 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
3938r19.21bi 3205 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
40 fvex 6676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
4140unisn 4846 . . . . . . . . . . 11 {(𝑓𝑥)} = (𝑓𝑥)
4241fveq2i 6666 . . . . . . . . . 10 (𝑁 {(𝑓𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓𝑥))
4339, 42eleqtrrdi 2921 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 {(𝑓𝑥)}))
4437, 43sseldd 3965 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓))
4544ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4621, 45alrimi 2203 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
47 dfss2 3952 . . . . . 6 (𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4846, 47sylibr 235 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
4916, 48jca 512 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
5049ex 413 . . 3 (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5150eximdv 1909 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5215, 51mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wal 1526   = wceq 1528  wex 1771  wcel 2105  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492  cin 3932  wss 3933  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   cuni 4830  ran crn 5549   Fn wfn 6343  wf 6344  cfv 6348  Fincfn 8497  mrClscmrc 16842  ACScacs 16844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9873  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-r1 9181  df-rank 9182  df-card 9356  df-ac 9530  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ocomp 16574  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-proset 17526  df-drs 17527  df-poset 17544  df-ipo 17750
This theorem is referenced by:  acsmap2d  17777
  Copyright terms: Public domain W3C validator