Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsmapd 17783
 Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ∪ ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 17781 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3 (𝜑𝑆𝑋)
acsmapd.4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
Assertion
Ref Expression
acsmapd (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
2 fvex 6662 . . . . 5 (𝑁𝑆) ∈ V
32ssex 5192 . . . 4 (𝑇 ⊆ (𝑁𝑆) → 𝑇 ∈ V)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
51sseld 3917 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁𝑆)))
6 acsmapd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7 acsmapd.2 . . . . . 6 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8 acsmapd.3 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑋)
96, 7, 8acsficl2d 17781 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
105, 9sylibd 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
1110ralrimiv 3151 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦))
12 fveq2 6649 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑁𝑦) = (𝑁‘(𝑓𝑥)))
1312eleq2d 2878 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
1413ac6sg 9903 . . 3 (𝑇 ∈ V → (∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))))
154, 11, 14sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
16 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
18 nfv 1915 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19 nfra1 3186 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))
2018, 19nfan 1900 . . . . . . . 8 𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
2117, 20nfan 1900 . . . . . . 7 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
226ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2322acsmred 16922 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
2524ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
26 fnfvelrn 6829 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 Fn 𝑇𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2725, 26sylancom 591 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2827snssd 4705 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
2928unissd 4813 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
30 frn 6497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3130unissd 4813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32 unifpw 8815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
3331, 32sseqtrdi 3968 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓𝑆)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑆)
358ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑆𝑋)
3634, 35sstrd 3928 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑋)
3723, 7, 29, 36mrcssd 16890 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑁 {(𝑓𝑥)}) ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
38 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
3938r19.21bi 3176 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
40 fvex 6662 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
4140unisn 4823 . . . . . . . . . . 11 {(𝑓𝑥)} = (𝑓𝑥)
4241fveq2i 6652 . . . . . . . . . 10 (𝑁 {(𝑓𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓𝑥))
4339, 42eleqtrrdi 2904 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 {(𝑓𝑥)}))
4437, 43sseldd 3919 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓))
4544ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4621, 45alrimi 2212 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
47 dfss2 3904 . . . . . 6 (𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4846, 47sylibr 237 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
4916, 48jca 515 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
5049ex 416 . . 3 (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5150eximdv 1918 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5215, 51mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  Vcvv 3444   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500  {csn 4528  ∪ cuni 4803  ran crn 5524   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  Fincfn 8496  mrClscmrc 16849  ACScacs 16851 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-r1 9181  df-rank 9182  df-card 9356  df-ac 9531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ocomp 16581  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-drs 17534  df-poset 17551  df-ipo 17757 This theorem is referenced by:  acsmap2d  17784
 Copyright terms: Public domain W3C validator