MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsmapd 18549
Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 18547 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3 (𝜑𝑆𝑋)
acsmapd.4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
Assertion
Ref Expression
acsmapd (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
2 fvex 6909 . . . . 5 (𝑁𝑆) ∈ V
32ssex 5322 . . . 4 (𝑇 ⊆ (𝑁𝑆) → 𝑇 ∈ V)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
51sseld 3975 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁𝑆)))
6 acsmapd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7 acsmapd.2 . . . . . 6 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8 acsmapd.3 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑋)
96, 7, 8acsficl2d 18547 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
105, 9sylibd 238 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
1110ralrimiv 3134 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦))
12 fveq2 6896 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑁𝑦) = (𝑁‘(𝑓𝑥)))
1312eleq2d 2811 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
1413ac6sg 10513 . . 3 (𝑇 ∈ V → (∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))))
154, 11, 14sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
16 simprl 769 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17 nfv 1909 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
18 nfv 1909 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19 nfra1 3271 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))
2018, 19nfan 1894 . . . . . . . 8 𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
2117, 20nfan 1894 . . . . . . 7 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
226ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2322acsmred 17639 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
2524ffnd 6724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
26 fnfvelrn 7089 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 Fn 𝑇𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2725, 26sylancom 586 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2827snssd 4814 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
2928unissd 4919 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
30 frn 6730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3130unissd 4919 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32 unifpw 9381 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
3331, 32sseqtrdi 4027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓𝑆)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑆)
358ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑆𝑋)
3634, 35sstrd 3987 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑋)
3723, 7, 29, 36mrcssd 17607 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑁 {(𝑓𝑥)}) ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
38 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
3938r19.21bi 3238 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
40 fvex 6909 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
4140unisn 4930 . . . . . . . . . . 11 {(𝑓𝑥)} = (𝑓𝑥)
4241fveq2i 6899 . . . . . . . . . 10 (𝑁 {(𝑓𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓𝑥))
4339, 42eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 {(𝑓𝑥)}))
4437, 43sseldd 3977 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓))
4544ex 411 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4621, 45alrimi 2201 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
47 df-ss 3961 . . . . . 6 (𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4846, 47sylibr 233 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
4916, 48jca 510 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
5049ex 411 . . 3 (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5150eximdv 1912 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5215, 51mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wal 1531   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  cin 3943  wss 3944  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   cuni 4909  ran crn 5679   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  Fincfn 8964  mrClscmrc 17566  ACScacs 17568
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-reg 9617  ax-inf2 9666  ax-ac2 10488  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-r1 9789  df-rank 9790  df-card 9964  df-ac 10141  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ocomp 17257  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-proset 18290  df-drs 18291  df-poset 18308  df-ipo 18523
This theorem is referenced by:  acsmap2d  18550
  Copyright terms: Public domain W3C validator