Theorem acsmapd 18479

Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ∪ ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 18477 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmapd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
acsmapd.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
acsmapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmapd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
2		fvex 6839	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝑆) ∈ V
3	2	ssex 5263	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆) → 𝑇 ∈ V)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
5	1	sseld 3936	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆)))
6		acsmapd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7		acsmapd.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8		acsmapd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	6, 7, 8	acsficl2d 18477	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
10	5, 9	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
11	10	ralrimiv 3120	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦))
12		fveq2 6826	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑁‘𝑦) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
13	12	eleq2d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
14	13	ac6sg 10401	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))))
15	4, 11, 14	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
16		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
18		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19		nfra1 3253	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
20	18, 19	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
21	17, 20	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
22	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
23	22	acsmred 17581	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
25	24	ffnd 6657	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
26		fnfvelrn 7018	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
27	25, 26	sylancom 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
28	27	snssd 4763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
29	28	unissd 4871	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ∪ ran 𝑓)
30		frn 6663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
31	30	unissd 4871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32		unifpw 9264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
33	31, 32	sseqtrdi 3978	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
35	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	sstrd 3948	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑋)
37	23, 7, 29, 36	mrcssd 17549	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
38		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
39	38	r19.21bi 3221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
40		fvex 6839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
41	40	unisn 4880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ {(𝑓‘𝑥)} = (𝑓‘𝑥)
42	41	fveq2i 6829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
43	39, 42	eleqtrrdi 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}))
44	37, 43	sseldd 3938	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
45	44	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
46	21, 45	alrimi 2214	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
47		df-ss 3922	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
48	46, 47	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
49	16, 48	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
51	50	eximdv 1917	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
52	15, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1538   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  Vcvv 3438   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  𝒫 cpw 4553  {csn 4579  ∪ cuni 4861  ran crn 5624   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  Fincfn 8879  mrClscmrc 17504  ACScacs 17506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-reg 9503  ax-inf2 9556  ax-ac2 10376  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-r1 9679  df-rank 9680  df-card 9854  df-ac 10029  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12611  df-uz 12755  df-fz 13430  df-struct 17077  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17140  df-tset 17199  df-ple 17200  df-ocomp 17201  df-mre 17507  df-mrc 17508  df-acs 17510  df-proset 18219  df-drs 18220  df-poset 18238  df-ipo 18453

This theorem is referenced by:  acsmap2d  18480