Theorem acsmapd 18455

Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ∪ ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 18453 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmapd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
acsmapd.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
acsmapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmapd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
2		fvex 6830	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝑆) ∈ V
3	2	ssex 5254	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆) → 𝑇 ∈ V)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
5	1	sseld 3928	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆)))
6		acsmapd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7		acsmapd.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8		acsmapd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	6, 7, 8	acsficl2d 18453	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
10	5, 9	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
11	10	ralrimiv 3123	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦))
12		fveq2 6817	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑁‘𝑦) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
13	12	eleq2d 2817	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
14	13	ac6sg 10374	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))))
15	4, 11, 14	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
16		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17		nfv 1915	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
18		nfv 1915	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19		nfra1 3256	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
20	18, 19	nfan 1900	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
21	17, 20	nfan 1900	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
22	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
23	22	acsmred 17557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
25	24	ffnd 6647	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
26		fnfvelrn 7008	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
27	25, 26	sylancom 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
28	27	snssd 4756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
29	28	unissd 4864	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ∪ ran 𝑓)
30		frn 6653	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
31	30	unissd 4864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32		unifpw 9234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
33	31, 32	sseqtrdi 3970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
35	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	sstrd 3940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑋)
37	23, 7, 29, 36	mrcssd 17525	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
38		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
39	38	r19.21bi 3224	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
40		fvex 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
41	40	unisn 4873	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ {(𝑓‘𝑥)} = (𝑓‘𝑥)
42	41	fveq2i 6820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
43	39, 42	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}))
44	37, 43	sseldd 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
45	44	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
46	21, 45	alrimi 2216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
47		df-ss 3914	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
48	46, 47	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
49	16, 48	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
50	49	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
51	50	eximdv 1918	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
52	15, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  Vcvv 3436   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4545  {csn 4571  ∪ cuni 4854  ran crn 5612   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  Fincfn 8864  mrClscmrc 17480  ACScacs 17482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-reg 9473  ax-inf2 9526  ax-ac2 10349  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-r1 9652  df-rank 9653  df-card 9827  df-ac 10002  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-fz 13403  df-struct 17053  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ocomp 17177  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-proset 18195  df-drs 18196  df-poset 18214  df-ipo 18429

This theorem is referenced by:  acsmap2d  18456