MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem acsmapd 18516
Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of βˆͺ ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 18514 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
acsmapd.2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
acsmapd.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
acsmapd.4 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
acsmapd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   πœ‘,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)
Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
2 fvex 6897 . . . . 5 (π‘β€˜π‘†) ∈ V
32ssex 5314 . . . 4 (𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘†) β†’ 𝑇 ∈ V)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
51sseld 3976 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)))
6 acsmapd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
7 acsmapd.2 . . . . . 6 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
8 acsmapd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
96, 7, 8acsficl2d 18514 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦)))
105, 9sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦)))
1110ralrimiv 3139 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦))
12 fveq2 6884 . . . . 5 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
1312eleq2d 2813 . . . 4 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦) ↔ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))))
1413ac6sg 10482 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))))
154, 11, 14sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))))
16 simprl 768 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17 nfv 1909 . . . . . . . 8 β„²π‘₯πœ‘
18 nfv 1909 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19 nfra1 3275 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
2018, 19nfan 1894 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
2117, 20nfan 1894 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))))
226ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
2322acsmred 17606 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
24 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
2524ffnd 6711 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 Fn 𝑇)
26 fnfvelrn 7075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 Fn 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓)
2725, 26sylancom 587 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓)
2827snssd 4807 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ {(π‘“β€˜π‘₯)} βŠ† ran 𝑓)
2928unissd 4912 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)} βŠ† βˆͺ ran 𝑓)
30 frn 6717 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3130unissd 4912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32 unifpw 9354 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
3331, 32sseqtrdi 4027 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑆)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑆)
358ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
3634, 35sstrd 3987 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑋)
3723, 7, 29, 36mrcssd 17574 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))
38 simprr 770 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
3938r19.21bi 3242 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
40 fvex 6897 . . . . . . . . . . . 12 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V
4140unisn 4923 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)} = (π‘“β€˜π‘₯)
4241fveq2i 6887 . . . . . . . . . 10 (π‘β€˜βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)}) = (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
4339, 42eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)}))
4437, 43sseldd 3978 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))
4544ex 412 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
4621, 45alrimi 2198 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
47 dfss2 3963 . . . . . 6 (𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
4846, 47sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))
4916, 48jca 511 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
5049ex 412 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))))
5150eximdv 1912 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))))
5215, 51mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395  βˆ€wal 1531   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  π’« cpw 4597  {csn 4623  βˆͺ cuni 4902  ran crn 5670   Fn wfn 6531  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  Fincfn 8938  mrClscmrc 17533  ACScacs 17535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-reg 9586  ax-inf2 9635  ax-ac2 10457  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-r1 9758  df-rank 9759  df-card 9933  df-ac 10110  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ocomp 17224  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-proset 18257  df-drs 18258  df-poset 18275  df-ipo 18490
This theorem is referenced by:  acsmap2d  18517
  Copyright terms: Public domain W3C validator