Theorem acsmapd 18014

Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ∪ ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 18012 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmapd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
acsmapd.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
acsmapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmapd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
2		fvex 6708	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝑆) ∈ V
3	2	ssex 5199	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆) → 𝑇 ∈ V)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
5	1	sseld 3886	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆)))
6		acsmapd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7		acsmapd.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8		acsmapd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	6, 7, 8	acsficl2d 18012	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
10	5, 9	sylibd 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
11	10	ralrimiv 3094	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦))
12		fveq2 6695	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑁‘𝑦) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
13	12	eleq2d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
14	13	ac6sg 10067	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))))
15	4, 11, 14	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
16		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17		nfv 1922	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
18		nfv 1922	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19		nfra1 3130	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
20	18, 19	nfan 1907	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
21	17, 20	nfan 1907	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
22	6	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
23	22	acsmred 17113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
25	24	ffnd 6524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
26		fnfvelrn 6879	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
27	25, 26	sylancom 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
28	27	snssd 4708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
29	28	unissd 4815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ∪ ran 𝑓)
30		frn 6530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
31	30	unissd 4815	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32		unifpw 8957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
33	31, 32	sseqtrdi 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
35	8	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	sstrd 3897	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑋)
37	23, 7, 29, 36	mrcssd 17081	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
38		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
39	38	r19.21bi 3120	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
40		fvex 6708	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
41	40	unisn 4827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ {(𝑓‘𝑥)} = (𝑓‘𝑥)
42	41	fveq2i 6698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
43	39, 42	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}))
44	37, 43	sseldd 3888	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
45	44	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
46	21, 45	alrimi 2213	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
47		dfss2 3873	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
48	46, 47	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
49	16, 48	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
50	49	ex 416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
51	50	eximdv 1925	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
52	15, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  ∀wal 1541   = wceq 1543  ∃wex 1787   ∈ wcel 2112  ∀wral 3051  ∃wrex 3052  Vcvv 3398   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  𝒫 cpw 4499  {csn 4527  ∪ cuni 4805  ran crn 5537   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  Fincfn 8604  mrClscmrc 17040  ACScacs 17042

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-reg 9186  ax-inf2 9234  ax-ac2 10042  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-int 4846  df-iun 4892  df-iin 4893  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-se 5495  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-1o 8180  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-fin 8608  df-r1 9345  df-rank 9346  df-card 9520  df-ac 9695  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-nn 11796  df-2 11858  df-3 11859  df-4 11860  df-5 11861  df-6 11862  df-7 11863  df-8 11864  df-9 11865  df-n0 12056  df-z 12142  df-dec 12259  df-uz 12404  df-fz 13061  df-struct 16668  df-ndx 16669  df-slot 16670  df-base 16672  df-tset 16768  df-ple 16769  df-ocomp 16770  df-mre 17043  df-mrc 17044  df-acs 17046  df-proset 17756  df-drs 17757  df-poset 17774  df-ipo 17988

This theorem is referenced by:  acsmap2d  18015