MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem acsmapd 18511
Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of βˆͺ ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 18509 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
acsmapd.2 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
acsmapd.3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
acsmapd.4 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
Assertion
Ref Expression
acsmapd (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   πœ‘,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)
Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘†))
2 fvex 6903 . . . . 5 (π‘β€˜π‘†) ∈ V
32ssex 5320 . . . 4 (𝑇 βŠ† (π‘β€˜π‘†) β†’ 𝑇 ∈ V)
41, 3syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
51sseld 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†)))
6 acsmapd.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
7 acsmapd.2 . . . . . 6 𝑁 = (mrClsβ€˜π΄)
8 acsmapd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
96, 7, 8acsficl2d 18509 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘†) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦)))
105, 9sylibd 238 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦)))
1110ralrimiv 3143 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦))
12 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (π‘β€˜π‘¦) = (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
1312eleq2d 2817 . . . 4 (𝑦 = (π‘“β€˜π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦) ↔ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))))
1413ac6sg 10485 . . 3 (𝑇 ∈ V β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘¦ ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)π‘₯ ∈ (π‘β€˜π‘¦) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))))
154, 11, 14sylc 65 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))))
16 simprl 767 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17 nfv 1915 . . . . . . . 8 β„²π‘₯πœ‘
18 nfv 1915 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19 nfra1 3279 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
2018, 19nfan 1900 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
2117, 20nfan 1900 . . . . . . 7 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))))
226ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ (ACSβ€˜π‘‹))
2322acsmred 17604 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ∈ (Mooreβ€˜π‘‹))
24 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
2524ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝑓 Fn 𝑇)
26 fnfvelrn 7081 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 Fn 𝑇 ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓)
2725, 26sylancom 586 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ran 𝑓)
2827snssd 4811 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ {(π‘“β€˜π‘₯)} βŠ† ran 𝑓)
2928unissd 4917 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)} βŠ† βˆͺ ran 𝑓)
30 frn 6723 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) β†’ ran 𝑓 βŠ† (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3130unissd 4917 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† βˆͺ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32 unifpw 9357 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
3331, 32sseqtrdi 4031 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑆)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑆)
358ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑋)
3634, 35sstrd 3991 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ βˆͺ ran 𝑓 βŠ† 𝑋)
3723, 7, 29, 36mrcssd 17572 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (π‘β€˜βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)}) βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))
38 simprr 769 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
3938r19.21bi 3246 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))
40 fvex 6903 . . . . . . . . . . . 12 (π‘“β€˜π‘₯) ∈ V
4140unisn 4929 . . . . . . . . . . 11 βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)} = (π‘“β€˜π‘₯)
4241fveq2i 6893 . . . . . . . . . 10 (π‘β€˜βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)}) = (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))
4339, 42eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ {(π‘“β€˜π‘₯)}))
4437, 43sseldd 3982 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))
4544ex 411 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
4621, 45alrimi 2204 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
47 dfss2 3967 . . . . . 6 (𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓) ↔ βˆ€π‘₯(π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ π‘₯ ∈ (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
4846, 47sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))
4916, 48jca 510 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯)))) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
5049ex 411 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))) β†’ (𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))))
5150eximdv 1918 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 π‘₯ ∈ (π‘β€˜(π‘“β€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓))))
5215, 51mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:π‘‡βŸΆ(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 βŠ† (π‘β€˜βˆͺ ran 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394  βˆ€wal 1537   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  π’« cpw 4601  {csn 4627  βˆͺ cuni 4907  ran crn 5676   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  Fincfn 8941  mrClscmrc 17531  ACScacs 17533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-r1 9761  df-rank 9762  df-card 9936  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ocomp 17222  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-proset 18252  df-drs 18253  df-poset 18270  df-ipo 18485
This theorem is referenced by:  acsmap2d  18512
  Copyright terms: Public domain W3C validator