MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  acsmapd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem acsmapd 17636
Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 17634 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
acsmapd.1 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3 (𝜑𝑆𝑋)
acsmapd.4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
Assertion
Ref Expression
acsmapd (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acsmapd.4 . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝑁𝑆))
2 fvex 6506 . . . . 5 (𝑁𝑆) ∈ V
32ssex 5075 . . . 4 (𝑇 ⊆ (𝑁𝑆) → 𝑇 ∈ V)
41, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ V)
51sseld 3853 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁𝑆)))
6 acsmapd.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7 acsmapd.2 . . . . . 6 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8 acsmapd.3 . . . . . 6 (𝜑𝑆𝑋)
96, 7, 8acsficl2d 17634 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
105, 9sylibd 231 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦)))
1110ralrimiv 3125 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦))
12 fveq2 6493 . . . . 5 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑁𝑦) = (𝑁‘(𝑓𝑥)))
1312eleq2d 2845 . . . 4 (𝑦 = (𝑓𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
1413ac6sg 9700 . . 3 (𝑇 ∈ V → (∀𝑥𝑇𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))))
154, 11, 14sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
16 simprl 758 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17 nfv 1873 . . . . . . . 8 𝑥𝜑
18 nfv 1873 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19 nfra1 3163 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))
2018, 19nfan 1862 . . . . . . . 8 𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
2117, 20nfan 1862 . . . . . . 7 𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))))
226ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
2322acsmred 16775 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24 simplrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
2524ffnd 6339 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
26 fnfvelrn 6667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓 Fn 𝑇𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2725, 26sylancom 579 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑓𝑥) ∈ ran 𝑓)
2827snssd 4610 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
2928unissd 4730 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → {(𝑓𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
30 frn 6344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
3130unissd 4730 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32 unifpw 8614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
3331, 32syl6sseq 3903 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓𝑆)
3424, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑆)
358ad2antrr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑆𝑋)
3634, 35sstrd 3864 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → ran 𝑓𝑋)
3723, 7, 29, 36mrcssd 16743 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → (𝑁 {(𝑓𝑥)}) ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
38 simprr 760 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
3938r19.21bi 3152 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))
40 fvex 6506 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓𝑥) ∈ V
4140unisn 4722 . . . . . . . . . . 11 {(𝑓𝑥)} = (𝑓𝑥)
4241fveq2i 6496 . . . . . . . . . 10 (𝑁 {(𝑓𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓𝑥))
4339, 42syl6eleqr 2871 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 {(𝑓𝑥)}))
4437, 43sseldd 3855 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) ∧ 𝑥𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓))
4544ex 405 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4621, 45alrimi 2141 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
47 dfss2 3842 . . . . . 6 (𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝑁 ran 𝑓)))
4846, 47sylibr 226 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))
4916, 48jca 504 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
5049ex 405 . . 3 (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5150eximdv 1876 . 2 (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓))))
5215, 51mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁 ran 𝑓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wal 1505   = wceq 1507  wex 1742  wcel 2048  wral 3082  wrex 3083  Vcvv 3409  cin 3824  wss 3825  𝒫 cpw 4416  {csn 4435   cuni 4706  ran crn 5401   Fn wfn 6177  wf 6178  cfv 6182  Fincfn 8298  mrClscmrc 16702  ACScacs 16704
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-reg 8843  ax-inf2 8890  ax-ac2 9675  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rmo 3090  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-int 4744  df-iun 4788  df-iin 4789  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-se 5360  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-isom 6191  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-1o 7897  df-oadd 7901  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-fin 8302  df-r1 8979  df-rank 8980  df-card 9154  df-ac 9328  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-2 11496  df-3 11497  df-4 11498  df-5 11499  df-6 11500  df-7 11501  df-8 11502  df-9 11503  df-n0 11701  df-z 11787  df-dec 11905  df-uz 12052  df-fz 12702  df-struct 16331  df-ndx 16332  df-slot 16333  df-base 16335  df-tset 16430  df-ple 16431  df-ocomp 16432  df-mre 16705  df-mrc 16706  df-acs 16708  df-proset 17386  df-drs 17387  df-poset 17404  df-ipo 17610
This theorem is referenced by:  acsmap2d  17637
  Copyright terms: Public domain W3C validator