Theorem acsmapd 18270

Description: In an algebraic closure system, if 𝑇 is contained in the closure of 𝑆, there is a map 𝑓 from 𝑇 into the set of finite subsets of 𝑆 such that the closure of ∪ ran 𝑓 contains 𝑇. This is proven by applying acsficl2d 18268 to each element of 𝑇. See Section II.5 in [Cohn] p. 81 to 82. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
acsmapd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
acsmapd.2	⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
acsmapd.3	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
acsmapd.4	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))

Assertion

Ref	Expression
acsmapd	⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Distinct variable groups:   𝑇,𝑓   𝜑,𝑓   𝑆,𝑓   𝑓,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑓)   𝑋(𝑓)

Proof of Theorem acsmapd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acsmapd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆))
2		fvex 6784	. . . . 5 ⊢ (𝑁‘𝑆) ∈ V
3	2	ssex 5249	. . . 4 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘𝑆) → 𝑇 ∈ V)
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
5	1	sseld 3925	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆)))
6		acsmapd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
7		acsmapd.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (mrCls‘𝐴)
8		acsmapd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑋)
9	6, 7, 8	acsficl2d 18268	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑆) ↔ ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
10	5, 9	sylibd 238	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑇 → ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦)))
11	10	ralrimiv 3109	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦))
12		fveq2 6771	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑁‘𝑦) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
13	12	eleq2d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑓‘𝑥) → (𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) ↔ 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
14	13	ac6sg 10245	. . 3 ⊢ (𝑇 ∈ V → (∀𝑥 ∈ 𝑇 ∃𝑦 ∈ (𝒫 𝑆 ∩ Fin)𝑥 ∈ (𝑁‘𝑦) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))))
15	4, 11, 14	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
16		simprl 768	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
17		nfv 1921	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
18		nfv 1921	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin)
19		nfra1 3145	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
20	18, 19	nfan 1906	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
21	17, 20	nfan 1906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))))
22	6	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (ACS‘𝑋))
23	22	acsmred 17363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝐴 ∈ (Moore‘𝑋))
24		simplrl 774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin))
25	24	ffnd 6599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑓 Fn 𝑇)
26		fnfvelrn 6955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 Fn 𝑇 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
27	25, 26	sylancom 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑓‘𝑥) ∈ ran 𝑓)
28	27	snssd 4748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ran 𝑓)
29	28	unissd 4855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ {(𝑓‘𝑥)} ⊆ ∪ ran 𝑓)
30		frn 6605	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ran 𝑓 ⊆ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
31	30	unissd 4855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin))
32		unifpw 9100	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ (𝒫 𝑆 ∩ Fin) = 𝑆
33	31, 32	sseqtrdi 3976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
34	24, 33	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑆)
35	8	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑆 ⊆ 𝑋)
36	34, 35	sstrd 3936	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ∪ ran 𝑓 ⊆ 𝑋)
37	23, 7, 29, 36	mrcssd 17331	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
38		simprr 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
39	38	r19.21bi 3135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))
40		fvex 6784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓‘𝑥) ∈ V
41	40	unisn 4867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ {(𝑓‘𝑥)} = (𝑓‘𝑥)
42	41	fveq2i 6774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}) = (𝑁‘(𝑓‘𝑥))
43	39, 42	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ {(𝑓‘𝑥)}))
44	37, 43	sseldd 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
45	44	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
46	21, 45	alrimi 2210	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
47		dfss2 3912	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓) ↔ ∀𝑥(𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑥 ∈ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
48	46, 47	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))
49	16, 48	jca 512	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥)))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))
50	49	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → (𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
51	50	eximdv 1924	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑇 𝑥 ∈ (𝑁‘(𝑓‘𝑥))) → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓))))
52	15, 51	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:𝑇⟶(𝒫 𝑆 ∩ Fin) ∧ 𝑇 ⊆ (𝑁‘∪ ran 𝑓)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ∀wal 1540   = wceq 1542  ∃wex 1786   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  ∃wrex 3067  Vcvv 3431   ∩ cin 3891   ⊆ wss 3892  𝒫 cpw 4539  {csn 4567  ∪ cuni 4845  ran crn 5591   Fn wfn 6427  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  Fincfn 8716  mrClscmrc 17290  ACScacs 17292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-reg 9329  ax-inf2 9377  ax-ac2 10220  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-r1 9523  df-rank 9524  df-card 9698  df-ac 9873  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ocomp 16981  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-proset 18011  df-drs 18012  df-poset 18029  df-ipo 18244

This theorem is referenced by:  acsmap2d  18271