Theorem brcici 17512

Description: Prove that two objects are isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cic.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
brcici	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Proof of Theorem brcici

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		eleq1 2826	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
3	2	spcegv 3536	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
4	1, 1, 3	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
5		cic.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
6		cic.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		cic.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		cic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		cic.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 8, 9	cic 17511	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
11	4, 10	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539  ∃wex 1782   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Catccat 17373  Isociso 17458   ≃_𝑐 ccic 17507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-inv 17460  df-iso 17461  df-cic 17508

This theorem is referenced by:  cicref  17513  cicsym  17516  cictr  17517