Theorem brcici 17848

Description: Prove that two objects are isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cic.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
brcici	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Proof of Theorem brcici

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		eleq1 2827	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
3	2	spcegv 3597	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
4	1, 1, 3	sylc 65	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
5		cic.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
6		cic.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		cic.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		cic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		cic.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 8, 9	cic 17847	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
11	4, 10	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537  ∃wex 1776   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Catccat 17709  Isociso 17794   ≃_𝑐 ccic 17843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-inv 17796  df-iso 17797  df-cic 17844

This theorem is referenced by:  cicref  17849  cicsym  17852  cictr  17853  upciclem4  48815