Theorem brcici 17895

Description: Prove that two objects are isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cic.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
brcici	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Proof of Theorem brcici

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		eleq1 2850	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
3	2	spcegv 3554	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
4	1, 1, 3	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
5		cic.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
6		cic.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		cic.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		cic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		cic.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 8, 9	cic 17894	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
11	4, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Catccat 17758  Isociso 17841   ≃_𝑐 ccic 17890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-inv 17843  df-iso 17844  df-cic 17891

This theorem is used by:  cicref  17896  cicsym  17899  cictr  17900  upciclem4  50103  swapciso  50220  fucoppccic  50347  diagcic  50474