Theorem brcici 17955

Description: Prove that two objects are isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
cic.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))

Assertion

Ref	Expression
brcici	⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

Proof of Theorem brcici

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2		eleq1 2849	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
3	2	spcegv 3552	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
4	1, 1, 3	sylc 66	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
5		cic.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
6		cic.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		cic.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
8		cic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
9		cic.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
10	5, 6, 7, 8, 9	cic 17954	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
11	4, 10	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  Catccat 17818  Isociso 17901   ≃_𝑐 ccic 17950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-inv 17903  df-iso 17904  df-cic 17951

This theorem is used by:  cicref  17956  cicsym  17959  cictr  17960  upciclem4  50221  swapciso  50338  fucoppccic  50465  diagcic  50592