MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  brcici Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem brcici 17456
Description: Prove that two objects are isomorphic by an explicit isomorphism. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cic.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
cic.x (𝜑𝑋𝐵)
cic.y (𝜑𝑌𝐵)
cic.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
Assertion
Ref Expression
brcici (𝜑𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌)

Proof of Theorem brcici
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cic.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
2 eleq1 2824 . . . 4 (𝑓 = 𝐹 → (𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌) ↔ 𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
32spcegv 3531 . . 3 (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → (𝐹 ∈ (𝑋𝐼𝑌) → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
41, 1, 3sylc 65 . 2 (𝜑 → ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
5 cic.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
6 cic.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
7 cic.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
8 cic.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
9 cic.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
105, 6, 7, 8, 9cic 17455 . 2 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
114, 10mpbird 256 1 (𝜑𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1539  wex 1783  wcel 2107   class class class wbr 5075  cfv 6423  (class class class)co 7260  Basecbs 16856  Catccat 17317  Isociso 17402  𝑐 ccic 17451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7571
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rab 3071  df-v 3429  df-sbc 3717  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5485  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-iota 6381  df-fun 6425  df-fn 6426  df-f 6427  df-f1 6428  df-fo 6429  df-f1o 6430  df-fv 6431  df-ov 7263  df-oprab 7264  df-mpo 7265  df-1st 7809  df-2nd 7810  df-supp 7954  df-inv 17404  df-iso 17405  df-cic 17452
This theorem is referenced by:  cicref  17457  cicsym  17460  cictr  17461
  Copyright terms: Public domain W3C validator