Theorem cic 17855

Description: Objects 𝑋 and 𝑌 in a category are isomorphic provided that there is an isomorphism 𝑓:𝑋⟶𝑌, see definition 3.15 of [Adamek] p. 29. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem cic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
2		cic.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		cic.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		cic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		cic.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	brcic 17854	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
7		n0 4306	. 2 ⊢ ((𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
8	6, 7	bitrdi 290	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1568  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∅c0 4285   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  Catccat 17719  Isociso 17802   ≃_𝑐 ccic 17851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8156  df-inv 17804  df-iso 17805  df-cic 17852

This theorem is referenced by:  brcici  17856  cicsym  17860  cictr  17861  initoeu1w  18068  initoeu2  18072  termoeu1w  18075  nzerooringczr  21609  thincciso  50176  thincciso4  50180  thinccic  50194  termfucterm  50267  uobeqterm  50269