Theorem cic 17751

Description: Objects 𝑋 and 𝑌 in a category are isomorphic provided that there is an isomorphism 𝑓:𝑋⟶𝑌, see definition 3.15 of [Adamek] p. 29. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
cic.i	⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
cic.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
cic.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
cic	⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem cic

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cic.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (Iso‘𝐶)
2		cic.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
3		cic.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ Cat)
4		cic.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		cic.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6	1, 2, 3, 4, 5	brcic 17750	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
7		n0 4346	. 2 ⊢ ((𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
8	6, 7	bitrdi 287	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐 ‘𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∅c0 4322   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17149  Catccat 17613  Isociso 17698   ≃_𝑐 ccic 17747

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-inv 17700  df-iso 17701  df-cic 17748

This theorem is referenced by:  brcici  17752  cicsym  17756  cictr  17757  initoeu1w  17967  initoeu2  17971  termoeu1w  17974  nzerooringczr  47059  thincciso  47757  thinccic  47769