MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cic 16666
Description: Objects 𝑋 and 𝑌 in a category are isomorphic provided that there is an isomorphism 𝑓:𝑋𝑌, see definition 3.15 of [Adamek] p. 29. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cic.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
cic.x (𝜑𝑋𝐵)
cic.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
cic (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem cic
StepHypRef Expression
1 cic.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
2 cic.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 cic.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 cic.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 cic.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5brcic 16665 . 2 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
7 n0 4078 . 2 ((𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
86, 7syl6bb 276 1 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  c0 4063   class class class wbr 4786  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  Catccat 16532  Isociso 16613  𝑐 ccic 16662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-inv 16615  df-iso 16616  df-cic 16663
This theorem is referenced by:  brcici  16667  cicsym  16671  cictr  16672  initoeu1w  16869  initoeu2  16873  termoeu1w  16876  nzerooringczr  42600
  Copyright terms: Public domain W3C validator