MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cic 17801
Description: Objects 𝑋 and 𝑌 in a category are isomorphic provided that there is an isomorphism 𝑓:𝑋𝑌, see definition 3.15 of [Adamek] p. 29. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cic.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
cic.x (𝜑𝑋𝐵)
cic.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
cic (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem cic
StepHypRef Expression
1 cic.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
2 cic.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 cic.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 cic.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 cic.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5brcic 17800 . 2 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
7 n0 4346 . 2 ((𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
86, 7bitrdi 286 1 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  wne 2929  c0 4322   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  Catccat 17663  Isociso 17748  𝑐 ccic 17797
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-inv 17750  df-iso 17751  df-cic 17798
This theorem is referenced by:  brcici  17802  cicsym  17806  cictr  17807  initoeu1w  18020  initoeu2  18024  termoeu1w  18027  nzerooringczr  21440  thincciso  48246  thinccic  48258
  Copyright terms: Public domain W3C validator