MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cic Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cic 17847
Description: Objects 𝑋 and 𝑌 in a category are isomorphic provided that there is an isomorphism 𝑓:𝑋𝑌, see definition 3.15 of [Adamek] p. 29. (Contributed by AV, 4-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
cic.i 𝐼 = (Iso‘𝐶)
cic.b 𝐵 = (Base‘𝐶)
cic.c (𝜑𝐶 ∈ Cat)
cic.x (𝜑𝑋𝐵)
cic.y (𝜑𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
cic (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝐼   𝑓,𝑋   𝑓,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)

Proof of Theorem cic
StepHypRef Expression
1 cic.i . . 3 𝐼 = (Iso‘𝐶)
2 cic.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐶)
3 cic.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ Cat)
4 cic.x . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
5 cic.y . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
61, 2, 3, 4, 5brcic 17846 . 2 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ (𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅))
7 n0 4359 . 2 ((𝑋𝐼𝑌) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌))
86, 7bitrdi 287 1 (𝜑 → (𝑋( ≃𝑐𝐶)𝑌 ↔ ∃𝑓 𝑓 ∈ (𝑋𝐼𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wne 2938  c0 4339   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  Catccat 17709  Isociso 17794  𝑐 ccic 17843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-inv 17796  df-iso 17797  df-cic 17844
This theorem is referenced by:  brcici  17848  cicsym  17852  cictr  17853  initoeu1w  18066  initoeu2  18070  termoeu1w  18073  nzerooringczr  21509  thincciso  48849  thinccic  48862
  Copyright terms: Public domain W3C validator